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有趣的24点
一、问题的提出
最近，我们班流行起了玩24点游戏，游戏规 则如下；一副牌中抽去大小王
剩下52张，（如果初练也可只用1～10这40张牌）任意取出四张牌（ 称牌组），
以牌面数字为准，Ａ代表1、2代表2、3代表3．．．J代表11、Q代表12、K代表13。以得到的四个数字任意排列作四则运算（加减乘除），不限定运算符号之
运用次数，但每个 数字仅能使用一次，以此来求出24。如抽出的牌是3、8、8、
9，那么算式为（9-8）×8×3或 3×8÷（9-8）或（9-8÷8）×3等。
“算24点”是一种数学游戏，正如象棋、围棋一样是 一种人们喜闻乐见的娱
乐活动。它始于何年何月已无从考究（详细见附件一），但它以自己独具的数学< br>魅力和丰富的内涵正逐渐被越来越多的人们所接受。这种游戏方式简单易学，能
健脑益智，是一项 极为有益的活动。 可是，有什么简便的方法能帮助我们更好
地运算24点呢？针对这个问题，我行动起 来，研究“有趣的24点游戏”。
二、研究方法
1、实践法：准备一副牌，抽去大小王，剩 下52张，（如果初练也可只用1～
10这40张牌）任意抽取4张牌（称牌组），用加、减、乘、除（ 可加括号）把
牌面上的数算成24。
2、归类法：将24点的解决策略归纳为8种方法，并加以验证。
3、行动研究法：在实践与 归类的基础上反思，加以猜想规律，并严谨、科
学加以论证，使研究螺旋上升。
三、研究过程
只要是下课，就能看见同学们认真研究的情景， 我也不例外 。我初来乍到，
先从简单的入手，比如这道题，我很快就与同学讨论出了许多不同的算法；
题 目1：请用2、8、8、9四个数字，只允许用加、减、乘、除，以及括号，
将他们相连构成一个运算式 子，使其结果等于24？
经过同学们激烈讨论，得到以下的结果： (2 - 8 + 9) * 8；((2 - 8) + 9) * 8；
(2 - (8 - 9)) * 8；(2 + 9 - 8) * 8；((2 + 9) - 8) * 8； (2 + (9 - 8)) * 8；8 * (2 - 8 + 9)；
8 * ((2 - 8) + 9)；8 * (2 - (8 - 9))；8 * (2 + 9 - 8)；8 * ((2 + 9) - 8)；8 * (2 + (9 - 8))；
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8 * (9 + 2 - 8)；8 * ((9 + 2) - 8)；8 * (9 + (2 - 8))；8 * (9 - 8 + 2)；8 * ((9 - 8) + 2)；
8 * (9 - (8 - 2))；(9 + 2 - 8) * 8；((9 + 2) - 8) * 8；(9 + (2 - 8)) * 8； (9 - 8 + 2) * 8；
((9 - 8) + 2) * 8；(9 - (8 - 2)) * 8。
原来一道题能算出这么多算法！共有24种不同的算法！真是让我大开眼界，
可是，这道 题却让我百思不得其解：
题目2：请用3、3、8、8四个数字，只允许用加、减、乘、除，以及括号 ，
将他们相连构成一个运算式子，使其结果等于24？
有了以上经历，同学们跃跃欲试，可这 题有难度，经过努力，终于有同学找
到：8(3-83)=24这个答案。大家兴奋之余，我想，有没有 办法快速地找到怎样
的4个数能算出24，而有的不能？
经过几天思考和练习摸索，上网查找 资料，发现网络上总是提供以下算24
的捷径：
（
我们用a、b、c、d表示牌面上的 四个数）
①(a—b）×（c＋d） 如（10—4）×（2＋2）＝24等。
②（a＋b）÷c×d 如（10＋2）÷2×4＝24等。
③（a－b÷c）×d 如（3—2÷2）×12＝24等。
④（a＋b－c）×d 如（9＋5—2）×2＝24等。
⑤a×b＋c—d 如11×3＋l—10＝24等。
