假断掌手相图解-唐诗名句

把握价值取向 发展空间观念
——例谈图形与几何教学中空间观念的培养



[摘 要] 空间观念一直是课标提出的核心概念之一。小学图形与几何教学的课程核心目标在于，积
累丰富的几何活 动经验，培养学生的空间观念、形象思维和初步的推理意识。可以说，空间观念的培养始
终贯穿于图形与 几何的教学。然而，在实际教学中老师往往重视学生掌握有关图形与几何的基础知识、形
成基本技能，而 忽视发展学生的空间观念，偏离了图形与几何教学的核心价值。
[关键词] 空间观念、表象、几何建模

空间观念是指物体的形状、大小、位置、方向、距离等形象 在人脑中的表象。其主要表现为：能由形
状简单的实物想象出几何图形，由几何图形想象出实物的形状， 进行几何体与其三视图、展开图之间的转
化；能根据条件作出立体模型或画出图形。小学阶段是学生空间 观念发展的初级阶段，是积累丰富的感性
认识的重要时期。
当前，小学图形与几何教学，其基 本定位在于操作几何、直观几何。这既是小学生年龄特征所决定的，
也是几何课程改革进步的必然。其实 ，与数与代数相比，图形与几何的课程更形象、具体，富有操作性。
因此，在小学图形与几何课程目标的 表述等方面，较多地使用了“经历”、“探索”、“体验”等过程性目标
动词；同时，图形与几何课程的 指向也不仅仅停留在“几何”目标和价值上，而是放眼于小学生数学思维
水平的整体提高，数学活动经验 的积累和数学思想的渗透，还应涵盖培养学生的空间观念。在基于小学生
认知水平之上的几何活动中，这 些目标完全可以实现。本文试求以《长方体和正方体的体积》（人教版五
下）一课为例，从空间观念表现 的 “想象”、“分解与分析”、“描述和思考”、“作出和画出” 四个层次及
几何建模例谈学生空间观念的培养。
一、“想象”长方体------ 通过对长方体“三视图”的剖析，形成丰富表象
想象是指由实物的形状想象出几何图形，由几何图形想 象出实物的形状，进行几何体与其三视图和展
开图之间的转化。这种“想象”是在“表象”基础上经过概 括、加工形成的，反映的是几何形态，丰富的
表象资源是学生空间观念培养的前提和基础。学生从认识平 面图形到立体图形，相对是比较困难的，原因
是学生在辨认立体图形时，是在“平面”上研究“立体”， 难于使学生形成直观的空间形象。学生从不同
角度观察长方体，其观察到的立体图形是不同的，然而，由 于观察角度引起表象的变化，并不是长方体体
积大小的本质属性。那么，该如何突破从“二维”到“三维 ”的飞跃，剥离由于观察角度引起的“形状变
化”？课伊始，我们就力图去除这些非本质属性，为研究、 探讨长方体体积公式做好铺垫。
〖教学片段1〗

1.出示：



（图1） （图2） （图3） （图4） （图5）
2.观察图1的体积是多少？

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棱长1厘米的正方体的体积是1立方厘米。

设问：有什么好方法，一目了然体积是6立方厘米？（生演示移动的过程，变成图2）
追问：用语言描述这个长方体。
3.移动尽量少的正方体，把图3也变成长方体，并使这个长方体长得“高高”的。（变成图4）
讨论：两个长方体有什么联系？（同一个长方体，摆的位置不同；形状一样，长、宽、高不同。） 4.小结：刚才从两个不同角度观察同一个长方体，那么从第三种观察角度，又会是怎样一个长方体呢？请你对同桌描述一下这个长方体。（图5）
（生：扁扁的，长摆3个，宽摆2个；一行摆3个，摆2行；一排摆3个，摆2排。）
5.师生小结：同一个长方体，由于观察的角度不同，它的长、宽、高会相互转化，但大小不变。 片段1通过对不规则图形与长方体的转化，得出长方体比不规则图形更容易数清它体积的结论，更重
要的是让学生通过想象得出第三种观察角度的图形，从三个不同的角度观察长方体，丰富学生对于长方体
的表象积累。与标准三视图（俯视图、前视图和侧视图）不同的是，本片段提到的“三视图”是指从三个
不同方位观察长方体的立体图。使学生认识到：由于观察角度原因导致的长、宽、高相互转化，但体积不
变。
二、“分解”与“分析”长方体----- 建立实物图形与模型框架的联系
分解和分 析即能从较复杂的图形中分解出基本图形，并能分析其中的基本元素及其关系。这种“分
解”和“分析” 是一种思维活动，具有形象思维并伴有抽象思维的特点。这些特点表现在把握“相互转化”
关系的基础上 ，刻画了根据图形特征在逻辑上对图形关系进行的分析和操作。
一般传统的教学模式，会让学生用实物 摆一摆，根据摆的结果归纳体积公式。对学生而言，把若干
个小正方体摆成长方体并不困难，摆成不同形 状也不困难，因为思维水平不高，甚至有学生在摆出第一个
长方体后就不愿意继续“摆”了。这种传统教 学模式能顺利推导出长方体的体积公式，学生也能理解，但
在学生空间观念培养上的表现是苍白无力的， 而且不能解决的一个关键问题是：无法沟通摆成的实物图形
与抽象的模型框架之间的联系。
〖教学片段2〗
1.（出示图6）下面这个复杂的图形如果摆成长方体，会是怎样的？体积又是多少？




