里的新鲜事-冬至图片唯美

文科数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合要求的．
1.已知
i
是虚数单 位，复数
z
12i2
2i

1i
，则
z 
（ ）
开始
A.
1
B.
2
C.
5
D.
22

S1
2.已知
a,b
为实数，“
ab1 00
”是“
lgalgb2
”的（ ）
i3
A.

充分而不必要条件 B.

必要而不充分条件
C.

充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
是

S100?
3．已知程序框图如右，则输出的
i
为
A．7 B．8 C．9 D．10
否
4．已知一个几何体的三视图如下，正视图和俯视图两个
输出i
S=S﹡i
等腰梯形，长度单位是厘米，那么该几何体的体积是（ ）
A.
12

结束
ii2
B.
28

C.
36

D.
84

5.已知O为坐标原点，点A的坐标是

2,3

，
3

xy
正视图
侧视图
点
P

x,y

在不等式组

3

2xy6
所确定的

4

x2y6
2
区域内（包括边界）上运动，则
OAOP
的范围是 （ ）
2 4
A.

4,10

B.

6,9

C.

6,10

D.

9,10


俯视图
6.设函数
f
x

sinxcosx
，函数
h

x< br>
f

x

f


x
< br>，下列说法正确的是 （ ）
A.
yh

x

在


0,



2

单调递增，其图像关于直线
x

4
对称
B.
y h

x

在



0,


2


单调递增，其图像关于直线
x

2< br>对称

第1页（共16页）
C.
yh

x

在


0,



2


单调递减，其图像关于直线
x

4
对称
D.
yh

x
在


0,



2

< br>单调递减，其图像关于直线
x

2
对称
F
D C
7.已知E、F分别是正方体
ABCDA
1
B
1
C< br>1
D
1

A B
棱BB
1
、AD的中点， 则直线EF和平面
BDB
1
D
1
所成的
E
角的正弦值是（ ）
D
1
C
1
A.
2
A
1
B
1
6
B.
3
6
C.
1
6
3
D.
6

8．如果方程
x
2
y
2
p

q
1
表示双曲线，则下列椭圆中，与该双曲线共焦点的是（ ）
x< br>2
y
2
x
2
y
2
x
2
y< br>2
x
2
y
2
A.
2qp

q
1
B.
2qp

p
1
C.
2pq

q
1
D.
2pq

p
1
9.如图，已知直角三角形
ABC
的三边
CB,BA, AC
的长度成等差数列，点
E
为直角边AB的
A
中点，点D在斜边 AC上，且
AD

AC
，若
CEBD
，则
< br>

A.
78
17
B.
17
C.
9
17
D.
10
17

E
D
10.已知点P在半径为1的半圆周上沿着A

P

B路径运动，
设弧
AP
⌒


的长度为x，弓形面积为
f

x

（如图所示的阴影部分），
B
C
则关于函数
yf

x

的有如下结论：
①函数
yf

x

的定义域和值域都是

0,


；
P
②如果函数
yf

x
< br>的定义域R，则函数
yf

x

是周期函数；
B
O
A
③如果函数
yf

x

的定义 域R，则函数
yf

x

是奇函数；
④函数
y f

x

在区间

0,


上 是单调递增函数.
第2页（共16页）

以上结论的正确个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．
11．某校为了解学生的 睡觉情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自的睡眠时间
的数据，结果用下面的条形图表示 ，根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的睡眠
时间为_______________
h
．
频率
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
5.5 6 6.5 7 7.5
时间∕
h


