电脑自动关机怎么回事-北京798艺术区

谓词逻辑习题
1. 将下列命题用谓词符号化。
（1）小王学过英语和法语。
（3）3不是偶数。






（2）2大于3仅当2大于4。
（4）2或3是质数。
（5）除非李键是东北人，否则他一定怕冷。
解：
(1) 令
P(x)
：x学过英语，Q(x)：x学过法语，c：小王，命题符号化为
P(c)Q(c)

(2) 令
P(x,y)
：x大于y, 命题符号化为
P(2,4)P(2,3)

(3) 令
P(x)
：x是偶数，命题符号化为
P(3)

(4) 令
P(x)
：x是质数，命题符号化为
P(2)P(3)

(5) 令
P(x)
：x是北方人；
Q(x)
：x怕冷；
c
：李键； 命题符号化为
Q(c)P(x)




b，c}
，消去下列各式的量词。 2. 设个体域
D{a，
（1）
xy(P(x)Q(y))

（3）
xP(x)yQ(y)







（2）
xy(P(x)Q(y))

（4）
x(P(x，y)yQ(y))

解：
(1) 中< br>A(x)y(P(x)Q(y))
，显然
A(x)
对y是自由的，故可使 用UE规则，得到

A(y)y(P(y)Q(y))
，因此
x y(P(x)Q(y))y(P(y)Q(y))
，再用ES规则，

y(P(y)Q(y))P(z)Q(z)
，
zD
，所以
xy (P(x)Q(y))P(z)Q(z)

（2）中
A(x)y(P(x) Q(y))
，它对y不是自由的，故不能用UI规则，然而，对
A(x)
中约束变 元y改名z，得到
z(P(x)Q(z))
，这时用UI规则，可得：

xy(P(x)Q(y))


xz(P(x)Q(z))


z(P(x)Q(z))

（3）略
（4）略

，2，3}
。求下列各式3. 设谓词
P(x，y)
表示“
x
等于
y
”，个体变元
x
和
y
的个体域都是
D{ 1
（1）
xP(x，3)












的真值。



，y)
（2）
yP(1
y)
（4）
xyP(x，
y)
（6）
yxP(x，
1 9
y)
（3）
xyP(x，
y)
（5）
xyP(x，

解：

(2) 当
x3
时可使式子成立，所以为Ture。
(3) 当
y1
时就不成立，所以为False。
(4) 任意的x,y使得
xy
，显然有
xy
的情况出现，所以为False。
(4)存在x,y使得
xy
，显然当
x1,y1
时是一种情况 ，所以为Ture。 (5)
存在x，任意的y使得
xy
成立，显然不成立，所以为False。
(6)任意的y ，存在x ，使得
xy
成立，显然不成立，所以为False。
4. 令谓词
P(x)
表示“
x
说德语”，
Q(x)
表示“
x
了解计算机语言C++”，个体域为杭电全体学生
的集合。用
P( x)
、
Q(x)
、量词和逻辑联接词符号化下列语句。





（1）杭电有个学生既会说德语又了解C++。
（2）杭电有个学生会说德语，但不了解C++。
（3）杭电所有学生或会说德语，或了解C++。
（4）杭电没有学生会说德语或了解C++。
假设个体域为全总个体域，谓词
M(x )
表示“
x
是杭电学生”。用
P(x)
、
Q(x)
、
M(x)
、量词和
逻辑联接词再次符号化上面的4条语句。
解：（ⅰ）个体域为杭电全体学生的集合时：
（1）
x(P(x)Q(x))

（2）
x(P(x)Q(x))

（3）
x(P(x)Q(x))

（4）
x(P(x)Q(x))

（ⅱ）假设个体域为全总个体域，谓词
M(x)
表示“
x
是杭电学生”时：
（1）
x(M(x)P(x)Q(x))

（2）
x(M(x)P(x)Q(x))

（3）
x(M(x)(P(x)Q(x)))

（4）
x(M(x)(P(x)Q(x)))

