秋的古诗-工程预算

合情推理、演绎推理
一、考点
二、命题预测：
归纳、类比和演绎 推理是高考的热点，归纳与类比推理大多数出现在填空题中，为中、抵挡题，主要
考察类比、归纳推理的 能力；演绎推理大多出现在解答题中，为中、高档题，在知识的交汇点出命题，考
察学生的分析问题，解 决问题以及逻辑推理能力。预测2012年仍然如此，重点考察逻辑推理能力。
三、题型讲解：
1：与代数式有关的推理问题
a
2
b
2

< br>ab

ab

,
例1、观察
ab

ab

aabb
332
a
4
b
4



ab


a
3
2
进而猜想
a
n
b
n


3
a
2
bab
2
b
3

例 2、观察
1=1，1-4=-（1+2），1-4+9=（1+2+3），1-4+9-16= -（1+2+3+4）…
猜想第n个等式是： 。
练习:观察下列等式：12
3
3
2
，
1
3
2
3
3
3
6
2
，
1
3
2
3
 3
3
4
3
10
2
，…，根据上述规律，第五个
．．．
等式为 。
．．
解析：
第i个等式左边为1 到i+1的立方和，右边为1+2+...+（i+1）的平方所以第五个
．．．
333333 2
12345621
等式为
。
．．
练习：在计算“< br>1223n(n1)
”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k项：
1
k(k1)[k(k1)(k2)(k1)k(k1)],
由此得
3
111
12(123012),23(234123 ),
…
n(n1)[n(n1)(n2)(n1)n(n1)].
< br>333
相加，得
1223n(n1)
1
n(n 1)(n2).

3
类比上述方法，请你计算“
123234 n(n1)(n2)
”，其结果为 .
答案：
n(n1)(n2)(n3)

1
4

2：与三角函数有关的推理问题
例1、观察下列等式，猜想一个一般性的结论，并证明结论的真假。
1

3
,
2
3
sin
2
60
0
sin< br>2
120
0
sin
2
180
0


2
3
sin
2
45
0
sin
2
105
0
sin
2
165
0
,
2
3< br>sin
2
15
0
sin
2
75
0
sin
2
135
0

2
sin
2
30< br>0
sin
2
90
0
sin
2
1500

练习：观察下列等式：
① cos2α=2 cos α－1；
42
② cos 4α=8 cos α－8 cos α+1；
6 42
③ cos 6α=32 cosα－48 cos α＋18 cos α－1；
86 42
④ cos 8α= 128 cosα－256cosα＋160 cos α－32 cos α＋1；
1086 42
⑤ cos 10α=mcosα－1280 cosα＋1120cosα＋ncos α＋p cos α－1；
可以推测，m－n+p= .
答案：962
2
3：与不等式有关的推理
例1、b克盐水中，有a克 盐（
ba0
），若再添加m克盐（m>0）则盐水就变咸了，试根据这一事实提
炼 一个不等式 .
例2、用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受 的阻力会越来越大，使得每次钉入
木板的钉子长度后一次为前一次的
1
(kN

),
已知铁钉受击三次后全部进入木板，且第一次受击后进入木
k
板部分 铁钉长度是钉长的
4
,
请从这个事实中提炼一个不等式组为 。
7
4

4
1

77k
答案：

,


4

4

41


77k7k
2
练习、观察下列式子：
131 15
1
1

1

1

7
,1
2

，
1
2

2
,
2
2
3
2
4
2
4

22233
.............
由上可得出一般的结论为： 。
答案：
1
1 112n1
......,
222
23(n1)n1

练习、由
331441551
。。。。。。可猜想到一个一般性的结论是： 。
,,
221331441
4：与平面向量有关的推理
例1 、类比平面向量的基本定理：如果
e
1
,e
2
是一个平面内的两个不 共线向量，那么对这一平面内的任一向

量
a
，有且只有一对实数

1
,

2
使：
a

1
e1


2
e
2
。写出空间向量基本定理是：
2



练习：类比平面上的三点共线基本定理。
5：与数列有关的推理
例1、已知数列
{a
n
}
中，a
1
=1，当n≥2时，
a
n
2a
n1
 1
，依次计算数列的后几项，猜想数列的一个通
项表达式为： 。
例2、（2008江苏）将全体正整数排成一个三角形数阵：




1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
按照以上排列的规律，第
n
行（
n3
）从左向右的第3个数为
例3、（2010深圳模拟）图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个 第二十九届北京奥运
会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第
n
个图形包 含
………………
f(n)
个“福娃迎迎”，则
f(5)
；
f(n)f(n1)
.





