工程数学试卷及答案
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2018年1月
得分
评卷人
一、单项选择
题
（每小题3分，共15分）在每小
题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请
将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。
1．某人打靶3发，事件Ai
表示“击中i发”，i=0,1,2,3. 那么事件
A=A1∪A2∪A3表示( )。
A. 全部击中. B. 至少有一发击中.
C.
必然击中 D. 击中3发
2．对于任意两个随机变量X和Y，若E(XY)=E(X)E(Y)，则有( )。
A. X和Y独立。 B. X和Y不独立。
C.
D(X+Y)=D(X)+D(Y) D. D(XY)=D(X)D(Y)
3．下列各函数中可以作为某个随机变量的概率密度函数的是（ ）。
2(1|x|)|x|1
0.5|x|2
A．
f(x)
。 B.
f(x)
0
其它0其它
(x
)
1
2
e
2
C.
f(x)
<
br>2
0
2
x0
e
x
x0
D.
f(x)
，
其它
0
x0
4．设随机变量
X
～
N(
,4
2
)
,
Y
～
N(
,5
2
)
,
P
1
P{X
4}
,
P
2
P{Y
5}
, 则有（ ）
A. 对于任意的
, P
1
=P
2
B. 对于任意的
, P
1
< P
2
C.
只对个别的
，才有P
1
=P
2
D.
对于任意的
, P
1
> P
2
5．设X为随机变量，其方差存在，c为任意非零常数，则下列等式中
正确的是
（
）
A．D(X+c)=D(X). B. D(X+c)=D(X)+c.
C. D(X-c)=D(X)-c D. D(cX)=cD(X)
《工程数学》试题 第 1 页 共6 页
得分
评卷人
二、填空题
（每空3分，共15分）
6．
设3阶矩阵A的特征值为-1，1，2，它的伴随矩阵记为A*， 则
|A*+3A–2E|=
。
011
200
7．设A=
101
~
0x0
，则
x
= 。
110
001
8．设有3个元件并联，已知每个元件正常工作的概率为P，则该系统
正常工作的概
率为 。
2x0xA
9．设随机变量X
的概率密度函数为
f(x)
，
则概率
其它
0
1
P(X)
。
2
1
0．设二维连续型随机变量
(X,Y)
的联合概率密度函数为
ke
(3x4y)
当x0,y0
，则系数
k
。
f(x,y)
其它
0
得分
评卷人
三、计算题
（每小题10分，共50分）
11．求函数
f(t)e
t
的傅氏变换
(这里
0
)，并由此证明：
《工程数学》试题 第 2 页
共6 页
cos
t
t
d
e
22
2
0
12．发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“1”和“0”。由于通讯系
统受到干扰，当
发出信号“1”时，收报台未必收到信号“1”，而是分
别以概率0.8和0.2收到信号“1”和“0
”；同时，当发出信号“0”时，
收报台分别以概率0.9和0.1收到信号“0”和“1”。求
（1）收报台收到信号“1”的概率；
（2）当收报台收到信号“1”时，发报台确是发出信号“1”的概率。
13．设二维随机变量
(X,Y)
的联合概率函数是
ce
(2x4y)
x0,y0
f(x,y)
其它
0
求：（1）常数c；（2）概率P(X≥Y
)；（3）X与Y相互独立吗？请说
《工程数学》试题 第 3 页 共6 页
出理由。
14．将n个
球随机的放入N个盒子中去，设每个球放入各个盒子是等
可能的，求有球盒子数X的数学期望。
15．设一口袋中依此标有1，2，2，2，3，3数字的
六个球。从中任取
一球，记随机变量X为取得的球上标有的数字，求
(1)X的概率分布律和分布函数。(2)EX
《工程数学》试题 第 4 页 共6 页
得分
评卷人
四、证明题
（共10分）
16.设a=(a
1
,a
2,…,a
n
)
T
，a
1
≠0,其长度为║a║，又A=
aa
T
,
(1)证明A
2
=║a║
2
A；
(2) 证明a是A的一个特征向量，而0是A的n-1重特征值；
(3)
A能相似于对角阵Λ吗？若能,写出对角阵Λ.
