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小升初数学《走进名校》奥数素养——逻辑推理问题

【充足理由律思路】 < br>充足理由律的形式是：“所以有甲，是因为有乙”。它的意思是说，任何正确的思想，一定有它
的 充足理由；任何思想，只有当它具有充足的理由时，这种思想才能被认为是正确的。在数学中，如
果由条
正确的，A就是B的正确性的充分理由。因此B的正确性要以A的正确性为基础，而要使A的正确性得到确认，又得为它提出充足的理由，照此类推。这样，当我们要论证某一思想是正确的时候，
常常要引证一系列的理由。以此连锁引证下去，直到最后的理由——它的正确性已经确定，并且得到
普遍 承认的。具体说来有下列三种：（1）明显的事实，它可以为人们所直接感知的；（2）公理；（3）
科 学的规律。当然在实际进行论证时，并不是总要引证到最后的理由，数学中已经证明过的定理、定
律、公 式、法则等，都可以作为论证所根据的理由。
充足理由律是进行推理的基础。运用充足理由律来思考数学问题，我们把它叫做充足理由律思路。
例1 200米赛跑，张强比李军快0.2秒，王明的成绩是39.4秒，赵刚的成绩比王明慢0.9秒，
但比张强快0.1秒，林林比张强慢3秒，请你给这五人排出名次来。
分析（运用充足理由律思路思索）：
题中有两种概念。一是成绩好坏，需要进行量的计算；二是快慢关系推理，先用计算量进行比较
推理。
抓住“各人跑200米需要的时间”为比较量。并设字母A、B、C、D、E来分别表示张强、李军 、
王明、赵刚、林林的时间。
∵王明的成绩是39.4秒，赵刚的成绩比王明慢0.9秒（即C=39.4秒，D=C＋0.9）
∴D=39.4+0.9=40.3（秒）
又∵ 赵刚比张强快0.1秒（即D＋0.1＝A）
∴A=40.3＋0.1=40.4（秒）（传递性）
又∵张强比李军快0.2秒（即A=B-0. 2）
∴B=A＋0.2=40.4＋0.2=40.6（秒）
又∵林林比张强慢3秒（即A=E-0.3）
∴E=A＋3=40.4＋3=43.4（秒）
由43.4＞40.6＞40.4＞40.3＞39.4
即 E＞B＞A＞D＞C
谁是第一、谁是第二、第三、第四、第五名，不就一目了然了吗？

本题还可以单纯用快慢关系来进行判断。
∵ A＜B，D＞C， D＜A， E＞A，
可得B、E均＞A＞D＞C，
∴一、二、三名分别应是C、D、A。
但第四、五名仍需计算。
由E=A＋3秒，B=A＋0.2秒，
可知E＞B，
故 B是第四，E是第五名。
例2 填数使下列竖式成立：

分析（运用充足理由律思路来探讨这两个式题）：
第（1）题。抓住乘、除法法则和乘除的互逆关系去思考。
∵( )( )×5=33( )
∴只要求得 33( )÷5=( )( )，就可以得出竖式被乘数了，现可知33( )÷5商的十位得6，故
被乘数的十位应是6，个位是几呢？
再往下看：乘数35的十位 数字是3，3与被乘数个位相乘的积的末尾数字要是8，显然只有3与
6相乘末尾数字才能是8，所以被 乘数是66。
找到了被乘数是66以后，其他数字自然就容易找到了。

第（2）题仍抓住除法算式特征和乘除的互逆关系去找理由。
由除法竖式特征第二次余数为0，只好把被除数十位数和个位数同时移下，故可得y=0。
∴x＞8。
又∵1≤x≤9，∴x=9，
则商数为9807。
∴ab≥12。
故ab=12。
此题确定了商和除数，其他数字自然就容易找了。
【不矛盾律思路】
不矛盾律的形式是“甲不是非甲”。它的基本内容是：同一对象，在同一时 间内和同一关系下，
不能具有两种互相矛盾的性质，它是逻辑推理的又一重要规律，运用不矛盾律来推理 、思考某些问题
的解答，这种思路我们把它叫做不矛盾律思路。
例1 有三个和尚，一个 讲真话，一个讲假话，另外一个有时讲真话，有时讲假话。一天，一位
智者遇到这三个和尚，他先问左边 的那个和尚：“你旁边的是哪一位？”和尚回答说“讲真话的。”
他又问中间的和尚：“你是哪一位？” 和尚答：“我是半真半假的。”他最后问右边的和尚：“你旁
边是哪一位？”答：“讲假话的。”根据他 们的回答，智者马上分清了他们，你能分清吗？
分析（运用不矛盾律思路探讨）：
两件相互矛盾对立的事情，如果一件是不正确的，另一件就是正确的，这就是不矛盾律的基本思
路。我们 先假设左边和尚讲的是真的，那么中间的和尚是讲真话的，但这与他的回答：“我是半真半
假的”矛盾， 所以左边和尚讲真话这一假设不对。从而左边和尚讲的是假话，他一定不是讲真话的和
尚。中间那个和尚 也一定不是讲真话的，所以右边的和尚是讲真话的和尚。根据他的话，中间是讲假
话的和尚，剩下左边的 和尚自然就是半真半假的。
例2 一次学校举行田径运动会，A、B、C、D、E五个班取得了团 体前五名，发奖后有人问他们的
名次，回答是：
A班代表说：“B是第三名，C是第五名。”
B班代表说：“D是第二名，E是第四名。”
C班代表说：“A是第一名，E是第四名。”
D班代表说：“C是第一名，B是第二名。”
E班代表说：“D是第二名，A是第三名。”
最后，他们都补充说：“我的话是半真半假的。”请你判断一下，他们各个班的名次。
分析（用不矛盾律思路分析）：