12.等比数列
{a
n
}
中，
a
1
2,a
4
16
.若a
3
,a
5
分别为等差数列
{b
n
}
的第4项和第16项，则数
列
{b
n
}
的前
n
项和
S
n
= .
13.在圆
x
2
y
2
4
上，与直线
l:4x3y120
的距离 最小值是 .
14.已知集合
A

x2x 31,xR

，集合
B

xax
2
2x 0,xR

，
A

C
U
B

 
，则
实数
a
的范围是 .
15.如 果复数
zcos

isin

，





0,


2


，记n

nN


个
z
的积为
z
n
，通过验证
n2,n3,n4,
，的结果
z
n
，推测
z
n

.（结果用

,n,i
表示）
16．如果一个三角形的三边长度是连续的三 个自然数，且最大角是最小角的两倍，该三角形
的周长是 ．
17.已知x,aR,
a1
，直线
yx
与函数
f

x

log
a
x
有且仅有一个公共点，
则
a
；公共点坐标是 . T℃
三、解答题：本大题共6小题，共75分．
18.（本题满分12分）武汉地区春天的温度的变
30
化曲线近似地满足函数
yAsin


x


b
（如图所 示，单位:摄氏温
度,
A0,

0,0



）.
（Ⅰ）写出这段曲线的函数解析式；
10
（Ⅱ）求出一天（
t

0,24

，单位小时）
第3页（共16页）
O

6

14

th

温度的变化在

20,25

时的时间.
19
. （本题满分12分）某科研所研究人员都具有本科和研究生两类学历，年龄段和学历如下表，
从该科研所 任选一名研究人员，是本科生概率是
2
3
，是35岁以下的研究生概率是
1< br>6
.
（Ⅰ）求出表格中的x和y的值；
（Ⅱ）设“从数学教研组任选两名

本科（单位：名） 研究生（单位：名）
教师，本科一名，研究生一名，50
35岁以下
3 y
岁以上本科生和35岁以下的研究
35—50岁
3 2
生不全选中” 的事件为
A
，求事件
A
50岁以上
x 0
概率
P

A

.
P
20. （本小题满分13分）已知平面
PAD
平面
ABCD
,
PAPD2,
矩形
ABCD
的边长
ABDC2
，
ADBC22
.
D
C
（Ⅰ）证明：直线
AD
平面
PBC
；
（Ⅱ）求直线
PC
和底面
ABCD
所成角的大小.
A
B
21. （本题满分14分）
已知函数
f(x)ax
3bx
2
3x(a,bR)
，在点
(1,f(1))
处的切 线方程为
y20
．
（1）求函数
f(x)
的解析式；
（2）若对于区间
[2,2]
上任意两个自变量的值
x
1< br>,x
2
，都有
|f(x
1
)f(x
2
)| c
，求实数
c
的最小值；
（3）若过点
M(2,m)(m 2)
，可作曲线
yf(x)
的三条切线，求实数
m
的取值范围． 21.
（本小题满分14分）
x
2
y
2
已知椭圆
C:
1
a
2

b
2
1(ab0)
的 离心率为
2
，点
M(2,3)
，
N(2,3)
为
C
上两点，斜率为
1
2
的直线与椭圆
C
交于点
A
，
B
（
A
，
B
在直线
MN
两侧） ．
（I）求四边形
MANB
面积的最大值；
（II）设直线
AM
，
BM
的斜率为
k
1
,k
2
，试判断k
1
k
2
是否为定
值．若是，求出这个定值；若不是，说明理 由．



第4页（共16页）

1.已知
i
是虚数单位，复数
z 
12i2
2i

1i
，则
z
（ ）
A.
1
B.
2
C.
5
D.
22

【答案】C.
【解析】
z

12i

2i

22
i
2

2

1i

1
2
i
2

5i
5

2

1i

2
12i
，
z5
故选C.
【命题意图】考查复数的运算法则和模的定义及运算.
2.已知
a,b
为实 数，“
ab100
”是“
lgalgb2
”的（ ）
A.

充分而不必要条件 B.

必要而不充分条件
C.

充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B.
【解析】
ab100
，
lgalgb2
不一定成立，例如
a5,b20
，有
ab100
，
但 是
lgalgb2
不成立；反之，
lgalgb2
，则
a 0,b0
，根据对数的运算法则，
lgab2ab100
，所以
ab 100
一定成立，故选B.
【命题意图】考查对数的运算法则，充要必要条件内容的考查.

