英语序数词-家庭保洁服务

数学初中竞赛逻辑推理专题训练

一．选择题
1．某校九年级6名 学生和1位老师共7人在毕业前合影留念（站成一行），若老师站在中间，
则不同的站位方法有（ ）
A．6种 B．120种 C．240种 D．720种
2．钟面上有十二个数1，2，3， …，12．将其中某些数的前面添上一个负号，使钟面上所
有数之代数和等于零，则至少要添
n
个负号，这个数
n
是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．仪表板上有四个开关，每个开关只能处于开或者关状态，如果相邻的两个开关不能同时
是开的，那么 所有不同的状态有（ ）

A．6种 B．7种 C．8种 D．9种
4．小明 训练上楼梯赛跑．他每步可上2阶或3阶（不上1阶），那么小明上12阶楼梯的不
同方法共有（ ）
（注：两种上楼梯的方法，只要有1步所踏楼梯阶数不相同，便认为是不同的上法．）
A．15种 B．14种 C．13种 D．12种
5．如图，2×5的正方形网格中，用5 张1×2的矩形纸片将网格完全覆盖，则不同的覆盖
方法有（ ）

A．3种 B．5种 C．8种 D．13种
6．﹣2和2对应的点将数轴分成3段，如果数轴上任意
n
个不同的点中至少有3个在其中
之一段，那么
n
的最小值是（ ）

A．5 B．6 C．7 D．8

7．计算机中的堆栈是一些连续 的存储单元，在每个堆栈中数据的存入、取出按照“先进后
出’’的原则．如图，堆栈（1）的2个连续 存储单元已依次存入数据
b
，
a
，取出数据的
顺序是
a，
b
；堆栈（2）的3个连续存储单元已依次存人数据
e
，
d< br>，
c
，取出数据的顺序
则是
c
，
d
，
e
，现在要从这两个堆栈中取出这5个数据（每次取出1个数据），则不同顺
序的取法的种数 有（ ）

A．5种 B．6种 C．10种 D．12种
8．用六根火柴棒搭 成4个正三角形（如图），现有一只虫子从点
A
出发爬行了5根不同的火
柴棒后，到了
C
点，则不同的爬行路径共有（ ）

A．4条 B．5条 C．6条 D．7条
9．将四边
ABCD
的每个顶点涂上一种颜色，并使每条边的两端异色，若 共有3种颜色可供使
用（并不要求每种颜色都用上），则不同的涂色方法为（ ）种．
A．6 B．12 C．18 D．24
10．如图所示，韩梅家的左右两侧各摆了3盆花， 韩梅每次按照以下规则往家中搬一盆花，
先选择左侧还是右侧，然后搬该侧离家最近的，要把所有的花搬 到家里，共有（ ）
种不同的搬花顺序．

A．8 B．12 C．16 D．20
11．如图，在一块木板上均匀钉了9颗钉子，用细绳可以像图中那样围成三角形，在这块木
板上，还可以围成
x
个与图中三角形全等但位置不同的三角形，则
x
的值为（ ）

A．8 B．12 C．15 D．17
12． 初二（1）班有37名学生，其中参加数学竞赛的有30人，参加物理竞赛的有20人，有
4人没有参加 任何一项竞赛，则同时参加这两项竞赛的学生共有（ ）人．
A．16

二．填空题
13．湖南卫视推出的电视节目《我是歌手第三季》于3月27日落下帷幕，歌手 韩红夺得歌
王称号．在这个节目中，每场比赛7位歌手的成绩排位顺序是由现场500位大众评委投票决定的，每场比赛每位大众评委有3张票（必须使用）以投给不同的3位歌手．在某
一场比赛中， 假设全部票都有效，也不会产生并列冠军，那么要夺得冠军至少要获得
张票．
14 ．如图，在一个4×4的方格棋盘的
A
格里放一枚棋子，如果规定棋子每步只能向上、下
或左、右走一格，那么这枚棋子走28步后 到达
B
处．（填“一定能”或“一定不
能”或“可能”）
B．17 C．18 D．19

15．将红、白、黄三种小球，装入红、白、黄三个盒子中，每个盒子 中装有相同颜色的小球．已
知：
（1）黄盒中的小球比黄球多；
（2）红盒中的小球与白球不一样多；
（3）白球比白盒中的球少．
则红、白、黄三个盒子中装有小球的颜色依次是 ．
16．在表达式
S＝中，
x
1
、
x
2
、
x
3
、
x
4
是1、2、3、4的一种排列（即：
x
1
、
x
2
、
x
3
、
x
4
取1、2、3、4中的某 一个数，且
x
1
、
x
2
、
x
3
、
x
4
互不相同）．则使
S
为实数的
不同排列的种数有 种．