先简化一下记法，比如B班是第三名，则写成B-3，其它类似，这样五个班代表的讲话可简记为：
（1）B-3，C-5。
（2）D-2，E-4。
（3）A-1，E-4。
（4）B-2，C-1。
（5）A-3，D-2。
假设（1）的前半 句是真的，即B-3，那么由（4）有C-1，由（3）知A-1不对，有E-4；再由（2）
知D-2 不对，从（5）知A-3，这与假设矛盾，所以（1）中正确的应是C-5，于是由（4）知C-1不对，
应该是B-2，进而知（2）D-2不对，有E-4，并知（5）D-2不对，有A-3，最后只剩下D及第一 名，
所以知道D应为第一名。
最后排出名次自然就非常简单了。
上述叙述虽然简化了记号，但文字表述仍然觉得累赘，所以还可以借助图表表达上述推理过程。

如图2.21，假设B-3，在B上画一个圆圈（左图），表示推理的起点，找到另一个B，则应是 不
对的，画一个“×”，再找与这个B同行的“C”，它应是对的，画一个“√”，找与C同列的“A” ，
它不对，画一个“×”，等等。最后A-3被画了一个“√”，这与B-3相矛盾，故B-3是错的。 在这
个“B”上画一个“×”，重新开始推理（右图）。

从（1）的C开始 ，因B-3是错的，则C-5记“√”，则（4）中C-1画“×”，B-2记“√”，
由此推出（5） D-2记“×”，（2）D-2记“×”，……从表中可以看出，B-2，A-3、E-4、C-5，那
么谁是第一，表中虽然未表达，但明眼人一看就知道了。
【排中律思路】

排 中律的形式是“或者是甲，或者是非甲”。它的基本内容是：同一对象在同一时间内和同一关
系下，或者 是具有某种性质。或者是不具有某种性质，二者必居其一，不能有第三种情况。它是处理
肯定判断与否定 判断之间的关系的一个规律。运用这一规律来推理的思路，我们把它叫排中律思路。
排中律和不矛 盾律的基本作用是相同的，即都是排除思想中的矛盾。但也有区别：一是适用范围
不同，不矛盾律的适用 范围宽，既适用于互相反对的判断，也适用于互相矛盾的判断，排中律的作用
范围窄些，只适用于互相矛 盾的判断，不适用互相反对的判断；二是要求不同，不矛盾律要求对互相
反对的和互相矛盾的判断，不能 同时断定其中每一个都是真的，因为其中至少有一个是假的。排中律
则要求：对于互相矛盾的判断，必须 肯定其中一个是真，因为其中必有一真，不能都假。如果我们确
定了某一个是正确的，根据不矛盾律，就 可以得出另一个是错误的。反过来。如果我们确定了某一个
是错误的，根据排中律，就可以得出另一个是 正确的。从这方面来看，如果说不矛盾律提供我们逻辑
否定的基础，那么排中律则主要提供我们逻辑肯定 的基础；三是逻辑错误性质不同，不矛盾律要求的
逻辑错误是“自相矛盾”，排中律要求的逻辑错误是“ 模棱两不可”。
例1 老师有一黑两白三顶帽子，给两个学生看后，让他们闭上眼睛，从中取出两 顶给他们戴上，
然后让他们睁开眼睛，互相看清对方戴的帽子，并立即说出自己头上戴的帽子是什么颜色 ，两位同学
都不能立即说出，请问你知道这两位学生戴的各是什么颜色的帽子吗？
分析（运用排中律思路思索）：
假设你是这两个学生中的一个，因为你知道只有一顶黑帽子，当你 看到对方戴的是黑帽子时，你
能判断自己戴的帽子颜色吗？可以的，根据排中律：“非此即彼”，你一定 会推断出自己戴的是白帽
子。
现在两个学生都不能利用排中律很快地说出自己戴的是白帽 子，说明他们两人都没有看见黑帽
子，由此断定，老师给两位学生戴的是两顶白帽子。
例2 曾实、张晓、毛梓青在一起，一位是工程师、一位是医师、一位是教师。现在只知道：
（1）毛梓青比教师年龄大；
（2）曾实和医师不同岁；
（3）医师比张晓年龄小。
你能确定谁是工程师？谁是医师？谁是教师吗？
分析（沿着排中律思路探索）：
根据排中律的要求，如果我们能确定某个是错误的，就可以得出另 一个是正确的。现在已知（1）
曾实和医师不同岁，（2）医师比张晓年龄小，就可以判定曾实和张晓都 不是医师，因此只有毛梓青
是医师；
若张晓是教师，则根据（1）毛梓青比教师年龄大， 即毛梓青比张晓年龄大，与（3）医师比张晓
年龄小，即毛梓青比张晓年龄小，这两个结论是互相矛盾的 ，因此张晓不可能是教师。张晓既不是医
师（因为毛梓青是医师），又不是教师，所以张晓应该是工程师 了。因为三个人、三个职业，已经确
定了毛梓青是医师，张晓是工程师，剩下的曾实只能是教师了。
该题的思路还可以用下表表示：