开始
3．已知程序框图如右，则输出的
i
为
A．7 B．8 C．9 D．10

S1
【答案】C.
【解析】由程序框图可得
i3,5,7
i
i3
时，
S 3,15,105
，故输出的为9，
故选C.
【命题意图】考查程序框图的基本内容，考查
是
S100?
简单的逻辑推理能力.

否

输出i

S=S﹡i


结束
ii2



4．已知一个几何体的三视图如下，正视图和
俯视图两个等腰梯形，长度单位是厘米，那么
3
该几何体的体积是（ ）
A.
12

B.
28

正视图
侧视图
C.
36

4
D.
84

2
【答案】B.
【解析】由图可知，该几何体是上下底
2 4
面试正方形，高度是3的四棱台，
第5页（共16页）
俯视图




根据台体的体积公式
V
1
3
h

S
1
S
1
S
2
S
2

得：
V
1
3
3

441616

28
，故选B.
【命题意图】考查三视图和简单几何体的基本概念，台体的体积计算公式和运算能力.
< br>xy3
5.已知O为坐标原点，点A的坐标是

2,3

，点
P

x,y

在不等式组


2x y6
所确定的区域


x2y6
内（包括边界）上运动，则< br>OAOP
的范围是 （ ）
A.

4,10

B.

6,9

C.

6,10

D.

9,10


【答案】C.
y
【解析】先求出三条直线
xy3,

2xy6,x2y6
的交点，交点分别是
A

3,0
、
B

2,2

、
C

0 ,3

，可行域是
C（0，3）
如图所示的
ABC
区 域（包括边界），因为
OAOP2x3y
，令
z2x3y
，如图平 行移
B（2,2）
动直线
z2x3y
，当直线
z2x3y
过
A

3,0

时，
z
取得最小值6，当 直线
z2x3y
过
B

2,2

时，
z
取得最大值10，
6OAOP10
，故选C.
A（3,0）
【命题意图】考查二元一次不等式组表示的平面区域，简单的线性规划问题和向量的数量积
O
.
x
6.设函数
f

x

sin xcosx
，函数
h

x

f

x< br>
f


x

，下列说法正确的是 （ ） A.
yh

x

在


0,



2



单调递增，其图像关于直线x
4
对称
B.
yh

x

在






0,
2


单调递增，其图像关于直线
x
2
对称

C.
yh

x

在



0,
< br>

2


单调递减，其图像关于直线
x
4
对称
D.
yh

x

在






0,
2


单调递 减，其图像关于直线
x
2
对称
【答案】D.
【解析】解法一 ：
h

x



cosxsinx

cosxsinx

cos2x
.所以f(x) 在


0,



2


单调递
减， 其图像关于直线
x

2
对称，故选D.
解法二：直接验证 由选 项知


0,



2

不是递增就是递减，而端点值又有意义，故只需验证端点
第6页（共16页）

值，知递减，显然
x

4
不会是对称轴故选D.
F
D C
【命题意图】本题考查三角函数图像和性质，属于中等题.

A B
7.已知E、F分别是正方体
ABCDA
1
B
1
C< br>1
D
1

棱BB
1
、AD的中点，则直线EF和平面
BDB
1
D
1
所成的
E
角的正弦值是（ ）
D
1
C
1
A.
2
6
B.
3
6
C.
1
3
D.
6
6

A
1
B
1
【答案】B. 【解析】[方法一]设正方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为2，由于E、F分别是正方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
棱BB
1
、AD的中点， 连接BD，AE，过F作BD交BD于H，则FH⊥
BDB
1
D
1
，
因为
FH
2
2
AF1,AE5
,
EF6< br>，直线EF和平面
BDB
1
D
1
所成的
角的正弦值是
3
6
，故选B.
[方法二]建立空间直角坐标系，设 正方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1的棱长为2，则
【命题意图】考查空间直线和平面的位置关系，简单的空间直角坐标系数.