17．如图，一个田字形的区域
A
、
B
、C
、
D
栽种观赏植物，要求同一个区域中种同一种植物，
相邻的两块种不 同的植物，现有4种不同的植物可供选择，那么有 种栽种方案．

18．6名乒乓 球运动员穿着4种颜色的服装进行表演赛，其中2人穿红色的，2人穿黄色的，
1人穿蓝色的，1人穿黑 色的．每次表演选3人出场，且仅在服装颜色不同的选手间对局
比赛，具体规则是：
（1）出 场的“3人组”中若服装均不相同，则每两人都进行1局比赛，且比赛过的2名
选手在不同的“3人组” 中再相遇时还要比赛．
（2）出场的“3人组”中若有服装相同的2名选手，则这2名选手之间不比赛 ，并且只
派1人与另1名选手进行1局比赛．
按照这样的规则，当所有不同的“3人组”都出场后，共进行了 局比赛．
19．将 1、2、3、…、64填入右图8×8的表格中，每格一个数．如果某格所填的数至少大
于同行中的5个 ，且至少大于同列的5个，那么就将这个格子涂上红色．涂上红色的格
子最多 个．


三．解答题
20．120人参加数学竞赛，试题共有5道大题，已知第1、2、3 、4、5题分别有96、83、74、
66、35人做对，如果至少做对3题便可获奖，问：这次竞赛至 少有几人获奖？


21．某校一间宿舍里住有若干位学生，其中一人担任舍长．元 旦时，该宿舍里的每位学生互
赠一张贺卡，并且每人又赠给宿舍楼的每位管理员一张贺卡，每位宿舍管理 员也回赠舍
长一张贺卡，这样共用去了51张贺卡．问这间宿舍里住有多少位学生．

22．世界杯足球赛每个小组共有四个队参加比赛，采用单循环赛 制（即每两个队之间要进行
一场比赛），每场比赛获胜的一方得3分，负的一方得0分，如果两队战平， 那么双方各
得1分，小组赛结束后，积分多的前两名从小组出线．如果积分相同，两队可以通过比
净胜球或其他如抽签等方式决定谁是第二名，确保有两支队伍出线．
（1）某队小组比赛后共得6分，是否一定从小组出线？
（2）某队小组比赛后共得3分，能从小组出线吗？
（3）某队小组比赛后共得2分，能从小组出线吗？
（4）某队小组比赛后共得1分，有没有出线的可能？



23 ．把一条宽为1厘米的长方形纸片对折
n
次，得到一个小长方形，宽仍然是1厘米，长是
整数厘米．然后，从小长方形的一端起，每隔1厘米剪一刀，最后得到一些面积为1平
方厘米的正方形 纸片和面积为2平方厘米的长方形纸片．如果这些纸片中恰好有1282块
正方形，那么，对折的此数< br>n
共有多少种不同的数值？





2 4．圆周上的十个点将圆周十等分，连接间隔两个点的等分点，共得到圆的十条弦，它们彼
此相交，构成 各种几何图形．图中有多少个平行四边形？

25．足 球的球面由若干个五边形和正六边形拼接而成，已知有12块正五边形，则正六边形
的块数是？





26．在
m
（
m≥2）个不同数的排列
P
1
P
2
P
3
…
P
m
中，若1≤
i
＜
j
≤
m
时，
P
i
＞
P
j
（即前面某数大
于后面某数），则称
P
i
与
P
j
构成一个逆序．一个排列的全部逆序的总数称为该排列的 逆
序数．记排列（
n
+1）
n
（
n
﹣1）…321 的逆序数为
a
n
，如排列21的逆序数
a
1
＝1，排列4321的逆序数
a
3
＝6．
（1）求
a
4
、
a
5
，并写出
a
n
的表达式（用
n
表示 ，不要求证明）；
（2）令
b
n
＝+﹣2，求
b
1
+
b
2
+…
b
n
并证明
b
1
+
b
2
+…
b
n
＜3，
n
＝1，2，…．