（图6） （图7） （图8） （图9）
生1：长摆4个，宽摆3个，体积是12立方厘米。
生2：一行摆4个，摆了3行，体积是12立方厘米。（出示图7）
2.师演示从图7中抽离出图8，这个长方体的体积又是多少？为什么？
生：它和刚才的长方体是一样大小的，它里面可以摆12个小正方体。
小结：一个长方体包含几个1立方厘米的小正方体，它的体积就是几立方厘米。
3.师逐步演示拉伸长方体的高，形成图9。请思考：现在长方体的体积是多少呢?（24、36） < br>小学生的年龄特征，决定了他们对图形的识别活动，处于依据表象为主的直观辨认水平，逐步向依据
特征为主的初级概念判断水平发展，这种发展的中介，就是用语言概括、描述形体的特征。在片段2的教
学中，对长方体实物进行分解和分析，描述长方体的特征，在头脑中建立长方体的表象，提炼出长方体的
模型框架。对长方体体积的认识从“数”逐渐趋向于对长方体长、宽、高这一本质属性的分析，架起了实
物模型与模型框架联系的桥梁。

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三、“描述”和“思考” 估测体积过程——探究影响长方体体积大小的因素
描述和思考是描 述实物或几何图形的运动和变化，能采用适当的方式描述物体之间的位置关系，能运
用图形形象地描述问 题，利用直观来思考。这种思考是没有严格演绎逻辑的“形象化”的推理，是结合情
景进行的思考。与传 统的“摆一摆总结公式”教学模式相比，本课设计从长方体的形成入手，反其道而行，
先有长方体模型框 架，再描述如何摆。在估测长方体体积的过程中理顺关系、确定估测方法，逐渐逼近准
确答案，直指影响 长方体体积大小的本质属性——长、宽、高。
〖教学片段3〗
1.出示：小正方体的体积是1立方厘米，下面的长方体体积是多少？请你估一估。（图10）




（图10） （图11） （图12）
可能会有：9立方厘米、15立方厘米、12立方厘米、16立方厘米、24立方厘米……
设问：你的估测有依据吗？
生：估计长可以摆几个，宽摆几个，高摆几个……
有学生提出：我觉得比较难估测，最好把小正方体“拿”下来。
讨论：“拿”下来放哪里呢？为什么？（“角”上）（图11）
2.把小正方体放在长方体的顶点位置，更有利于估测它的体积了，请你再估一估。
生1：一行摆5个、摆2行、可以摆2层，5×2×2=20。
生2：长摆6个、宽摆2个、高摆2个，6×2×2=24。
生3：长是6厘米、宽2厘米、高2厘米，6×2×2=24。
3.师逐步出示图12：现在能准确知道它的体积吗?
生：能确定了，6×2×3=36，这个长方体包含了36了小正方体，它的体积是36立方厘米。
4.那下图你能准确计算它的体积吗？（图13）

（图13）

追问：还需要摆一摆吗？（不需要）
心理学告诉我们，人的知觉具有选择性。研究表 明，小学生观察时，各种几何要素，如点、线、面或
者边、角等，给他们的知觉刺激强度具有相对性、差 异性。一般来说，图形的整体形状、整体大小是强成
分，而图形的局部细节是弱成分。在片段3的教学中 ，当两个图形分开时，学生的估测往往比较盲目，很
难得出接近的结果。移动小正方体的位置放在合适的 位置，利用小正方体为参考，借助它对长方体体积的
形象思考。学生在估测时，利用两者的关系考虑长方 体的长、宽、高与正方体棱长的长度关系，从立体图
形的大小关系转到对应边倍数关系的本质属性上思考 ，在对估测过程的描述中逐步建立长方体体积计算方
法。
四、几何建模——概括体积计算公式，发展数学思维能力
学生认识图形的特征，需要通过对感 性材料进行观察、比较、分析、综合、抽象、概括才能实现；在
对图形进行变换，导出体积公式并加以应 用的过程中，还需要做一些简单的推理。这些思维活动，既有对
形体的定性分析、刻画，又有对形体的定 量分析、计算，它们都有助于发展学生的数学思维能力，也有助