x
2
8．如果方程
p

y
2
q
1
表示双曲线，则下列椭圆中，与该双曲线共焦点的是（ ）
A.
x
2
y
2
x
2
y
2
2qp
< br>q
1
B.
2qp

p
1

x
2
y
2
C.
2pq

q
1
D.
x
2
2pq

y
2
p
1

【答案】
D

解析：由条件可知
pq0
，则
p q0
，当
p0,q0
时，方程
x
2
y
2p

q
1
为
y
2
x
2
q

p
1
，表示焦点在
y
轴的双曲线，半焦距为
c pq
，此时B和D选项不是椭圆，
而A和C选项中均表示焦点在
x
轴上得 椭圆，矛盾；当
p0,q0
时，方程
x
2
y
2
p

q
1
为
x
2
y
2
p< br>
q
1
，表示焦点在
x
轴的双曲线，半焦距为
c pq
，此时A和C选项不是椭
圆，B选项
x
2
y
2< br>x
2
y
2
2qpp
1
为
2qp

p
1
，D选项
x
2
2pq

y
2

p
1
为
第7页（共16页）
x
2
2pq

y
2
p
1
均表示焦点在
x
轴上得椭圆，只有D选项的半焦距为
cpq
，因
此选
D．

【命题意图】考察圆锥曲线的基本概念、圆锥曲线的标准方程以及分类与整合的数学思想.
9 .如图，已知直角三角形
ABC
的三边
CB,BA,AC
的长度成等差数列 ，点
E
为直角边AB的
中点，点D在斜边AC上，且
AD

AC
，若
CEBD
，则



A.
7
17
B.
8
17
C.
910
17
D.
17

A
【答案】B.
【解析】三边
CB,BA,AC
的长度成等差数列，设为
ad,a,ad

a0,d0,ad0

，则
E
D

ad

2
a
2


ad

2
，则
a4d
，不妨令
d 1

因此三边长分别为
CB3,BA4,AC5
，
C
CE
1
B
2
ABBC
,
BDBAAD BA

AC


1


BA

BC
.
由
CEBD
得：
CEBD0
， 即
1
2

1


AB
2

BC
2
0
，
8

1


9

0
，
所以


8
17
，因此选B.
【命题意图】考查向量的运算法则，数量积和解决问题的能力.

10.已知点P 在半径为1的半圆周上沿着A

P

B路径运动，设弧
AP

⌒


的长度为x，弓形面
积为
f

x

（如图所示的阴影部分），则关于函数
yf

x
的有如下结论：
①函数
yf

x

的定 义域和值域都是

0,


；
P
②如果函数< br>yf

x

的定义域R，则函数
yf

x

是周期函数；
③如果函数
yf

x
的定义域R，则函数
yf

x

是奇函数；
④函数
yf

x

在区间

0,


上是单调递增函数.
B
O
A
以上结论的正确个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B.
【解析】因为
S
1
扇形

2
11x
1
2
x
，
S
11
OA P

2
1sinx
2
sinx
，所以
y f

x

S
扇形
S
1
2
x
1
2
sinx
，它的定义域是

0,


，
f


x


11
OAP
2

2
cosx0
，
yf

x

在区间

0,


上是增函数，
0f

x



2
，显然该函数不是周期函数，如果函 数
yf

x

的定义域R，则函数
yf
x

是奇函数，故①、②不正确，③和④正确，选B.
【命题意图】考查学生创新意识和解决实际问题的能力，考查运用数学知识解决实际问题的能
第8页（共16页）

力，考查函数的基本性质.

