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课时提升作业(三十六)
合情推理与演绎推理
(45分钟 100分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2018·宜昌模拟)下面几种推理过程是演绎推理的是( )
A.两条直线平行, 同旁内角互补,如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角,则∠A+∠B=180°
B.某校高三( 1)班有55人,(2)班有54人,(3)班有52人,由此得高三所有班人数均超过50人
C.由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质
D.在数列{a
n
}中, a
1
=1,a
n
=
24
(n≥2),由此归纳出{a
n
}的通项公式
3
2.(2018·临沂模拟)观察(x)′=2x,(x)′= 4x,(cosx)′=-sinx,由归纳推理可得:若定义在R上的函数f(x)满
足f(-x)= f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)=( )
A.f(x) B.-f(x) C.g(x) D.-g(x)
3.(2018·十堰模拟)依次写出数列 a
1
=1,a
2
,a
3
,…,a
n
(n∈ N)的法则如下：如果a
n
-2为自然数且未写过,则写
a
n+1
= a
n
-2,否则就写a
n+1
=a
n
+3,则a
6
=( )
A.4 B.5 C.6 D.7
2
*
4.(2018·随州模拟)若大前提是:任何实数的平方都大于0,小前提是:a∈R,结论是:a>0,那么 这个演绎推理出错
在( )
A.大前提

B.小前提
C.推理过程 D.没有出错
5.下面使用类比推理恰当的是( )
A.“若a·3=b·3,则a=b”类比推出“若a·0=b·0,则a=b”
B.“(a +b)c=ac+bc”类比推出“
C.“(a+b)c=ac+bc”类比推出“
nnnn< br>=+”
=+(c≠0)”
nn
D.“(ab)=ab”类比推出“(a+b)=a+b”
6.(2018·济 宁模拟)对于数25,规定第1次操作为2+5=133,第2次操作为1+3+3=55,如此反复操作,则第 2018
次操作后得到的数是( )
A.25 B.250 C.55 D.133
7.如图1是一个水平摆放的小正方体木块,图2、图3是由这样的小正方体木块叠放而成 ,按照这样的规律继续逐
个叠放下去,那么在第七个图形中叠放的小正方体木块数应是( )
33333

A.25 B.66 C.91 D.120
8.(能力挑战题)以下是面点师一个工作环节的数学模型:如图,在数轴上截取与闭区间 [0,1]对应的线段,对折后
(坐标1所对应的点与原点重合)再均匀地拉成一个单位长度的线段,这 一过程称为一次操作(例如在第一次操作
完成后,原来的坐标,变成,原来的坐标变成1).则区间[0 ,1]上(除两个端点外)的点在第二次操作完成后,
恰好被拉到与1重合的点所对应的坐标是,,那么 在第n次操作完成后(n≥1),恰好被拉到与1重合的点对应的
坐标是( )

A.
B.
C.
D.
(k为[1,2]中所有奇数)
(k∈N,且k≤n)
(k为[1,2]中所有奇数)
(k∈N,且k≤n)
*
n-1
*
n
二、填空题(每小题5分,共20分)
9. (2018·鄂州模拟)设△ABC的三边长为a,b,c,△ABC的面积为S,内切圆半径为r,则r=.类 比这个结论可
知：四面体P-ABC的四个面的面积分别为S
1
,S
2
,S
3
,S
4
,内切球的半径为R,四面体P- ABC的体积为V,则R=________.
10.(2018·重庆模拟)观察下列等式:1+2 =3,1+2+3=6,1+2+3+4=10,…,根据上述规律,第五个等式
为 .
11.半径为r的圆的面积S(r)=πr,周长C(r)=2πr,若r看作是(0,+∞)上的 变量,则(πr)′=2πr,该结论可用
语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的周长函数.那么对 于半径为R的球,若R看作是(0,+∞)上的变量,请写
出类似于上面且正确的结论的式子: ,该式可用语言叙述
为 .
12.(能力挑战题)已知P(x< br>0
,y
0
)是抛物线y=2px(p>0)上的一点,在P点的切线方程的斜率 可通过如下方式求得:
在y=2px两边同时求导,得:
2yy′=2p,则y′=,所以 在点P处的切线的斜率:k=
试用上述方法求出双曲线x-
2
2
2
2 2
332333233332
.
=1在P(,)处的切线方程为 .
三、解答题(13题12分,14～15题各14分)

13.设f(x)=, 先分别求f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3),然后归纳猜想一般性结论,并给 出证明.
222222
14.(2018·泰安模拟)已知sin30°+sin90°+s in150°=,sin5°+sin65°+sin125°=,通过观察上述两个
等式的规律,请你 写出一般性的
15.(能力挑战题)设f(x)=3ax+2bx+c.若a+b+c=0,f(0) >0,f(1)>0,求证:
(1)a>0且-2<<-1.
(2)方程f(x)=0在(0,1)内有两个实根.


