2018文科数学高考真题
毒品图片-街景图片
2018
年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回
答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60
分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．已知集合
A
0
，
2
，
B
2
，
1
，
0
，
1
，
2
，则
A
I
B
A．
0
，
2
1
B．
，
2
C．
0
1
，
2
D．
2
，
1
，
0
，
1 i
2i ，则
z
2．设 z
1 i
A．0
1
C
．
1
D
．
2
B．
2
3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的
经
济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
x
2
y
2
1
的一个焦点为
(2
，
0)
，则
C
的离心率为
4．已知椭圆
C
：
a
2
4
1
A．
3
1
2
C
．
B．
2
2
1
2
1 2
D
．
2 2
3
5．已知圆柱的上、下底面的中心分别为
O
，
O
，过直线
O
O
的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正
方形，则该圆柱的表面积为
A．
12
2π
B．
12
π
C．
8 2π
D．
10
π
6．设函数
f
x
x
3
a 1
x
2
ax
．若
f
x
为奇函数，则曲线
y
f
x
在点
0
，
0
处的切线方程为
A．
y
2
x
B．
y
x
C．
y
2
x
D．
y
x
uuur
7
．在
ABC
中，
AD
为
BC
边上的中线，
E
为
AD
的中点，则
EB
△
r
1
uuur
r
3
uuur
3
uuu
1
uuu
A．
AB
AC
B．
AB
AC
4
4
4
4
r
1
uuur
r
3
uuur
3
uuu
1
uuu
C．
AB
AC
D．
AB
AC
4
4
4
4
8．已知函数
f
x
2cos
2
x
sin
2
x
2
，则
A．
f
x
的最小正周期为 π，最大值为 3
B．
f
x
的最小正周期为 π，最大值为 4
C．
f
x
的最小正周期为
2π
，最大值为
3
D．
f
x
的最小正周期为
2π
，最大值为 4
9．某圆柱的高为
2，底面周长为
16，其三视图如右图．圆柱表面上的点
M
在
正视图上的对应点为
A
，圆柱表面上的点
N
在左视图上的对应点为
B
，则
在此圆柱侧面上，从
M
到
N
的路径中，最短路径的长度为
A
．
2 17
B
．
2 5
C． 3
1 1 1 1
D．2
1 1 1
10．在长方体
ABCD
A
B
C
D
中，
AB BC
2
，
AC
与平面
BB
C
C
所成的角为
30
，则该长方体的
体积为
A
．
8
B
．
6 2
C
．
8 2
D
．
8 3
11．已知角
的顶点为坐标原点，始边与
x
轴的非负半轴重合，终边上有两点
A
1
，
a
，
B
2
，
b
，且
cos 2
，则
a
b
3
2
1
5
．
B
A．
5
5
1
，
x
0
C
．
2 5
5
D
．
1
x
，x≤0
2
12．设函数
f
x
，则满足
f
x
1
f
2x
的
x
的取值范围是
A．
，
1
B．
0
，
C．
1
，
0
D．
，
0
二、填空题（本题共
4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
a
，若
f
3
1
，则
a
________．
2
13．已知函数
f
x
log
x
2
x
2
y
2
≤
0
x
y
1
≥
0
，则
z
3x
2y
的最大值为
________
．
14
．若
x
，
y
满足约束条件
y ≤ 0
15．直线
y
x
1
与圆 x
2
y
2
2
y 3 0 交于
A
，
B
两点，则
AB
________．
16
．△
ABC
的内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，已知
b
sin
C
c
sin
B
4a
sin
B
sin
C
，
b
2
c
2
a
2
8
，
则△
ABC
的面积为________．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21
题为必考题，每个试题考生
都必须作答。第 22、23
题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17．（12 分）
已知数列
a
n
满足
a
1
，
na
n1<
br>
2
n
1
a
n
，设
b
a
n
1
n
．
n
（1）求
b
，
b
，
b
；
1
（
2
）判断数列
b
n
是否为等比数列，并说明理由；
2
3
（
3
）求
a
n
的通项公式．学
,
科网
18．（12
分）
如图，在平行四边形
ABCM
中，
AB
AC 3
