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1995年普通高等学校招生全国统一考试
数学(理工农医类)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分．

第Ⅰ卷
(选择题共65分)

一、选择题(本大题共15小题, 第1—10题每小题4分，第11—15题每小题5分，共65分．在
每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的)
1．已知I为全集，集合M，N

I，若M∩N=N，则
(A)
MN

2．函数y=

(B)
MN
(C)
MN

( )
(D)
MN

( )
1
的图像是
x1
3．函数y=4sin(3x+
(A) 6π


)+3cos(3x+)的最小正周期是
44
2

(C)
(B) 2π
3

( )
(D)


3
( ) 4．正方体的全面积是a
2
，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是
(A)

a
2
3
(B)

a
2
2

(C) 2πa
2
(D) 3πa
2

5．若图中的直线l
1
，l
2
， l
3
的斜率分别为k
1
，k
2
，k
3
，则 ( )
(A) k
1
2
3

(C) k
3
< k
2
< k
1

(B) k
3
< k
1
< k
2

(D) k
1
< k
3
< k
2

6．在(1－x
3
)(1+x)
10
的展开式中，x
5
的系数是 ( )
(A) －297 (B) －252
(C) 297 (D) 207
( ) 7．使arcsinx>arccosx成立的x的取值范围是
(A)

0，





2

2

(B)


2

1



2
，

(C)

1，


2



2


0

(D)

1，
( ) 8．双曲线3x
2
－y
2
=3的渐近线方程是
(A) y=±3x
(B) y=±
1
x
3
(C) y=±
3
x
(D) y=±
3
x
3
( ) 9．已知θ是第三象限角， 且sin
4
θ+cos
4
θ=
5
，那么sin2θ等于
9
(C)
(A)
22

3
(B)

22

3
2

3
(D)

2

3
10．已知直线l⊥平面α，直线m

平面β，有下面四个命题：
①α∥β

l⊥m ②α⊥β

l∥m ③l∥m

α⊥β ④l⊥m

α∥β
其中正确的两个命题是
(A) ①与② (B) ③与④ (C) ②与④ (D) ①与③
( )
( )
11．已知y=log
a
(2－ax)在[0，1]上是x的 减函数，则a的取值范围是
(A) (0，1) (B) (1，2) (C) (0，2)
(D)

2，


12．等差数列{a
n< br>}，{b
n
}的前n项和分别为S
n
与T
n
，若
(A) 1
S
n
a
2n

，则
l im
n
等于
n
bT
n
3n1
n
( )
6
(B)
3
(C)
2

3
(D)
4

9
13．用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共( )
(A) 24个 (B) 30个 (C) 40个 (D) 60个
14．在极坐标系 中，椭圆的二焦点分别在极点和点(2c，0)，离心率为e，则它的极坐标
方程是 ( )

c

1e

(A)



1ecos

c

1e

(C)



1ecos

c1e
2
(B)



1ecos

c1e
2
(D)



e

1ecos


 

15．如图，A
1
B
1
C
1
－AB C是直三棱柱，∠BCA=90°，点D
1
，F
1
分别是A
1
B
1
，A
1
C
1
的中点，若BC=CA=CC
1
，则BD
1
与AF
1
所成的角的余弦值是

( )
30
(A)
10
(B)
1

2
(C)
30

15
(D)
15

10


第Ⅱ卷
(非选择题，共85分)

二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上)
16．不等 式


1


3

x
2
8
3
2x
的解集是__________
17．已知圆台上、下底 面圆周都在球面上，且下底面过球心，母线与底面所成的角为
则圆台的体积与球体积之比为______ _______

，
3
18．函数y=sin(x－

) cosx的最小值是____________
6
19．直线l过抛物线y
2
=a(x+1)(a>0)的焦点，并且与x轴垂直，若l被抛物线截得的线
段长为4，则a=
20．四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有
__________种(用数字作答)


三、解答题(本大题共6小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤)
21．(本小题满分7分)
在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z1
，Z
2
，Z
3
，O (其中O是

原点 )，已知Z
2
对应复数
Z
2
13i
．求Z
1< br>和Z
3
对应的复数．
22．(本小题满分10分)
求sin
2
20°+cos
2
50°+sin20°cos50°的值．
23．(本小题满分12分)
如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面的圆周上，AF
⊥DE，F是垂足．
(1)求证：AF⊥DB；
(2)如果圆柱与三棱锥D－ABE的体积的比等于3π，求直线 DE
与平面ABCD所成的角．
24．(本小题满分12分)
某地为促进淡水鱼养 殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供
政府补贴．设淡水鱼的市场价格为x元千 克，政府补贴为t元千克．根据市场调查，当8
≤x≤14时，淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需 求量Q千克近似地满足关系：
P=1000(x+t－8)( x≥8，t≥0)，
Q=500
40

x8

(8≤x≤14)．
2
当P=Q时市场价格称为市场平衡价格．
(1)将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域；
(2)为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元?
25．(本小题满分12分)
设{a
n
}是由正数组成的等比数列，S
n
是其前n项和．
(1)证明
lgS
n
lgS
n2
lgS
n1；
2
lg