例4、等差数列
{a
n
}
中，若
a
10
= 0则等式
a
1
a
2
...........a
n立，类比上述性质，相应的，在等比数列中，若
b
10
练习：设等差数列

a
n

前n项和为
s
n
，则
s
3
,s
6
a
1
a
2
........... a
19n
(n19,nN

)
成
1
，则 有等式 。
s
3
,s
9
s
6
,s
12
s
9
成等差数列。类比以
T
12,
成等比数列。
T
9
上结论：设等比数列

b
n

前n项积为
T
n
，则
T
3
,
, ，
思考题：
(1)数列
{a
n
}< br>是正项等差数列，若
b
n

a
1
2a
2< br>3a
3
na
n
，则数列
{b
n
}< br>也为等差数列，类
123n
比上述结论，写出正项等比数列
{cn
}
，若
d
n
= ，则数列
{d
n
}
也为等比数列。
(2)若
a
0
,a
1
,a
2
,L
1
a
1
C< br>n
2
a
2
L(1)
n
C
n
n
a
n
0
成立，
a
n
成等差数列，则有等式 < br>C
n
0
a
0
C
n
类比上述性质，相应地： 若
b
0
,b
1
,b
2
,Lb
n
成等比数列，则有等式_________成立。
3

6：与立体几何有关的推理
例 1、在直角三角形⊿ABC中，
c< br>=
90
，AC=b,BC=a,
则
⊿ABC
的外接圆的半径< br>r
0
a
2
b
2
，运用类比
2
方 法，写出空间类似的命题： 。
练习：在直角三角形⊿ABC中，
ABAC,ADBC
于D,求证：
1

1

1
,
那么在四面体ABCD中，
222
ADA BAC
类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由。
0
例2、在三角形⊿ABC中， =
90
，则
cosAcosB 1
,用类比的方法，猜想三棱锥的类似性质，
c
22
并证明你的猜想。 练习：在平面几何中有命题“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值”，那么在正四面体中类似的命题是什么？
例3、如图，在平面内有面积关系
S
>PA
1
B
1
S
>PAB

PA
1
.PB
1
,写出图二中类似的体积关系，并证明你的结论。

7、与解析几何有关的推理
例1、已知命题：平面角坐标系 XOY中，⊿ABC顶点A（-P,0）和C（P,0），顶点B在椭 圆
sinAsinC1
x
2
y
2
22
上，椭圆的 离心率是e,则
,
试将该命题类比到双
1(mfnf0,pmn)
m
2
n
2
sinBe
曲线中，给出一个结论。
练习：圆< br>xyR(Rf0)
上任意点（不在x轴上），与圆上的
A(R,0),B(R,0 )
连线
PA,PB
的斜率
222
K
PA
K
PB
有下面等式成立：
K
PA
K
PB
1,
类比 该结论，写出椭圆
x
8：其他知识结合的推理
y
2

2
1(afbf0)
中对应命题，并证明。 2
ab
2
例1、观察圆周上n个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个 点可以连3条弦，4个点可以连6
条弦，5个点可以连10条弦，你由此可以归纳出什么规律？
例2、在
⊿ABC
中，不等式
1

1

1

9
成立；在四边形ABCD中，不等式
1

1

1
+
1

16
成立；在五
ABC

AB CD2

边形ABCDE中，
1

1

1
+
1

1

25
成立；试猜想在N边形中，有怎样的不等式 成立？
ABCDE3

例3规定
C
x
m

m
x(x1).......(xm1)
0

,
xR,m 是正整数，且C
x
1,
这是组合数
C
n
(n,m是正整数 ，且mn)
的推
广。
m!
(1)求
C
15
的值 。
(2)组合数两个性质：
(1)C
n
m
5
C
n
nm
;(2)C
n
m
C
n
m1
 C
n
m
1
是否都能推广到
C
x
m
(x R,m是正整数)
的情形？若能推广，写出推广形式并给出证明，若不能，则说明理由。
4