5. 令谓词
P(x，y)
表示“
x
爱
y
”，其中
x
和
y
的个体域都是全世界所有人的集合。用
P(x，y)
、
量词和逻辑联接词 符号化下列语句。





（1）每个人都爱王平。












（2）每个人都爱某个人。
（4）没有人爱所有的人。
（6）有个人人都不爱的人。
（8）成龙爱的人恰有两个。
（10）有人除自己以外谁都不爱。
（3）有个人人都爱的人。
（5）有个张键不爱的人。
（7）恰有一个人人都爱的人。
（9）每个人都爱自己。
解：
a
：王平
b
：张键
c
：张龙
2 9

(1)
xP(x,a）
(2)
xyP(x,y)

(3)
yxP(x,y)
(4)
xyP(x,y)

(5)
xP(b，x)
(6)
xyP(x,y)

(7)
x(yP(y,x)z(( 

P(

,z))zx))

(8)
x y(xyP(c,x)P(c)z(P(c，z)(zxzy)))

(9)
xP(x,x)
(10)
xy(P(x,y)xy)

§2.2 谓词公式及其解释
习题2.2
1. 指出下列谓词公式的指导变元、量词辖域、约束变元和自由变元。



（1）
x(P(x)Q(x，y))

（2）
xP(x，y)yQ(x，y)

（3）
xy(P(x，y)Q(y，z))xR(x，y，z)

解： （1）x是指导变元，
x
的辖域是
P(x)Q(x,y)
，对于
x
的辖域而言，x是约束变元，y是
自由变元。
（2）x,y都为 指导变元，
x
的辖域是
P(x，y)yQ(x，y)
，
y< br>的辖域是
Q(x，y)
；对于
x
的辖域而言，x,y都为约束变元， 对于
y
的辖域而言，x是自由变元，y是约束变元。
（3）x,y为指导变元，< br>x
的辖域是
y(P(x，y)Q(y，z))xR(x，y，z)
，
y
的辖域是
(P(x，y)Q(y，z))xR(x，y，z)
，< br>x
的辖域是
R(x，y，z)
；对于
x
的辖域而言，x, y为约
束变元，z为自由变元，对于
y
的辖域而言，z为自由变元，y为约束变元， x即为约束变元也为自由
变元，对于
x
的辖域而言，x为约束变元，y,z是自由变 元。在整个公式中，x,y即为约束变元又为自
由变元，z为自由变元。
2. 判断下列谓词公式哪些是永真式，哪些是永假式，哪些是可满足式，并说明理由。
（1）
x(P(x)Q(x))(xP(x)yQ(y))

（2）
x(P(x)Q(x))(xP(x)yQ(y))

（3）
(xP(x)yQ(y))yQ(y)

（4）
x(P(y)Q(x))(P(y)xQ(x))

（5）
x(P(x)Q(x))(P(x)xQ(x))

（6）
(P(x)(yQ(x，y)P(x)))

（7）
P(x，y)(Q(x，y)P(x，y))

解：（1）易知公式是
(pq)(pq)
的代换实例，而

(pq)(pq)(pq)(pq)1

是永真式，所以公式是永真式。
3 9

（2）易知公式是
(pq)(pq)
的代换实例，而

(pq)(pq)(pq)(pq)1

是永真式，所以公式是永真式。
（3）易知公式是
(pq)q
的代换实例，而

(pq)q(pq)qpqq0

是永假式，所以公式是永假式。
（4）易知公式是
(pq)(pq)
的代换实例，而

(pq)(pq)(pq)(pq)1

是永真式，所以公式是永真式。
（5）易知公式是
(pq)(pq)
的代换实例，而

(pq)(pq)(pq)(pq)1

是永真式，所以公式是永真式。
（6）易知公式是
(p(qp))
的代换实例，而

(p(qp))(p(qp))pqp0

是永假式，所以公式是永假式。
（7）易知公式是
pqp
的代换实例，而

pqp(pq)p(pq)p

是可满足式，所以公式是可满足式。
§2.3 谓词公式的等价演算与范式
习题2.3
1. 将下列命题符号化，要求用两种不同的等价形式。
（1）没有小于负数的正数。 （2）相等的两个角未必都是对顶角。
解：（1）P(x)
：x为负数，
Q(x)
：x是正数，
R(x,y)
：x 小于y，命题可符号化为：
xy(R(P(x),Q(y)))
或
xy( R(P(x),Q(y)))