S
n
c

lg
S
n2
c

lg

S
n1
c

成立?并证明你的结
2
(2)是否存在常数c>0，使得论．
26．(本小题满分12分)
已知椭圆
x
2
y
2
1
，直线
2416

l:
xy
P是l上 点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|·|OP|=|OR|，
1
．
128
当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

1995年普通高等学校招生全国统一考试
数学试题(理工农医类)参考解答

一、选择题(本题考查基本知识和基本运算)
1．C 2．B 3．C 4．B 5．D 6．D 7．B 8．C
10．D 11．B 12．C 13．A 14．D 15．A

二、填空题(本题考查基本知识和基本运算)
16．{x|－273
32
18．

3
4
19．4 20．144

三、解答题
21．本小题主要考查复数基本概念和几何意义，以及运算能力．
解：设Z
1
，Z
3
对应的复数分别为z
1
，z
3
，依题设得

z
1
1

2
z





2
[cos



4


isin



4


]



1

13i


2
2

2

2
i


2





31
2

31
2
i


z
1
3

2
z



2


cos
4
isin
4



=
1
2

13i



22


i


22




1313
2

2
i

9 . A

22．本小题主要考查三角恒等式和运算能力．
解： 原式
1

1cos40


1

1cos1 00

sin20cos50

22
11
1< br>
cos100cos40



sin70si n30


22
31
sin70sin30sin70

42
3


4
23．本小题主要考查空间线面关系、圆柱性质、空间想象能力和逻辑推理能力．
(1)证明：根据圆柱性质，DA⊥平面ABE．
∵EB

平面ABE，
∴DA⊥EB．
∵AB是圆柱底面的直径，点E在圆周上，
∴AE⊥EB，又AE∩AD=A，
故得EB⊥平面DAE．
∵AF

平面DAE，
∴EB⊥AF．
又AF⊥DE，且EB∩DE=E，
故得AF⊥平面DEB．
∵DB

平面DEB，
∴AF⊥DB．
(2)解：过点E作EH ⊥AB，H是垂足，连结DH．根据圆柱性
质，平面ABCD⊥平面ABE，AB是交线．且EH
以EH⊥平面ABCD．
又DH平面ABCD，所以DH是ED在平面ABCD上的射影，
平面ABE，所
从而∠EDH是DE与平面ABCD所成的角．
设圆柱的底面半径为R，则DA=AB=2R，于是
V圆柱=2πR
3
，
V
DABE
12R
2
ADS
ABE
E H.

33
由V
圆柱
：V
D
－
ABE=3π，得EH=R，可知H是圆柱底面的圆心，

AH=R，
DH=
DA
2
AH
2
5R

∴∠EDH=arcctg
DH
=arcctg
5
，
EH
24．本小题主要考查运用所学数学知识和方法解决实际问题的能力，以及函数的概念、
方程和 不等式的解法等基础知识和方法．
解：(1)依题设有
1000(x+t－8)=500
40

x8

，
2
化简得 5x
2
+(8t－80)x+(4t
2
－64t+280)=0．
当判别式△=800－16t
2
≥0时，
可得 x=8－
2
4
50t
2
．
t
±
5
5
由△≥0，t≥0，8≤x≤14，得不等式组：

0t50

①


42
2
50t14

88t
55


0t50< br>
②


42
2
50t14

88t
55

解不等式组①，得0≤t≤
10
，不等式组② 无解．故所求的函数关系式为
42
x8t50t
2

55
函数的定义域为[0，
10
]．
(2)为使x≤10，应有
8

42
t50t
2
≤10
55
化简得 t
2
+4t－5≥0．
解得t≥1或t≤－5，由t≥0知t≥1．从而政府补贴至少为每千克1元．
25．本小题 主要考查等比数列、对数、不等式等基础知识，考查推理能力以及分析问
题和解决问题的能力．
(1)证明：设{a
n
}的公比为q，由题设a
1
>0，q>0．
(i)当q=1时，S
n
=na
1
，从而

S
n
·S
n+2
－
S
n1

=na< br>1
·(n+2)a
1
－(n+1)
2
a
1

=－
a
1
<0
2
2
2
a
11q
n
(ⅱ)当q≠1时，
S
n

，从而
1q
S
n
·S
n+2
－
S
n1



2

a
1
2
1q
n
1q
n2


1q

2n
2


a

1q

2
1
n1
2
2

1q


=
a
1
q0
．
由(i)和(ii)得S
n
· S
n+2
－
S
n1
．根据对数函数的单调性，知
lg(S
n
·S
n+2
)S
n1
，
即
2
2
lgS
n
lgS
n2
lgS
n1
．
2
(2)解：不存在．
证明一
：
要使
lg