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分． 请将答案填在答题卡对应题号的位
置上，填错位置，书写不清，模棱两可均不得分．
11．某 校为了解学生的睡觉情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自的睡眠时间
的数据，结果用下 面的条形图表示，根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的睡眠
时间为____________ ___
h
．
频率
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
5.5 6 6.5 7 7.5
时间∕
h


【答案】
6.4
h.
【解析】
x0.1

5.577.5

0.3 60.46.56.4
.
【命题意图】考查直方图的基本概念，考查解决实际问题的能力.

12.等比数列
{a
n
}
中，
a
1
2,a
4
 16
.若
a
3
,a
5
分别为等差数列
{b
n
}
的第4项和第16项，则数
列
{b
n
}
的前< br>n
项和
S
n
= .
【答案】
n
2
n
.
【解析】设
{a
3
n
}
的公比为
q
, 由已知得
162q
，解得
q2
.
又
a
1
2
，所以
a
n
a
1
q
n1
22
n1
2
n
.
则
a
2
8
，
a
5
32
，则
b
4
8
，< br>b
16
32
.
设
{b

b
1
3d8,

b
1
2,
n
}
的公差为
d
，则有


b
1
15d32,
解得



d2.
则数列
{b
S
n(n1)

n(n1)
n
}
的前
n
项和
n
nb
1

2
d2n
2
2n
2
n.

【命题意图】考查等数列和等比数列的基本概念，考查等数列和等比数列通项与求和方法，考
查 学生的计算能力.
13.（在圆
x
2
y
2
4
上，与直线
l:4x3y120
的距离最小值是 .
【答案】
2
5
.
【解析】圆的半径是2，圆心
O

0,0

到
l:4x3y120
的距离是
d12
4
2
3
2

12
5
，所
以圆
x
2
y
2
4
上，与直线
l:4x3y 120
的距离最小值是
d
12
5
2
2
5
，所以应该
第9页（共16页）
填
2
5
.
【命题意图】考查绝对值不等式和一元二次不等式的解法 ，考查集合的运算以及分类整合的数
学思想.
14.已知集合
A

x2x31,xR

，集合
B

xax
2
2x0,xR

，
A

C
U
B


，则
实数
a
的范围是 .
【答案】

,1


【解析】
A

1,2

，由于
A

C
U
B
< br>
，则
AB
，
当
a0
时，
B
xx0,xR



0,

，满足
AB
；
当
a0
时，
B


xx

2



x
a

< br>0,xR







< br>,
2

a




0,< br>
，满足
AB
；
当
a0
时，
B

xx


x
2


 0,xR





0,
2

a


，若
AB
，则
2
2
，即
0a


a



a
1
；
综合以上讨论，实数
a
的范围是

,1

.
【命题意图】考查绝对值不等式和一元二次不等式的解法，考查集合的运算以及分类整合的数
学 思想.
15.如果复数
zcos

isin

，



0,



2
< br>
，记
n

nN


个
z
的积为
z
n
，通过验证
n2,n3,n4,
，的结果z
n
，推测
z
n

.（结果用

,n,i
表示）
【答案】
z
n
c osn

isinn

.
【解析】由条件
z
1
cos

isin

，
z2


cos

isin


2< br>cos
2

sin
2

2isin

cos

cos2

isin2

；
z
3


cos

isin

3


cos2

isin2


cos

isin





cos 2

cos

sin2

sin

< br>i

sin2

cos

cos2
< br>sin



cos3

isin3

；
推测
z
n
cosn

isinn


【命题意图】考查复数的运算和三角变换，以及归纳推理的等数学知识，考查学生运用数学知
识 解决问题的能力.
16．如果一个三角形的三边长度是连续的三个自然数，且最大角是最小角的两倍 ，该三角形
的周长是 ．
【答案】
15
.
【解 析】设三角形的三边长分别是
n1,n,n1