2

答案解析
1.【解析】选A.两条直线平行,同旁内角互补(大前 提),∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角(小前提),∠A+∠
B=180°(结论).
2.【解析】选D.由所给函数及其导数知,偶函数的导函数为奇函数,因此当f(x)是偶函数时,其导函数应 为奇函
数,故g(-x)=-g(x).
3.【解析】选C.根据题中法则,依次逐个代入, 得a
2
=4,a
3
=2,a
4
=0,a
5
=3,a
6
=6.
4.【解析】选A.要分析一个演绎推理是否正确,主要观察所给 的大前提、小前提和结论及推理形式是否都正确,
根据这几个方面都正确,才能得到这个演绎推理正确. 因为大前提是:任何实数的平方都大于0,是不正确的.
【加固训练】正弦函数是奇函数,f(x)= sin(x+1)是正弦函数,因此f(x)=sin(x+1)是奇函数,以上推理( )
A.结论正确 B.大前提不正确
D.全不正确
22
C.小前提不正确
【解析】选C.由三段论可知小前提错.
因为大前提:正弦函数是奇函数,
小前提:f(x)=sin(x+1)是正弦函数,
结论:f(x)=sin(x+1)是奇函数.所以小前提错.
5.【解析】选C.由类比的 特点可知,A错;B中当c=0时不成立;而D中乘与加运算不同,故D错.
【方法技巧】类比推理的特点
(1)由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知 特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为
类比推理(简称类比).简言之,类比推理是由个别到 个别的推理(或是由特殊到特殊的推理).
(2)类比推理属于合情推理,结论不一定正确.
6.【解析】选D.第3次操作为5+5=250,第4次操作为2+5+0=133,第5次操作为1+3+ 3=55,可知操作后得到
的数以3为周期重复出现,而2018=3×670+1,所以第2018次 操作后得到的数等于第1次操作后得到的数,即为
133.
7.【解析】选C.采取归纳推理的方法求解.
图1有1个小正方体木块,
图2有2+1×4个小正方体木块,
图3有3+(1+2)×4个小正方体木块,
按照前三个图所反映出来的规律,归纳推理可知,第七个图形中叠放的小正方体的木块数应是7+(1+2+3+ …+6)×
4=91.选C.
【加固训练】观察如图所示的正方形图案,每条边(包括两个端 点)有n(n≥2,n∈N)个圆点,第n个图案中圆点的
总数是S
n
.按此规律推断 出S
n
与n的关系式
为( )
*
33333333
2
2

A.S
n
=2n B.S
n
=4n[:
C.S
n
=2 D.S
n
=4n-4[:
【解析】选 D.由n=2,n=3,n=4的图案,推断第n个图案是这样构成的:各个圆点排成正方形的四条边,每条边上 有
n个圆点,则圆点的个数为S
n
=4n-4.
8.【解析】选A.因为第一次操作后,原线段上的,均变成,原线段上的变成了1,
则第二次操作后,恰好被拉到与1重合的点所对应的数是和,
第三次操作后,恰好被拉到与1重合的点所对应的数是,,,,
根据题意,可以推出第n次操 作后,恰好被拉到与1重合的点所对应的数的通式为
9.【解析】连接OA,OB,OC,则S
△ABC
=S
△AOB
+S
△AOC
+S
△BOC

=c·r+b·r+a·r
=(a+b+c)·r=S.
所以r=,
,…,.
n
类比得：在四面体P- ABC中,若内切球球心为O′,连接O′与各顶点可得4个三棱锥且V
三棱锥P-ABC
< br>=V
三棱锥O′-ABC
+V
三棱锥O′-ABP
+V
三棱锥 O′-APC

+V
三棱锥O′-BPC
=S
1
·R+S< br>2
·R+S
3
·R
+S
4
·R=V.
所以R=
答案：
.