参考答案
一．选择
1．解：老师在中间，故第一位同学 有6种选择方法，第二名同学有5种选法，第三名同学
有4种选法，第四名同学有3种选法，第五名同学 有2种选法，第六名同学有1种选法，
所以共有6×5×4×3×2×1＝720种．
故选：
D
．
2．解：因为1+2+3+…+11+12＝78，
所以78÷2＝39，也就是添上负号的数的和为﹣39，其余数的和为39使代数和等于零，
要填负号最少，首先从大数前面加负号，
因此﹣10﹣11﹣12＝﹣33，﹣33﹣6＝﹣39，
由此得到至少要添4个负号．
故选：
A
．
3．解：我们用
O
表示开的状态，
F
表示关的状态，
则各 种不同的状态有
OOOO
，
OOOF
，
OOFO
，
OFOO
，
FOOO
，
FOFO
，
OFOF
，FOOF
共8种状态．
故选：
C
．
4．解：设小明上
n
阶楼梯有
a
n
种上法，
n
是正整数，则
a1
＝0，
a
2
＝1，
a
3
＝1．
由 加法原理知
a
n
＝
a
n
﹣2
+
a
n
﹣3
，
n
≥4．
递推可得
a
4
＝a
2
+
a
1
＝1，
a
5
＝
a
3
+
a
2
＝2，
a
6
＝
a
4
+
a
3
＝2，
a
7
＝
a
5
+
a
4
＝3，
a
8
＝
a
6
+
a
5
＝4，
a
9
＝
a
7
+
a
6
＝5，
a
10
＝
a
8
+
a
7
＝7，
a
11
＝
a
9
+
a
8
＝9，
a
12
＝
a
10
+
a
9
＝12．
故选：
D
．
5．解：如图所示，直线代表一个1×2的小矩形纸片：

1+4+3
＝8（种）．
答：不同的覆盖方法有8种．
故选：
C
．
6．解：∵令每个抽屉最多有2个点，则最多有6个点，
∴
n
≥7．
故选：
C
．
7．解：先取出堆栈（1）的数据首次取出的只能是
a
，可以有下列情况，
abcde
，
acbde
，
acdbe
，
acdeb
四种情况；
先取出堆栈（2）的数据首次取出的只能是
c
，可以有下列情况， < br>cdeab
，
cdabe
，
cdaeb
，
cabde
，
caedb
，
cadeb
六种情况，
综上所知，共10种取法．
故选：
C
．
8．解：从点
A
出发爬行了5根不同的火柴棒后，到了
C
点，不同的爬行路径有：①
AB﹣
BC
﹣
CA
﹣
AD
﹣
DC
；②AB
﹣
BC
﹣
CD
﹣
DA
﹣
AC；③
AC
﹣
CB
﹣
BA
﹣
AD
﹣DC
；④
AC
﹣
CD
﹣
DA
﹣
AB< br>﹣
BC
；⑤
AD
﹣
DC
﹣
CA
﹣< br>AB
﹣
BC
；⑥
AD
﹣
DC
﹣
CB
﹣
BA
﹣
AC
．
共有6条．
故选：
C
．
9．解：设供选用的颜色分别为1，2，3；
当
A
选1时，有两种情况：
①
C
与
A
的 颜色相同时，
B
、
D
的选法有：

一、
B< br>选2，
D
选3；二、
B
选3，
D
选2；三、
B
选2，
D
选2；四、
B
选3，
D
选3；
共4种涂色方法；
②
C
与
A
的颜色不同时，选法有： < br>一、
C
选2，
B
、
D
选3；二、
C
选3，
B
、
D
选2；
共2种涂色方法；
因此当
A
选1时，共有2+4＝6种涂色方法；而
A
可选1、2、3三种颜色；
因此总共有3×6＝18种涂色方法．故选
C
．
10．解：韩梅每次只能选择搬左侧或者右侧的花，左侧和右侧分别只能选择三次，
我们将三 个左和三个右组成的排列（例如：左左右左右右是一种情况）分别对应一种搬
花的顺序，
并且 不同的排列对应不同的搬花顺序，所以三个左和三个右组成的排列的个数与搬花顺
序的个数相同， 故只需考虑所以三个左和三个右组成的排列的个数，对于这种排列只需要考虑在6个位
置中选择三个 为左的个数，
这样的个数一共有
故选：
D
．
11．解：如图所示：
＝20．

将图形分成①、②、③、④四部分，
第①个小正方形中符合题意的三角形有3个；
第②个小正方形中符合题意的三角形有4个；
第③个小正方形中符合题意的三角形有4个；
第④个小正方形中符合题意的三角形有4个；
综上可得共有15个与图中三角形全等但位置不同的三角形，即
x
＝15．
故选：
C
．
12．解：设同时参加两项竞赛的学生有
x
人，根据题意可列出方程：
37＝30+20+4﹣
x
，
解得
x
＝17（人）；