n2,nN

，三个角分别是

,

3

,2

． 由正弦定理得，
n1
n1
sin


n1
s in2

，所以
cos


2

n1< br>
，由余弦定理得，

n1

2

< br>n1

2
n
2
2

n1

n
n1
2

n1

，即
n2
5n0
，
n5
，
n0
（舍去），
第10页（共16页）

所以三边分别是
4,5,6
，周长为
15
，答案填
15
.
【命题意图】考查利用基本不等式求最值的技能，考查不等式使用的条件和解题技巧.
17 .已知
x,aR,
a1
，直线
yx
与函数
f

x

log
a
x
有且仅有一个公共点，
则
a
；公共点坐标是 .
1
【答案 】
ae
e
，

e,e

.
【解析】构 造新函数
g

x

log
，
g

1
a
xx

x


xlna
1
，令
1
xlna
10

有
x
1
l na
，因为
a1
，当
0x
1

1
lna
时，
g

x

0
；当
x< br>lna
时，
g

x

0

所以，
g

x

log
1

1
< br>1

a
xx
在
x
lna
处有最大值g


lna


，当
g


lna


0
时，直线
yx
与
函数
f

x

log
有且仅有一个公共点，即
log

1

a
x
a


lna



1
lna
，
log
1
a

lna


lna

1

ln

lna


1

ln

lna

1
，
lna
1
a
e
则
yx 
1
lnalna
e
e
，
1
e
,即公 共点坐标
lne
e
1
是

e,e

，所以 两空分别填
ae
e
，

e,e

.
【 命题意图】考查导数和函数零点等知识解决问题的能力，考查学生创新意识、运用数学知识
解决问题的能 力和计算能力.

三、解答题：本大题共6小题，共75分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
18.（本题满分12分）（课本必修4第60页例1改编）
武汉地区春天的温度的变化曲线 近似地满足函数
yAsin


x


b< br>（如图所示，单位:摄
氏温度,
A0,

0,0


）.
（Ⅰ）写出这段曲线的函数解析式；


（Ⅱ）求出一天（
t0,24

，单位小时）
T℃
温度的变化在

20,25

时的时间.
30
解：（Ⅰ）由条件可知


Ab30,
解得

A10,


Ab10.


b20.
因为
12

2


146
，所以



10
8
.
所以
y10sin




O
6
14
th

8
x



20
.
将点

6,10

代入上式，得


3
.从而解析式是
y10


3


4
sin


8
x
4


20
.………………（6
分）
第11页（共16页）
（Ⅱ）由（Ⅰ），令
2010sin



3



8
x
4


2025
，
得
0sin



3


1

8
x
4



2
. 所以
2k



8
x
3

4
2k



6
，………………………………①
或
2k


5

3

6
< br>8
x
4
2k



……………………… ………②
由①，得
16k6x16k6
4
3
.取
k1
，得
10x11
1
3
.
由②，得
16k
2
3
x16k2
.取
k0
，得
2
x2
；取
k1
，得
16
2
x18.

33
即一天温度的变化在
20,25
时的时间是
0:40~2:00
，
10:00~11:20
，
16:40~18:00
三
个时间段，共4小时………………………………………………（12分）
19
.（本题满分12分）
某科研所研究人员都具有本科和研究生两类学历，年龄段 和学历如下表，从该科研所任选一名
研究人员，是本科生概率是
2
3
，是35 岁以下的研究生概率是
1
6
.
（Ⅰ）求出表格中的x和y的值；

（Ⅱ）设“从数学教研组任选两名

本科（单位：名） 研究生（单位：名）
教师，本科一名，研究生一名，50
35岁以下
3 y
岁以上本科生和35岁以下的研究
35—50岁
3 2
生不全选中” 的事件为
A
，求事件
A
50岁以上
x 0
概率
P

A

.
【解析】（Ⅰ）从科研所任选一 名研究人员，是本科生概率是
2
3
，是35岁以下的研究生概率
是
1
6
.