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于学生形成数形结合的数学思想方法。学生通过观察长、宽、高依次变化而引 起体积变化的过程，进一步
明确影响长方体体积大小的因素，自然概括体积公式。
〖教学片段4〗
1.你们觉得长方体的体积和什么因素有关？（长、宽、高）
2.师出示一长方体，分别拉伸它的长、宽、高，观察体积的变化。（图14）


（图14）

3. 把图形旋转观察体积的变化，你找到这个长方体的长、宽、高吗？（用智能笔画出）（图14）
4.一般化结论：如果这个长方体的长是a，宽b，高h，怎样求它的体积。
概括长方体的体积公式：V=abh。
5.基础练习（两个长方体、一个正方体的体积计算），同化概念，总结了立方体的体积公式。
本环节通过对图形的拉伸、旋转，从不同的角度再次观察长方体，思考影响体积大小的因素。心理学
证 明，小学生的空间观念源于生活经验，因此他们更乐意接受标准形状，且处于标准位置的图形，有学生
还 有排斥非标准图形的倾向。教材一般的编排方式是：在引入新图形时，先配以标准图形，或接近于“标
准 ”的图形，这有利于唤起学生的生活经验，缩短认知差距。但教学中还必须注意适当使用变式图形，这
既 是教学需要和促进学生空间观念发展的需要，也是反映学生形体概念水平的评价指标之一。
五、“画出”图形——想象图形间的逻辑关系，发展空间想象能力
画出图形即能根据条件画出 图形，“画出”是一种实践活动，重视感知过的平面图形或空间物体。学
生通过空间想象，在事物或图形 的影响下，在言语的调节下，对头脑中已有空间表象经过改造、结合产生
新表象，从而在头脑中“画出” 新旧图形之间的联系。
〖教学片段5〗
1.抛出问题：一个正方体的棱长扩大到原来的2倍 ，它的体积扩大到原来的几倍？在你的头脑中想象
着“画一画”，尝试着把它“拉一拉”。
⑴验证：出示学生画出了草图，再出示图15。
⑵思考：棱长扩大到原来的10倍呢，它的体积又扩大到原来的几倍呢？（1000倍）（演示图16）
⑶那棱长扩大到原来的N倍呢？（体积扩大到原来N的立方倍）



（图15）

2.请你估测下这个长方体的体积，并对同桌说说你的方法。（注：图略，为香烟盒糊上白纸）
⑴生讨论后反馈
⑵它究竟多大，该怎么办？
生：测量数据，记录为8.5厘米、5厘米、2厘米，计算结果为85立方厘米。
⑶出示第二 个长方体（17厘米、10厘米、4厘米），请你估测它的大小，把答案写出来，比一比谁估
得最准确。 （师将两个长方体放在一起）
生：我估计680立方厘米，因为我感觉这个长方体和之前那个比较，长 、宽、高是两倍关系，85×2

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（图16）

×2×2=680。
师生评价方法
⑷那如果让你估计这个教室空间的大小呢？你会怎么去估？
生：估长、宽、高各几米；估有几个讲台的大小；估有几个1立方米……
在片段5的教学中， 学生通过在头脑中画一画、拉一拉等系列想象过程，链接新授过程的诸环节，“画
出”两个立方体体积关 系。不但简化了正方体棱长变化引起体积变化规律的探究过程，也使学生对于立方
数的理解充分建立在“ 长×宽×高”的连乘基础上，软件的直观演示更是丰富了学生头脑中对于两个图形
关系的表象。学生在估 测立体图形体积时也会选择这种比较的策略，比较两个立体图形，想象它们的位置
关系，大小上的逻辑关 系。这样，估测就能基于几何直观，联想也有表象基础，使空间观念从感知不断发
展上升为一种可以把握 的能力。

全文综述
小学图形与几何课程，我们除了需要关注基础知识和基本技能 的教学外，还应注重：学生经历从实际
背景中抽象出数学模型、从现实的生活空间中抽象出几何图形的过 程；发展学生的空间观念，积累丰富的
几何活动经验的过程；探索几何图形的性质和变化规律，领悟观察 、归纳、类比、猜想等基本数学思想的
过程。









注：本课教学平台为交互式电子白板，教学制作软件为HiteBoard。
主要参考文献：
1．曹培英.小学数学空间与图形教学研究［M］.东华大学出版社，2004
2．马云鹏.小学数学教学论（第二版）.人民教育出版社，2002
朱 国 平


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