故选：
B
．
二．填空
13．解：∵（500×3）÷7＝214（张）…2（张），
又∵全部票都有效，也不会产生并列冠军，
∴夺得冠军至少要获得票数＝214+2＝216（张）
故答案为：216．
14 ．解：棋子每走一步都有2一4种可能的选择，所以该棋子走完28步后，可能出现的情
况十分复杂．
如果把棋盘上的方格分成黑白相间的两类，且使每个黑格的四周都是白格，那么，棋子
从黑色< br>A
格出发，第一步必定进人白格；
第二步必定进人黑格，第三步又进入白格…
也就是说棋子走奇数步时进人白格；
走偶数步时，进人黑格，
所以当棋子从
A
格出发28步后，必定落在黑格．
故这枚棋子走28步后可能到达
B
处．
故答案为：可能．

15．解：由条件（2）知红盒不装白球，由条件（3）知白盒不装白球，故黄盒装白球．
假 设白盒装黄球，由条件（3）知白球比黄球少，这与条件（1）矛盾，故白盒装红球，
红盒装黄球．
故答案为：黄、红、白．
16．解：∵
x
1
﹣
x
2
+
x
3
﹣
x
4
≥0，
∴
x< br>1
+
x
3
≥
x
2
+
x
4< br>；
符合条件的排列数是：
P
4
4
﹣
C
4< br>2
P
2
2
＝24﹣8＝16（种）
故答案为：16． 17．解：若
A
，
C
种同一种植物，则
A
，
C
有4×1种栽种方法，
B
，
D
都有3种栽种法，共有
4×3 ×3＝36种栽种方案；

若
A
，
C
种不同的植物， 则有4×3种栽种法，
B
，
D
都有2种栽种法，一共有4×3×2×2
＝48种栽种法．
所以共有36+48＝84种．
故答案为：84．
18．解 ：将穿红色服装的2名选手表示为平行直线
l
1
、
l
2
；将 穿黄色服装的2名选手表示为
另两条平行直线
l
3
、
l
4< br>；将穿蓝色、黑色服装的选手表示为相交直线
l
5
、
l
6、且与
l
1
、
l
2
、
l
3
、
l
4
均相交，这就得到了图1，图中无三线共点．
（1）“3人组”的服装 均不相同时，按规则，对应着3条直线两两相交，其比赛局数恰为
图中的线段数（图2）因为
l
1
、
l
2
、
l
3
、
l
4
上各有4个交点，每条直线有6条线段，共有
24条线段．
（2）当“3人组”有2 人服装相同，按规则，其比赛局数恰好为图中的线段数（图3）
因为
l
5
、< br>l
6
上各有5个交点，每条直线上都有10条线段，共得20条线段．
两种情况合计，总比赛局数为44局．

故答案为：44．
19．解：因 为一行有8个数，至多有3个数可以大于同行的5个数，只有当这两个数分别同
时大于所在列的5个数时 ，
涂上红色，所以一行最多有3个涂上红色，8行最多有3×8＝24个涂上红色，如图所示：
1所在位置，都可以涂成红色．
故答案为：24．

三．解答
20．解：将这120人分别编号为
P
1
，
P
2
， …，
P
120
，
并视为数轴上的120个点，用
A
k表示这120人之中未答对第
k
题的人所成的组，
|
A
k
|为该组人数，
k
＝1，2，3，4，5，
则|
A
1
|＝24，|
A
2
|＝37，|
A3
|＝46，|
A
4
|＝54，|
A
5
|＝8 5，
将以上五个组分别赋予五种颜色，
如果某人未做对第
k
题，
则将表示该人点染第
k
色，
k
＝1，2，3，4，5，
问题转化为，求出至少染有三色的点最多有几个？
由于|
A
1
|+ |
A
2
|+|
A
3
|+|
A
4
| +|
A
5
|＝246，
故至少染有三色的点不多于＝82个，
图是满足条件的一个最佳染法，
即点
P
1
，
P
2
，…，
P
85
这85个点染第五色；
点
P
1，
P
2
，…，
P
37
这37个点染第二色；
点
P
38
，
P
39
，…，
P
83
这46个点染第四色；
点
P
1
，
P
2
，…，P
24
这24个点染第一色；
点
P
25
，
P
26
，…，
P
78
这54个点染第三色；
于是染有三色的点最多有78个．
因此染色数不多于两种的点至少有42个，
即获 奖人数至少有42个人（他们每人至多答错两题，而至少答对三题，例如
P
79
，P
80
，…，
P
120
这42个人）．