《工程数学》试题 第 5 页 共6 页
得分
评卷人
五、应用题（共10分）
17.设在国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量X是随机变量,
它在[2000,40
00]( 单位：吨 )上服从均匀分布，又设每售出这种商品
一吨，可为国家挣得外汇3万元，但假如
销售不出而囤积在仓库，则
每吨需保养费1万元。问需要组织多少货源，才能使国家收益最大。
《工程数学》试题 第 6 页
共6 页
参考答案及评分标准
一、
选择题
（每小题3分，共15分）
1．B 2．C 3．D 4．A
5．A
二、 填空题
（每小题3分，共15分）
6. 9
7. 1 8. 1–(1–P)
3
9. 34 10. 12
三、计算题
（每题10分，共50分）
11.解答：
函数f(t)的付氏变换为：
F
(w
)=
[e
|t|
]
e<
br>
|t|
e
j
t
dt
(
j
)t
dt
(
j
)t
dt
e
0
e
0
=<
br>1
j
1
j
2
2
2
(2
由付氏积分公式有
f(t)=
1
[
F(
w
)]=
1
2
F(
j
t
)ed
(2
=
12
2
22<
br>(cos
tjsin
t)d
2
==
1
2
22
cos
td
2
cos
t
22
d
0
所以
cos
t
0
2
2
d
2
e
t
12.解答:
设
A1=“发出信号1”，A0=“发出信号0”，A=“收到信号1”
(1)由全概率公式
有 P(A)=P(A|A1)P(A1)+P(A|A0)P(A0)
=0.8x0.6+0.1 x0.4=0.52
(2)由贝叶斯公式
有 P(A1|A)=P(A|A1)P(A1) P(A)
=0.8x0.60.52=1213
13.解答:
《工程数学》试题 第 7 页 共6 页
3分）
分)
分)
（2分）
（1分）
2分）
1分）
2分）
（1分）
1分）
2分）
1分）
（
（
（
（
（
（
（
(1) 由联合概率密度的性质有
<
br>
dx
f(x,y)dy1
(2x4y)
即
dx
ce
00
dy1
（2分）
从而 c=8
（2分）
x
(2)
P(XY)
x
f(x,y
)dxdy
y
dx
8e
(2x4y)
dy
2
3
00
(3)
当x>0时，
fx,y)dy
(2x4y)
X
(x)
f(
8edy2e
2x
0
当x<=0时,
f
X
(x)0
同理有
f
4e
4y
y0
Y
(y)
0
其它
因
f(x,y)f
X
(x)f
Y
(y)x,y
故X与Y相互独立
14.解答：
设
X
1
第i个盒子有球
i
0
否则
i
=1,2,…,N (2
N
则
X
X
i
(1
i1
(N1)
n
因
P(X
i
0)
N
n
(2
P(X
(N1)
n
i
1)1P(X
i
0)1
N
n
(2
EX
0P(X1)1
(N1)
n
因而
ii
0)1P(X<
br>i
N
n
(2
《工程数学》试题 第 8
页 共6 页
（2分）
（2分）
（1分）
（
1
分）
分)
分)
分)
分)
分)
所以
EX
EX
i1
N
i
N(1(1
1<
br>n
))
(2分)
N
15.解答：
（1）随机变量
X
的取值为1，2，3。
（1分）
132
;P{X2};P(X3)
（3分）
666
X
的分布函数
F(x)P{Xx}
（1分）
由条件知：当
x1
时，
F(x）0;
（1分）
1
当
1x2
时，
F(x）P(X1);
（1分）
6
2
当
2x3
时，
F(x）P(X1)
P(X2);
（1分）
3
当
x3
时，
F(x）1;
（1分）
依题意有：
P{X1}
（2）EX=1 x 16+2 x 36+3
x 26= 136 （1分）
四、证明题
（共10分）
2TTTT2
(1)
A=aa·aa=aa ·aa =║a║A
（2分）
TT2
(2)因 Aa=
aa ·a=aa·a= ║a║a
（2分）
故a是A的一个特征向量。
又A对称，故A必相似于对角阵
（1分）
设A∽
diag(λ
1
,λ
2
,…,λ
n
)=B,
其中λ
1
,λ
2
,…,λ
n
是A的特征值 (1分)
因rank(A)=1, 所以 rank(B)=1
(1分)
从而λ
1
,λ
2
,…,λ
n
中必有n-1个为0,
即0是A的n-1重特征值 （1分）
(3) A对称，故A必相似于对角阵Λ，
2
Λ=diag(║a║, 0,…,0) (2分)
五、应用题
（共10分）
解答:
设y为预备出口的该商品的数量，这个数
量可只介于2000与4000之间，用Z
表示国家的收益（万元）,
（1分）
则有
Zg(X)
3y
3X(yX)
Xy
Xy
（4分）
因 X服从R(2000,4000), 故有
12000
f
X
(x)
0
所以
2000x4000
其它
(1分)
《工程数学》试题 第 9 页 共6 页
3x(yx)EZ
g(x)f
X
(x)dx
dx
2000
2000
y
4000
y
3ydx
2000
=–( y
2
–7000y
+ 4•10
6
) 1000
(3分)
求极值得 y=3500 (吨)
(1分)
《工程数学》试题
第 10 页 共6 页