332233322333322
1 0.【解析】由1+2=(1+2)=3;1+2+3=(1+2+3)=6;1+2+3+4=(1+2+3+ 4)=10得,第五个等式为
1+2+3+4+5+6=(1+2+3+4+5+6)=21.
答案:1+2+3+4+5+6=21
【加固训练】(2018·山东高考)设函数f(x) =
f
1
(x)=f(x)=
f
3
(x)=f(f
2
(x))=
,f
2
(x)=f(f
1
(x))=,
(x>0),观察:
3333332
33333322
,故f
n
(x)= .
n
【解析】根据题意知,分子都是x,分母中的常数项依次是2,4,8,16,…可知fn
(x)的分母中常数项为2,分母中x
的系数为2-1,故f
n
(x) =
答案:
n
.
11.【解析】圆的面积可类比球的体积,
圆的周长可类比球的表面积,
故′=4πR,
2

因而球的体积函数的导数等于球的表面积函数.
答案:′=4πR 球的体积函数的导数等于球的表面积函数
=x-1两边同时求导得,yy′=2x,所以y′=
2
2
12.【解析】用类比的方法对,所以在点P处的切线斜率
k===2,
=2(x-), 所以切线方程为y-
所以2x-y-
答案:2x-y-
=0.
=0
【加固训练】设等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,则S
4,S
8
-S
4
,S
12
-S
8
,S< br>16
-S
12
成等差数列,类比以上结论有:设等比数
列{b
n
}的前n项积为T
n
,则T
4
, , ,成等比数列.
【解析】根据等比数列的性质知,b
1
·b
2
·b
3
·b
4
,b
5
·b
6
·b
7< br>·b
8
,b
9
·
b
10
·b
11
·b
12
,b
13
·b
14
·b
15·b
16
成等比数列,所以T
4
,
答案:
,,成等比数列.
13.【思路点拨】由0+1=1,-1+2=1,-2+3=1,以及f (0)+f(1),f(-1)+ f(2),f(-2)+f(3)的值可猜想f(x)+f(1-x)
的值.
【解析】f(0)+f(1)=
=+
+
=+=,
同理可得:f (-1)+f(2)=
由此猜想f(x)+f(1-x)=
证明:f(x)+f(1-x)=< br>=
=
+
+

=
,f(-2)+f(3)=
.
+
.
=
22
.
2
14.【解析】一般形式:sinα+sin(α+60°)+sin(α+120°)=.
证明如下:
左边=++

=-[cos2α+cos(2α+120°)+cos(2α+240°)]
=-[cos2α+cos2αcos120°-sin2αsin120°+
cos2αcos240°-sin2αsin240°]=-[cos2α-
cos2α-
==右边.
(将一般形式写成sin(α-60°)+sinα+sin(α+60°)=等均正确)
15.【证明】(1)因为f(0)>0,f(1)>0,
所以c>0,3a+2b+c>0.
因为a+b+c=0,消去b得a>c>0;
再由条件a+b+c=0,
消去c得a+b<0且2a+b>0,
所以-2<<-1.
(2)方法一:因为抛物线f(x)=3ax+2bx+c的顶点坐标为
因为-2<<-1,所以<-<,
=-<0,所以方程f(x)=0在区间与内分别
2
222
sin2α-cos2α+sin2α]
,
又因为f(0)>0 ,f(1)>0,而f
有一实根,故方程f(x)=0在(0,1)内有两个实根.
方法二:因为f(0)>0,f(1)>0,而f
f(x)=0在(0,1)内有两个实根.
方法三:因为Δ=4b-12ac=4(a+c-ac)>0,所以方程f(x)=0有两个实根,设方 程的两根为x
1
,x
2
,由根与系数的关系
得x
1
+x
2
=->0,x
1
x
2
=>0,故两根为正.
-2<0,
>0,故两根均小于1,
222
=a+b+c=-a<0,故 抛物线与x轴的两个交点落在区间(0,1)内,即方程
又因为(x
1
-1)+(x< br>2
-1)=-
(x
1
-1)(x
2
-1)=

[:
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