，∠
ACM 90
，以
AC
为折痕将△
ACM
折起，使点
M
到达点
D
的位置，且
AB ⊥ DA
．
（1）证明：平面 ACD ⊥平面 ABC ；
2
Q
（
2
）
为线段
AD
上一点，
P
为线段
BC
上一点，且
BP
DQ
DA
，求三棱锥
Q
ABP
的体积．
3
19．（12 分）
某家庭记录了未使用节水龙头 50
天的日用水量数据（单位：m
3
）和使用了节水龙头 50 天的日用水量
数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头 50
天的日用水量频数分布表
日用
0
，0.1
0.1，0.2
0.2 ，0.3
0.3
，0.4
0.4 ，0.5
0.5 ，0.6
0.6
，0.7
水量
频数
1
3
2
4
9
26
5
使用了节水龙头 50
天的日用水量频数分布表
日用
水量
0 ，0.1
1
0.1，0.2
5
0.2
，0.3
13
0.3
，0.4
10
0.4
，0.5
16
0.5
，0.6
5
频数
（1）在答题卡上作出使用了节水龙头 50 天的日用水量数据的频率分布直方图：
（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于 0.35
m
3
的概率；
（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365
天计算，同一组中的数据以这组
数据所在区间中点的值作代表．）
20．（12 分）
设抛物线
C
：
y
2
2x
，点
A
2
，
0
，
B
2
，
0
，过点
A
的直线
l
与
C
交于
M
，
N
两点．
（1）当
l
与
x
轴垂直时，求直线
BM
的方程；
（2）证明：∠ABM
∠
ABN ．
21．（12
分）
已知函数
f
x
ae
x
ln x 1
．
（1）设 x 2 是
f
x
的极值点．求
a
，并求
f
x
的单调区间；
1
（2）证明：当 a
≥
时，
f
x
≥
0
．
e
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23
题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修
4—4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的方程为
y
k
x
2
．以坐标原点为极点，
x
轴正半轴为极轴建立极坐
1
标系，曲线
C
的极坐标方程为
2
2
cos
3 0 ．
2
（1）求
C
的直角坐标方程；学科*网
2
（2）若
C
与
C
有且仅有三个公共点，求
C
的方程．
1
2
1
23．[选修 4—5：不等式选讲]（10
分）
已知
f
x
x
1
ax
1
．
（1）当 a 1 时，求不等式
f
x
1
的解集；
时不等式
f
x
x
成立，求
a
的取值范围．（2）若
x
∈
0
，
1
2018
年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学试题参考答案
一、选择题
1．A
7．A
2．C
3．A
4．C
5．B
6．D
8．B
9．B
10．C
11．B
12．D
二、填空题
13．-7
23
．．．
146
15
2
2
16
3
三、解答题
2(n
1)
．解：（）由条件可得
171
a
n+1
=
a
．
n
n
将
n=1
代入得，
a
2
=4a
1
，而
a
1
=1
，所以，
a
2
=4
．
将
n=2
代入得，
a
3
=3a
2
，所以，
a
3
=12
．
从而
b
1
=1
，
b
2<
br>=2
，
b
3
=4
．
（
2
）
{b
n
}
是首项为
1
，公比为
2
的等比数列．
a
2a
n
，又
，所以
=2bb=1{b
n
}
是首项为
1
，公比为
2
的等比数列．
由条件可得
n
1
，即 b
n+1
n
1
n 1
n
a
n
n
-
1
．
n1
·
n2
（3）由（2）可得
2
，所以
a
n
=
n
（
1
）由已知可得，
BAC
=90
°，
BA
⊥
AC
．
18
．解：
又 BA⊥AD，所以 AB⊥平面 ACD．
又
AB
平面
ABC
，
所以平面 ACD⊥平面 ABC．
（
2
）由已知可得，
DC=CM=AB=3
，
DA=
3 2
．
2
又
BP DQ
DA
，所以
BP 2 2
．
3
作
QE
⊥
AC
，垂足为
E
，则
QE
P
1
3
DC
．
由已知及（1）可得 DC⊥平面 ABC，所以
QE⊥平面 ABC，QE=1．
因此，三棱锥
Q ABP
的体积为
V
1
1
1
Q
ABP
3
QE
S
1
3 2 2 sin 45
1
．
△
ABP
3
2
19．解：（
1）
（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后 50 天日用水量小于 0.35m
3
的频率为
0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48，