33x2
所以


8xy

3
，解得
x2,y2

y1



8xy

6
因此该科研所的研究人员共有12名， 其中50岁以上的具有本科学历的2名，35岁以下具有
研究生学历的2名；
（Ⅱ）设具有 本科学历的研究人员分别标记为
B
1
,B
2
,B
3
,B
4
,B
5
,B
6
,B
7
,B
8
，其中
B
7
,B
8
是
50岁以上本科生，研究生 分别标记为
Y
1
,Y
2
,Y
3
,Y
4,35岁以下的研究生分别标记为
Y
1
,Y
2
，事件
A

的基本事件是共有32种：
B
1
,Y
1
，

B
2
,Y
1

，

B< br>3
,Y
1

，

B
4
,Y
1

，

B
5
,Y
1

，

B
6
,Y
1

，

B
7,Y
1

，

B
8
,Y
1

，
第12页（共16页）


B
1
,Y
2

，

B
2
,Y
2

，
B
3
,Y
2

，

B
4< br>,Y
2

，

B
5
,Y
2

，

B
6
,Y
2

，

B
7
,Y
2

，

B
8
,Y< br>2

，

B
1
,Y
3

，

B
2
,Y
3

，

B
3
,Y
3

，

B
4
,Y
3< br>
，

B
5
,Y
3

，

B
6
,Y
3

，

B
7
,Y
3

，

B
8
,Y
3
，

B
1
,Y
4

，

B
2
,Y
4

，

B
3
,Y
4

，

B
4
,Y
4

，
B
5
,Y
4

，

B
6< br>,Y
4

，

B
7
,Y
4

，

B
8
,Y
4

，
50岁 以上的具有本科学历和35岁以下具有研究生学历的研究人员全部被选上的有

B
7< br>,Y
1

，

B
8
,Y
1

，

B
7
,Y
2

，

B
8
,Y
2

有4种，所以
P

A
1
47


328
【命题意图】考查古典概型基 本知识和解决概率问题基本方法，考查学生应用数学知识解决问
题的能力、逻辑推理能力和计算能力.
20. （本小题满分13分）已知平面
PAD
平面
ABCD
,< br>PAPD2,
矩形
ABCD
的边长
（3）若过点
M (2,m)(m2)
，可作曲线
yf(x)
的三条切线，求实数
m
的取值范围．

【解析】（1）
f

(x)3ax2bx3
…………1分
根据题意，得

解得

2

f (1)2,

ab32,
即


< br>f

(1)0,

3a2b30,
ABDC2< br>，
ADBC22
.
（Ⅰ）证明：直线
AD
平面
PBC
；
（Ⅱ）求直线
PC
和底面
ABCD
所成角的大小.
【解析】（Ⅰ）因为四边形
ABCD
是矩形
ADBC
，…………………2分
又
BC
平面
PBC
…………………4分
AD
平面
PBC
…………………5分
所以直线
AD
平面
PBC
……………6分
（Ⅱ）由条件平面
PAD
平面
ABCD

平面
PAD
平面
ABCDAD

过点
P
作
PEAD
，……………7分
又因为
CDAD

根据平面和平面垂直的性质定理得
PE平面
ABCD
,
CD
平面
PAD
……………9分 < br>所以，直线
EC
是直线
PC
在平面
ABCD
内的射影
PCE
直线
PC
和底面
ABCD
所成角，
且
CD
PD
……………10分
在
RtPCD
中，
PC
在
RtPCE
中，

a1,
3

f(x)x3x.
…………3分

b0.
2
（2）令
f

(x)3x3
0
，解得
x1

Qf(1)2,f(1)2
，
f(2)2,f(2)2



当x[2,2]
时，
f(x)
max
 2,f(x)
min
2.
…………5分

则对于 区间[-2，2]上任意两个自变量的值
x
1
,x
2
，都有
P
|f(x
1
)f(x
2
)||f(x)
m ax
f(x)
min
|4

所以
c4.
所以
c
的最小值为4。 …………6分
3
（Ⅲ）设切点为
(x
0
,y
0
),则y< br>0
x
0
3x
0


D
C


22
Qf

(x
0
)3x
0
3
，

切线的斜率为
3x
0
3.