（2）略
2.设
P(x)
、
Q(x)
和
R(x，y)
都是谓词，证明下列各等价式
（1）
x(P(x)Q(x))x(P(x)Q(x))

（2）
x(P(x)Q(x))x(P(x)Q(x))

（ 3）
xy(P(x)Q(y)R(x，y))xy(P(x)Q(y)R(x， y))

（4）
xy(P(x)Q(y)R(x，y))xy(P( x)Q(y)R(x，y))

证明：（1）左边＝
x(P(x)Q(x))

＝
x(P(x)Q(x))

4 9

＝
x(P(x)Q(x))
＝右边
（2）左边 ＝
x(P(x)Q(x))

＝
x(P(x)Q(x))

＝
x(P(x)Q(x))
＝右边
（3）左边＝
xy(P(x)Q(y)R(x,y))

＝
xy((P(x)Q(y))R(x,y))

＝
xy(P(x)Q(y)R(x，y))
＝右边
（4）左边＝
xy(P(x)Q(y)R(x,y)

＝
xy(P(x)Q(y))R(x,y)

＝
xy(P(x)Q(y)R(x，y))
＝右边
3. 求下列谓词公式的前束析取范式和前束合取范式。
（1）
xP(x)yQ(x，y)

（2）
x(P(x，y)yQ(x，y，z))

（3）
xyP(x，y)(zQ(z)R(x))

（4）
x(P(x)Q(x，y))(y(R(y)zS(y，z))

解：（1）
原式xyP(x)Q(z,y)xy(P(x)Q(z,y))
前束析取范式
xy(P(x)Q(z,y))
前束合取范式
（2）原式
xt(P(x,y)Q(x,t,z)xt(P( x,y)Q(x,t,z)
前束析取范式

xt(P(x,y)Q(x,t,z)
前束合取范式
（3）原式
xyz(P(x,y)(Q(z)R(t))


xyz(P(x,y)Q(z)R(t))
前束析取范式

xyz(P(x,y)Q(z)R(t))
前束合取范式
（4）原式
x(P(x)Q(x，y))(t(R(t)zS( t，z))


xtz((P(x)Q(x,y))(R(t)S(t,z)))


xtz((P(x)Q(x,y))(R(t)S(t,z)))


xtz((P(x)Q(x,y)R(t))(P(x) Q(x,y)S(t,z)))


xtz((P(x) (R(t)S(t,z))(Q(x,y)R(t)S(t,z)

§2.4 谓词公式的推理演算
习题2.4
1.证明：
x(A(x)B(x))x(A(x)B(x))

证 明：（1）左边
x(A(x)B(x))x(A(x)B(x))


x(A(x)B(x))
＝
x(A(x)B(x))

5 9

2. 指出下面演绎推理中的错误，并给出正确的推导过程。
（1） ①
xP(x)Q(x)

②
P(y)Q(y)











































































P规则
US规则：①
P规则
US规则：①
P规则
ES规则：①
P规则
UG规则：①
P规则
EG规则：①
P规则
EG规则：①
（2） ①
x(P(x)Q(x))

②
P(a)Q(b)









（3） ①
P(x)xQ(x)

②
P(a)Q(a)

（4） ①
P(a)G(a)




②
x(P(x)G(x))

（5） ①
P(a)G(b)

②
x(P(x)G(x))

（6） ①
P(y)Q(y)

②
x(P(c)Q(x))
< br>解：（1）②错，使用US,UG,ES,EG规则应对前束范式，而①中公式不是前束范式，所以不能用 US
规则。
A(x)P(x)Q(x)
， (2)②错，①中公式为xA(x)
，这时，因而使用US规则时，应得A(a)(或
A(y)),故应有
P(a)Q(a)
，而不能为
P(a)Q(b)
。
3.用演绎法证明下列推理式
xP(x)y((P(y)Q(y))R(y))，xP(x)xR(x)

证明：①
xP(x)
前提引入
②
P(a)
ES①
③
xP(x)y((P(y)Q(y))R(y))
前提引入
④
y((P(y)Q(y))R(y))
T①③
⑤
(P(a)Q(a))R(a)
US④
⑥
P(a)Q(a)
T②
⑦
R(a)
T⑤⑥
⑧
xR(x)
EG⑦
4. 将下列命题符号化，并用演绎推理法证明其结论是有效的。
（1）有理数、无理数都是实数； 虚数不是实数。因此，虚数既不是有理数，也不是无理数。（个
体域取全总个体域）
（2） 所有的舞蹈者都很有风度；万英是个学生并且是个舞蹈者。因此，有些学生很有风度。（个
体域取人类全 体组成的集合）
6 9