答：获奖人数至少有42个人．
21．解：设有
x
个学生，
y
个管理员．
该宿舍每位学生 与赠一张贺卡，那么每个人收到的贺卡就是
x
﹣1张，那么总共就用去了
x
（
x
﹣1）张贺卡；
每个人又赠给每一位管理员一张贺卡，那么就用去了
xy
张贺卡；
每位管理员也回赠舍长一张贺卡，那么就用去了
y
张贺卡；
∴
x
（
x
﹣1）+
xy
+
y
＝51，
∴51 ＝
x
（
x
﹣1）+
xy
+
y
＝
x
（
x
﹣1）+
y
（
x
+1）≥
x
（
x
﹣1）+
x
+1＝
x
2
+1（当
y< br>＝1时取“＝”），
解得，
x
≤7；
x
（
x
﹣1）+（
x
+1）
y
＝51
∵51是奇数，而
x
和
x
﹣1中，有一个是偶数，
∴
x
（
x
﹣1）是偶数，
∴（
x
+1）
y
是奇数，
∴
x
是偶数，
而
x
≤7，所以
x
只有2 4 6三种情况；
当
x
＝2时，
y
＝
当
x
＝4时，
y
＝（不是整数，舍去）；
（不是整数，舍去）；
当
x
＝6时，
y
＝3．
所以这个宿舍有6个学生．
22．解：（1）不一定．
设四个球队分别为
A
、
B
、< br>C
、
D
，
如四个球队的比赛结果是
A
战胜了
B
，
D
， 而
B
战胜了
C
，
D
，
C
战胜了
A
，
D
，
D
在3场比赛中都输了，
这样，小组赛之后，
ABC
三个球队都得6分，
D
队积0分，
因此小组中的第三名积分是6分，
∴不能出线；

（2）有可能出线．
如
A
在3场比赛中获得全胜，而
B
战胜了
C
，C
战胜了
D
，

D
战胜了
B
， 这样，小组赛之后，
A
积9分，
B
、
C
、
D
都积3分，
因此这个小组的第二名，一定是3分出线；

（3）有可能出线．
如
A
队三战全胜，
B
、
C
、
D
之 间的比赛都战平，
这样这个小组的第二名的积分一定是2分，
自然有出线的可能．

（4）不可能出线．
如果只得1分，说明他的3场比赛成绩是1平2负，
而他负的两个球队的积分至少是3分，
他就不可能排到小组的前两名，必然被淘汰．
23．解：设长方形的长为
a
，
若
n
＝1，即对折一次，按题中操作可得1平方厘米的正方形纸片个数为：
（﹣1）×2＝
a
﹣2＝1282，
解得：
a
＝1284，2|1284，符合条件；
若
n
＝2，即对折2次，按题中操作可得1平方厘米的正方形纸片个数为：
（﹣1）×2+（﹣2）×（4﹣2）＝
a
﹣6＝1282，
解得：
a
＝1288，4|1288，符合条件；
若
n
＝3，即对折3次，按题中操作可得1平方厘米的正方形纸片个数为：
（﹣1）×2+（﹣2）×（8﹣2）＝
a
﹣2×（8﹣1）＝1282，
解得：
a
＝1296，8|1296，符合条件；
对一般的
n，得到的正方形个数为；
a
﹣2×（2
n
﹣1），另
a
﹣2×（2
n
﹣1）＝1282，
解得：
a
＝2×（2
n
﹣1）+1282＝2×2
n
+1280，
若2
n
|
a
，则符合条件，显然，
当2
n
|1280时符合条件，1280＝2
8
×5，
∴
n
可取1到8，对折的次数
n
共有8种不同的可能数值．
24．解：连接圆周上的十个等分点的“对径点”，

则可得5条直径，
因为每条直径是一个平行四边形的较长的那条对角线，
所以可得5个平行四边形．
即图中有5个平行四边形．
25．解：设正六边形有5
x
块，则正五边形有3
x
块，
由题意得：共有12块正五边形，即3
x
＝12，
解得：
x
＝4，5
x
＝20．
即正六边形的块数是20块．
26．解：（1）由排列21的逆序数
a
1< br>＝1，排列4321的逆序数
a
3
＝6，得
a
4
＝4 +3+2+1＝10，
a
5
＝5+4+3+2+1＝15，
∴
a< br>n
＝
n
+（
n
﹣1）+…+2+1＝

（2 ）∵
a
n
＝
n
+（
n
﹣1）+…+2+1＝，b
n
＝+﹣2，
；
∴
b
n
＝+﹣2＝+﹣2＝﹣，
∴
b
1
+
b
2
+…+
b
n
＝2[（﹣）+（﹣）+…+（﹣
又∵
n
＝1，2，…，
∴
b
1
+
b
2
+…
b
n
＝3﹣


﹣＜3．
）]＝3﹣﹣；