A
P
B



D
C


B
3
x
0
3x
0
m
则
3x 3

x
0
2
32
即
2x
0
6x
0
6m0
， …………8分
因为过点
M( 2,m)(m2)
，可作曲线
yf(x)
的三条切线
32
所以 方程
2x
0
6x
0
6m0
有三个不同的实数解
2
0
即函数
g(x)2x6x6m
有三个不同的零点， …………9分
则
g

(x)6x12x.

令
g

(x)0,解得x0或x2.

x

0

(,0)

（0，2）
—

2
0
极小值

（2，+∞）
+
2
32
PD
2
CD
2
22

PD
2
ED
2
2

A
E
因为
PAPD2,
所以
PE
sinPCE
PE21

，
PC
22
2
g

(x)

g(x)


+ 0
极大值
PCE30
0
…………11分
0
直线
PC
和 底面
ABCD
所成角的大小为
30
.…………12分

21. （本题满分14分）
已知函数
f(x)axbx3x(a,bR)
，在点
(1,f(1))
处的切线方程为
y20
．
（1）求函数
f(x)
的解析式；
（2）若对于区间
[2,2]< br>上任意两个自变量的值
x
1
,x
2
，都有
|f(x< br>1
)f(x
2
)|c
，求实数
c
的最小值；
32
…………10分




g(0)0

6m0
即

，∴
6m2
…………12分

g(2)0

m20

21.（本小题满分14分）
x
2
y
2
1
已知椭 圆
C:
2

2
1(ab0)
的离心率为，点
M(2,3)
，
2
ab
第13页（共16页） 第14页（共16页）

N(2,3)
为
C
上两 点，斜率为
1
2
的直线与椭圆
C
交于点
A
，
B
（
A
，
B
在直线
MN
两侧）．
（I）求四边形
MANB
面积的最大值；
（II）设直线
AM，
BM
的斜率为
k
1
,k
2
，试判断
k
1
k
2
是否为定值．若是，求出这个定值；
若不是，说明理由．
e
2
，设椭圆
x
2
y
2
【解析】（I）
1
4c
2

3c
2
1
，将点
M (2,3)
代入椭圆，得
c2
，
C
的方程为
x
2
16

y
2
所以椭圆
12
1
…………2分
设直线的方程为
y
1
2
xm
(mR)
，
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,x2
)


x
2



y2
1

1612
，得
x
2
mxm
2
120




y
1
2
xm
则
x m
,
x
2
1
x
2

1
x2
m12
…………4分
又
S
1
MANB

2
|MN||x
1
1
x
2
|
2
|MN|(x
1
x
2< br>)
2
4x
1
x
2

=
1
2
6483m
2

显然当
m0
时,
S
MANB
=
123
…………6分
（II）设直线
MA
、
MB
的方程分别为
y k
1
(x2)3
（5）
yk
2
(x2) 3
（
k
1,2
R
）
将（5）代入（4）得：
( 16k
2
1
12)x
2
(96k
1
64k< br>2
1
)x64k
2
1
192k
1
48 0
则
64k
22
2x
1
192k
1
 48
16k
2


x
8k
1
24k
1
6
1


1

4k
2
…………8分
1
12
1
3

A(
8k
2
1
24k
1
612k
2
1
12k1
98k
2
2
24k
2
612k
2< br>2
12k
2
9
4k
2
,)
同理：
B(
k
2
,)

1
34k
21
34
2
34k
2
2
3
12k
2
1
12k
1
912k
2
2
12k2
9
2
k
y
2

1
y
2
4k
1
34k
2
AB
x

3
8k
2

1
…………10分
1
x
2
1
24k
1
6
4k
2
8k
2
2
24k
2
6
2
1
34 k
2
2
3
化简得：
k
22
1
k
2

Q
k
1
k
2


k
1
k
2

即
k
1
k
2
0
为定值。 …………12分





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