（3）每个喜欢步行的人都不喜欢骑自行车；每 个人或者喜欢骑自行车或者喜欢乘汽车；有的人不
喜欢乘汽车。所以有的人不喜欢步行。（个体域取人类 全体组成的集合）
（4）每个旅客或者坐头等舱或者坐经济舱；每个旅客当且仅当他富裕时坐头等舱 ；有些旅客富裕
但并非所有的旅客都富裕。因此有些旅客坐经济舱。（个体域取全体旅客组成的集合）
解：(2)
证明：设P(x)：x 是个舞蹈者； Q(x) ：x很有风度； S(x)：x是个学生； a：
王华
上述句子符号化为：
前提：
x(P(x)Q(x))
、
S(a)P(a)
结论：
x(S(x)Q(x))

（1）
S(a)P(a)
P
（2）
x(P(x)Q(x))
P
（3）
P(a)Q(a)

（4）
P(a)

（5）
Q(a).

（6）
S(a)

（7）
S(a)Q(a)

（8）
x(S(x)Q(x)



]（3）命题符号 化为：F(x)：x喜欢步行,G(x)：x喜欢骑自行车，H(x)：x喜欢坐汽车。
前提：
x(F(x)G(x))
，
x(G(x)H(x))
，x(H(x))

结论：
x(F(x))
.
证明：(1)
x(H(x))
P
(2)
H(c)
ES(1)
(3)
x(G(x)H(x))
P
(4)
G(c)H(c)
US(3)
(5)
G(c)
T(2)(4) I
7 9
US（2）
T（1）I
T（3）（4）I
T（1）I
T（5）（6）I
EG（7）

(6)
x(F(x)G(x))
P
(7)
F(c)G(c)
US(6)
(8)
F(c)
T(5)(7) I
(9)
x(F(x))
EG(8)

（4）命题符号化为：F(x)：x坐头等舱, G(x)：x坐经济舱，H(x)：x富裕。
前提：
x(F(x)G(x))
，
x(F(x)H (x))
，
x(H(x))
，
x(H(x))

结论：
x(G(x))
.
证明：(1)
x(H(x))
P
(2)
H(c)
ES(1)
(3)
x(F(x)H(x))
P
(4)
F(c)H(c)
US(3)
(5)
F(c)
T(2)(4)I
(6)
x(F(x)G(x))
P
(7)
F(c)G(c)
US(6)
(8)
G(c)
T(5)(7)I
(9)
x(G(x))
EG(8)

5. 令谓词
P(x)
、
Q(x)
、
R(x)
和
S(x)
分别表示“
x
是婴儿”，表示“
x< br>的行为符合逻辑”、“
x
能
管理鳄鱼”和“
x
被人轻视”，个 体域为所有人的集合。用
P(x)
、
Q(x)
、
R(x)
、
S(x)
、量词和逻辑
联接词符号化下列语句。





（1）婴儿行为不合逻辑。
（2）能管理鳄鱼的人不被人轻视。
（3）行为不合逻辑的人被人轻视。
（4）婴儿不能管理鳄鱼。
请问，能从（1） 、（2）和（3）推出（4）吗？若不能，请写出（1）、（2）和（3）的一个有效结论，
并用演绎推 理法证明之。
解：（1）
x(P(x)Q(x))

（2）
x(R(x)S(x))

（3）
x(Q(x)S(x))

（4）
x(P(x)R(x))

能从（1）（2）（3）推出（4）。
8 9

证明：（1） P(x) 前提假设
（2）
x(P(x)Q(x))
前提引入
（3）
Q(x))
T 规则：(1)，(2)
（4）
x(Q(x)S(x))
P规则
（5）
S(x)
T 规则：(3)，(4)
（6）
x(R(x)S(x))
P规则
（7）
R(x)
拒取式
（8）
x(P(x)R(x))
UG规则
9 9