纸花篮-校园短篇小说

2020年12月1日发(作者：贝克莱)

命题逻辑的推理

1． 判断下面推理是否正确。先将简单命题符号化，再写出 前提、结论、推理的形式结
构（以蕴涵式的形式给出）和判断过程（至少给出两种判断方法）：

（1）若今天是星期一，则明天是星期三；今天是星期一。所以明天是星期三。

（2）若今天是星期一，则明天是星期二；明天是星期二。所以今天是星期一。

（3）若今天是星期一，则明天是星期三；明天不是星期三。所以今天不是星期一。

（4）若今天是星期一，则明天是星期二；今天不是星期一。所以明天不是星期二。

（5）若今天是星期一，则明天是星期二或星期三。

（6）今天是星期一当且仅当明天是星期三；今天不是星期一。所以明天不是星期三。

2．
构造下面推理的证明：

（1）前提：p→(q→r), p, q
结论：r∨s

（2）前提：p→q, ┐(q∧r), r
结论：┐p

（3）前提：p→q
结论：p→(p∧q)

（4）前提：q→p, qs, st, t∧r
结论：p∧q

（5）前提：p→r, q→s, p∧q
结论：r∧s

（6）前提：┐p∨r, ┐q∨s, p∧q
结论：t→(r∨s)


3．
用附加前提法证明下面各推理：

（1）前提：p→(q→r), s→p, q
结论：s→r

（2）前提：(p∨q)→(r∧s), (s∨t)→u
结论：p→u

4．
用归谬法证明下面推理：

（1）前提：p→┐q, ┐r∨q, r∧┐s
结论：┐p

（2）前提：p∨q, p→r, q→s
结论：r∨s


5．
构造下面推理的证明。

（ 1）如果小王是理科学生，他必学好数学；如果小王不是文科生，他必是理科生；
小王没学好数学。所以 ，小王是文科生。

（2）明天是晴天，或是雨天；若明天是晴天，我就去看电影；若我 看电影，我就
不看书。所以，如果我看书，则明天是雨天。

答案
1．设p：今天是星期一，q：明天是星期二，r：明天是星期三。

（1）推理的形式结构为
(p→r)∧p→r
此形式结构为重言式，即
(p→r)∧pr
所以推理正确。

（2）推理的形式结构为
(p→q)∧q→p
此形式结构不是重言式，故推理不正确。

（3）推理形式结构为
(p→r)∧┐r→┐p
此形式结构为重言式，即
(p→r)∧┐r┐p
故推理正确。

（4）推理形式结构为
(p→q)∧┐p→┐q
此形式结构不是重言式，故推理不正确。

（5）推理形式结构为
p→(q∨r)
它不是重言式，故推理不正确。

（6）推理形式结构为
(pr)∧┐p→┐r
此形式结构为重言式，即
(pr)∧┐p┐r
故推理正确。

推理是否正确，可用多种方法证明。证明的方法有真值表法、
等式演算法。证明推理正确还可用构造证明法。
下面用构造证明法证明（6）推理正确。

前提: pr, ┐p
结论: ┐r
证明: ① pr 前提引入
② (p→r)∧(r→p) ①置换
③ r→p ②化简律
④ ┐p 前提引入

⑤ ┐r ③④拒取式

所以，推理正确。
2．
（1）证明：






①p→(q→r)
②p
③q→r
④q
⑤r
⑥r∨s
前提引入
前提引入
①②假言推理
前提引入
③④假言推理
⑤附加律

（2）证明：






①┐(q∧r)
②┐q∨┐r
③r
④┐q
⑤p→q
⑥┐p
前提引入
①置换
前提引入
②③析取三段论
前提引入
④⑤拒取式

（3）证明：





①p→q
②┐p∨q
③(┐p∨q)∧(┐p∨p)
④┐p∨(p∧q)
⑤p→(p∧q)
前提引入
①置换
②置换
③置换
④置换

也可以用附加前提证明法，更简单些。

（4）证明：



①st 前提引入
①置换
②化简
②(s→t)∧(t→s)
③t→s

④t∧r
⑤t
⑥s
⑦qs
⑧(s→q)∧(q→s)
⑨s→q
⑩q
q→p
p
p∧q
前提引入
④化简
③⑤假言推理
前提引入
⑦置换
⑧化简
⑥⑨假言推理
前提引入
⑩
⑩
假言推理
合取

（5）证明：








①p→r
②q→s
③p∧q
④p
⑤q
⑥r
⑦s
⑧r∧s
前提引入
前提引入
前提引入
③化简
③化简
①④假言推理
②⑤假言推理
⑥⑦合取

（6）证明：






①t
②┐p∨r
③p∧q
④p
⑤r
⑥r∨s
附加前提引入
前提引入
前提引入
③化简
②④析取三段论
⑤附加

说明：证明中，附加提前t，前提┐q∨s没用上。这仍是正确的推理。

3．
（1）证明：
①s 附加前提引入

②s→p
③p
④p→(q→r)
⑤q→r
⑥q
⑦r
前提引入
①②假言推理
前提引入
③④假言推理
前提引入
⑤⑥假言推理

（2）证明：









①p
②p∨q
附加前提引入
①附加
③(p∨q)→(r∧s) 前提引入
④r∧s
⑤s
⑥s∨t
⑦(s∨t)→u
⑧u
②③假言推理
④化简
⑤附加
前提引入
⑥⑦假言推理
4．
（1）证明：








①p
②p→┐q
③┐q
④┐r∨q
⑤┐r
⑥r∧┐s
⑦r
⑧┐r∧r
结论否定引入
前提引入
①②假言推理
前提引入
③④析取三段论
前提引入
⑥化简
⑤⑦合取

⑧为矛盾式，由归谬法可知，推理正确。

（2）证明：

①┐(r∨s)
②p∨q
③p→r
④q→s
⑤r∨s
⑥┐(r∨s)∧(r∨s)
结论否定引入
前提引入
前提引入
前提引入
②③④构造性二难
①⑤合取

⑥为矛盾式，所以推理正确。

5．
（1）
令p：小王是理科生，q：小王是文科生，r：小王学好数学。
前提：p→r, ┐q→p, ┐r
结论：q
证明：





①p→r
②┐r
③┐p
④┐q→p
⑤q
前提引入
前提引入
①②拒取式
前提引入
③④拒取式

（2）
令p：明天是晴天，q：明天是雨天，r：我看电影，s：我看书。
前提： p∨q, p→r, r→┐s
结论： s→q
证明：







①s
②r→┐s
③┐r
④p→r
⑤┐p
⑥p∨q
⑦q
附加前提引入
前提引入
①②拒取式
前提引入
③④拒取式
前提引入
⑤⑥析取三段论

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