【同一律思路】
同一律的形式是：“甲是甲”，或“如果甲，那么甲”。它的基本内容是，在同一思维过程中，
同一个 概念或同一个思想对象，必须保持前后一致性，亦即保持确定性。这是逻辑推理的一条重要思
维规律。运 用这一规律来解题，我们把它叫同一律思路。
例1 某公安人员需查清甲、乙、丙三人谁先进办公室，三人口供如下：
甲：丙第二个进去，乙第三个进去。
乙：甲第三个进去，丙第一个进去。
丙：甲第一个进去，乙第三个进去。
三人口供每人仅对一半，究竟谁第一个进办公室？
分析（用同一律思路推理）；
这一类问题具有非此即彼的特点。比如甲是否是第一个进办公室只有 两种可能：是或非。我们用
1表示“是”，0表示“非”，则可把口供列表处理。
（1）若甲第一，则依据丙的口供见左表，这个表与甲的口供仅对一半相矛盾；
（2）若甲非第一 ，则依据丙的口供，乙第三个进去，进行列表处理如右表，与“三人口供仅对
一半”相符。

从而可以判定，丙最先进入办公室。
这个问题也可以不列表而用同一律推理。

甲的话第一句对，第二句错，则丙第二，乙不是第三，又不是第二，自然乙第一，甲第二 ，这个
结论与丙说的话“半对半错”不符。因此，有甲的第一句错，第二句对。即乙第三个进去，丙不是 第
二个，自然是第一个。这个结论与乙的话“半对半错”相符：甲不是第三，丙是第一。并且这个结论< br>与丙的话“半对半错”也相符：甲不是第一，乙是第三。

在整个思维过程中，我们对三人的话“半对半错”进行了一一验证，直到都符合题目给定的条件
为止。
例2 从前一个国家里住着两种居民，一个叫宝宝族，他们永远说真话；另一个叫毛毛族，他们永远说假话。一个外地人来到这个国家，碰见三位居民，他问第一个人：“请问你是哪个民族的人？”
“匹兹乌图。”那个人回答。
外地人听不懂，就问其他两个人：“他说的是什么意思？”
第二个人回答：“他说他是宝宝族的。”
第三个人回答：“他说他是毛毛族的。”
请问，第一个人说的话是什么意思？第二个人和第三个人各属于哪个民族？
分析（用同一律思路思考）：
如果第一个人是宝宝族的，他说真话，那么他说的是“我是宝宝族的 ”。如果这个人是毛毛族的，
他说假话，他说的还是“我是宝宝族的”。这就是说，第一个人不管是什么 民族的，那句话的意思都
是：“我是宝宝族的”。
根据这一推理，那么第二个人回答“他 说他是宝宝族的”这句话是真的，而从条件可知，说真话
的是宝宝族人，因此可以判断第二个人是宝宝族 人。
不管第一个人是什么民族的，根据前面推理已知他说的话是“我是宝宝族的”，而第三个人回 答
“他说他是毛毛族的”显然是错的，而说假话的是毛毛族人，因此可以断定第三个人是毛毛族人。
我们在分析本题时，始终保持了思维前后的一致性，这就是同一律思路的具体运用。