因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于 0.35m
3
的概率的估计值为
0.48．
（3）该家庭未使用节水龙头 50 天日用水量的平均数为
x
1
1
50
(0.05 1 0.15 3 0.25 2
0.35 4 0.45 9 0.55 26 0.65 5)
0.48 ．
该家庭使用了节水龙头后 50 天日用水量的平均数为
x
1
2
50
(0.05 1 0.15 5 0.25 13
0.35 10 0.45 16 0.55 5) 0.35 ．
估计使用节水龙头后，一年可节省水 (0.48 0.35) 365
47.45(m
3
) ．
20．解：
（1）当 l 与 x 轴垂直时，l 的方程为 x=2，可得 M
的坐标为（2，2）或（2，–）．
2
所以直线
BM
的方程为
y=
1
x 1
或
y
1
x 1
．
2
2
（2）当 l 与 x 轴垂直时，AB 为
MN 的垂直平分线，所以∠ABM=∠ABN．
当
l
与
x
轴不垂直时，设
l
的方程为
y
k
(
x
2)(k
0)
，
M
（<
br>x
1
，
y
1
），
N
（
x
2
，
y
2
），则
x
1
>0
，
x
2
>0
．
y
k
(
x
2)
，
ky
2
–
2y
–
4k=
0
，可知
y
+y=
2
，
y
y=
–
4
．
得
12
12
由
k
y
2
2
x
直线 BM，BN 的斜率之和为
y x y x y 2( y y )
．①
1
2
k
2
1
1
2
1
2
BM
x 2
x 2
( x 2)(x
2)
1 2 1 2
y
y
将
x
1
2
，
x
y
2
2
及
y
1
+y
2
，
y
1
y
2
的表达式代入①式分子，可得
1
2
k
k
k
2 y y 4k ( y y )
8
8
0
．
x
y x y 2( y y )
1 2 1 2
2
1
1
2
1
2
k
k
所以
k
BM
+k
BN
=0
，可知
BM
，
BN
的倾斜角互补，所以∠
ABM+
∠
ABN
．
综上，∠ABM=∠ABN．
1
21．解：（1）f（x）的定义域为
(0
，
)
，f ′（x）=ae
x
–
．
x
1
．
由题设知，f ′（2）=0，所以 a=
2
2e
1
1 1
从而 f（x）=
e
x
ln x
1，f ′（x）= e
x
．
2e
2
2e
2
x
当 0
所以 f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．
1
e
x
（2）当 a≥ 时，f（x）≥
ln x
1 ．
e
e
e
x
e
x
1
设 g（x）=
ln x 1 ，则 g(x)
．
e
e
x
当
0
故当 x>0
时，g（x）≥g（1）=0．
因此，当 a
时，
f
(
x)
0
．
e
22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
1
解：（1）由
x
cos
，
y
sin
得
C
的直角坐标方程为
2
( x 1)
2
y
2
4
．
（
2
）由（
1
）知
C
是圆心为
A(
1,0)
，半径为
2
的圆．
2
1
由题设知，
C
是过点
B(0,2)
且关于
y
轴对称的两条射线．记
y
轴右边的射线为
l
，
y
轴左边的射线为
1
l
．由于
B
在圆
C
的外面，故
C
与
C
有且仅有三个公共点等价于
l
与
C
只有一个公共点且
l
与
C
有
2
2
1
2
1
2
2
2
两个公共点，或
l
与
C
只有一个公共点且
l
与
C
有两个公共点．
2
2
1
2
|
k
2|
4
2
当
l
与
C
只有一个公共点时，
A
到
l
所在直线的距离为
2
，所以
，故
k
或
k 0
．
1
2
1
3
k
2
1
4
经检验，当 k
0 时，
l
与
C
没有公共点；当
k
时，
l
1
与
C
只有一个公共点，
l
与
C
有两个公共
1
2
2
2
2
3
点．
4
| k 2|
2
，故 k 0 或
k
．
当
l
与
C
只有一个公共点时，
A
到
l
所在直线的距离为
2
，所以
2
2
2
3
k
2
1
4
经检验，当 k 0 时，
l
与
C
没有公共点；当
k
时，
l
与
C
没有公共点．学.科网
2 2
1
2
3
4
综上，所求
C
的方程为 y
| x | 2 ．
1
3
23．[选修
4-5：不等式选讲]（10 分）
2,
x
1,
1
x
1,
解：（
1
）当
a
1
时，
f
(
x)
|
x
1|
|
x
1|
，即
f
(
x)
2x,
2, x 1.
1
故不等式
f
(
x)
1
的解集为 {x | x } ．
2
（2）当
x
(0,1)
时
|
x
1|
|
ax
1|
x
成立等价于当
x
(0,1)
时
|
ax
1|
1
成立．
若 a 0 ，则当
x
(0,1)
时
|
ax
1|
1
；
2
2
若 a 0 ，
|
ax
1|
1
的解集为
0
x
，所以
1
，故 0
a 2 ．
a
a
综上，
a
的取值范围为
(0,2]
．
P