S
n
c

lg

S
n2
c

lg
S
n1
c

．成立，则有
2

(Sn
c)(S
n2
c)(S
n1
c)
2,
①




S
n
c0.
②
分两种情况讨论：
(i)当q=1时，
(S
n
—c)( S
n+2
—c) =( S
n+1
—c)
2

=(na
1
－c)[( n+2)a
1
－c]－[(n+1)a
1
－c]
2

=
a
1
<0．
可知，不满足条件①，即不存在常数c>0，使结论成立．
(ii)当q≠1时，若条件①成立，因为
(S
n
—c)( S
n+2
—c)－( S
n+1
—c)
2

2


a
1
1q
n

a
11q
n2

a
1
1q
n1

c

c



c

=


1q

1q

1q
< br>=－a
1
q
n
[a
1
－c(1－q)]，
且a
1
q
n
≠0，故只能有a
1
－c(1－q)=0，即< br>c
此时，因为c>0，a
1
>0，所以0
2
a
1

1q
a
1
a
1
q
n
0
，不满足条件②，即不存在常数c>0，使结论 但0S
n

1q1q
成立．
综合(i)、(ii)，同时满足条件①、②的常数c>0不存在，即不存在常数c>0，使
lg

S
n
c

lg

S
n 2
c

lg

S
n1
c
．
2
证法二：用反证法，假设存在常数c>0，使
lg

S
n
c

lg

S
n2
c

lg

S
n1
c

，
2
则有

S
n
c0，

Sc0 ,

n1



Sc0,

n2

(Sc)(Sc)(Sc)
2
.
n2n1

n
由④得
S
n
S
n+2
－
S
n1
=c (S
n
+ S
n+2
－2 S
n+1
)． ⑤
根据平均值不等式及①、②、③、④知
S
n
+ S
n+2
－2 S
n+1

2
①
②
③
④
=(S
n
—c)+( S
n+2
—c)－2(S
n+1
—c) ≥2

S
n
c

S
n2
c

－2( S
n+1
—c)=0．
因为c>0，故⑤式右端非负，而由(1)知，⑤式左端小于 零，矛盾．故不存在常数c>0，
使
lg

S
n
c
lg

S
n2
c

=lg( S
n+1
—c)
2

26．本小题主要考查直线、椭圆的方程 和性
质，曲线与方程的关系，轨迹的概念和求法，利
用方程判定曲线的性质等解析几何的基本思 想
和综合运用知识的能力．
解法一：由题设知点Q不在原点．设P、R、
Q的坐标分 别为(x
P
，y
P
)，(x
R
，y
R
)， (x，y)，其
中x，y不同时为零．
当点P不在y轴上时，由于点R在椭圆上及点O、Q、R共线，得方程组
22
x
R
y
R
1



2416



y
R

y

x

x
R
解得

2
48x
2

x
R

2
2x3y
2



2

y
2

48y
R

2x
2
3y
2

①


②
由于点P在直线l上及点O、Q、P共线，得方程组

x
p
yp
1


128



y
y
p



xx

p
24x
< br>x

p
2x3y

解得


24y

y
p

2x3y

③


④
当点P在y轴上时，经验证①－④式也成立．
由题设|OQ|·|OP|=|OR|
2
，得
xyxy
将①－④代入上式，化简整理得
222
P
2P

x
2
R
y
2
R

< br>2
24
2
x
2
y
2

2

2x3y

2
48x
2
y
2
< br>
2x
2
3y
2


因x与xp
同号或y与yp同号，以及③、④知2x+3y>0，故点Q的轨迹方程为

x1

2


y1

2
5
2
5
3
1
(其中x，y不同时为零)．
所以点Q的轨迹是以(1，1)为中心，长、短半轴分别为
行的椭圆、去掉坐标原点．
1015
和且长轴与x轴平
23
解法二：由题设知点Q不在原点．设P，R，Q的坐 标分别为(x
p
，y
p
)，(x
R
，y
R
)，(x，
y)，其中x，y不同时为零．
设OP与x轴正方向的夹角为α，则有
x
p
=|OP|cosα，y
p
=|OP|sinα；
x
R
=|OR|cosα，y
R
=|OR|sinα；
x=|OQ|cosα，y=|OQ|sinα；
由上式及题设|OQ|·|OP|=|OR|
2
，得


x
P



y
P




x
2

R


2

y
R






OP
OQ
OP< br>OQ
OP
OQ
OP
OQ
x,
y,

x
2
,
y
2
,
①


②


③


④
由点P在直线l上，点R在椭圆上，得方程组
x
P
y
P
1
， ⑤
128
22
x
R
y
R
1
， ⑥
2416
将①，②，③，④代入⑤，⑥，整理得点Q的轨迹方程为

x1

2


y1

2
5
2
5
3
1
(其中x，y不同时为零)．

所以点Q的轨迹是 以(1，1)为中心，长、短半轴分别为
的椭圆、去掉坐标原点．



1015
和且长轴与x轴平行
23