⑥（a－b）×c＋d 如（4—l）×6＋6＝24等。
但是对于我们算24点游戏似乎帮助不明显，对照这几天同学们和自 己的实
战经验，结合一段时间总结记录下来的快速看牌术（详细见附件二），便于同学
们记忆和 实际操作，我归纳算24点的常见运算策略如下：
1、因数法：最常见的算法是3*8，4*6，2* 12，所以最先考虑的应该是上述
3种算法。一般情况已有其中的一个因子，而用其他3个数去凑另一个 因子。这
也是为什么用扑克牌算24点奥秘所在！（详细见附件三）
2、先乘后加：常见的有2*7+10，3*5+9，2*9+6，3*7+3。
3、先乘后 减：常见的有3*9-3，4*7-4，5*6-6。这种类型里较难的是减数是
由两个数相加而得，例 如：2、5、7、9。
4、统加法：把四个数全部加起来正好为24。如1、2、10、11，四个数 字和
正好为24。有时最简单的方法，反而是最容易忽略的方法。
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5、消去法：有时候，3个数就可以算出24，多出来一个数，用消去法，可
将 多余的数除去。如3、5、9、10，3*5+9=24，多一个10，可将10-5=5，将10
消去 。用乘法的分配律消去，如2，5，8，8，（5-2）*8=24，多一个8，可以将
算式改为5*8 -2*8，将多余的8消去。
6、会意法：如4、4、4、4，4*4表示4个4，再加2个4，就是 6个4。又
如，2、7、8、9，9+7是2个8，再乘于2，变成4个8，再减一个8等于3个8。
7、上天法：先将数乘得很大，最后再除于一个数得24，如10、10、4、4。
答案为：（ 10*10-4）4。
8、入地法：先将数算成分数或小数，最后乘于一个数得24，如3、3、7、 7。
答案为：（37+3）*7。
9、化除为乘法：用一个数除以一个分数，相当于乘它的倒 数，最后得24。
如3、3、8、8。答案为：8(3-83)=24。
同学们，你们懂了吗？快去试试吧！
虽然我知道了算24点蕴含的技巧策略，可是，还有一道难题一直困扰着我：
题目3：请用8 、9、10、11四个数字，只允许用加、减、乘、除以及括号，
将他们相连构成一个运算式子，使其结 果等于24？
这道题一直困扰着我，我一遍遍在纸上打着草稿，可就是算不出结果来。是
否这 就是无解的？那么怎么样的是无解？ 放学回家后，我立即请教了老爸，老
爸利用机器编程得到了所有扑 克牌可以解得答案：经计算机准确计算，一副牌（52
张）中，任意抽取4张可有1820种不同组合( 详细见附件四)，其中有458个牌
组用四则运算算不出24点，如1、1、1、5；其中就有8、9、 10、11。也就是说
52张纸牌的所有的答案只有1362种，仅仅占所有排列的一部分，其中就没有 8，
9，10，11四个数字。说明有些是无解的！如：3、5、8、10；3、5、9、11；3、< br>7、7、11；3、9、12、11；4、12、12、13；5、5、7、12；5、5、7、13„„
而且，老爸说，1、1、1、5虽然用四则运算算不出解，可是，到初中后，
可用六则运算求解 ：5
1+1
-1=25-1=24.只可惜，我们还没能学到乘方运算，不能更
深层次 地研究24点中的奥秘！
但我们在计算的过程中发现了许多无解的牌组，这使我们很困惑：无解的牌< br>组有规律吗？无解的牌组总共有458组。观察了一部分无解的牌组后，我们归纳
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出通常无解牌组的规律：
1、数字之和小于9：四个数字之和比9小的牌组，一定无解。
2、数字之和过大：当四张牌 中出现10、11、12、13时，容易出现无解。其
中以出现11跟13最容易无解。
3、同样的数字：四张牌中出现相同数字越多，则越容易出现无解。
既然有这么多无解的牌组，我们可以怎样使它“有解”？
对于无解牌组我们尝试跳脱常规，改变规则，以寻求解答，而可用的方法如
下：
1、 将数字重新组合：如1、1、1、2，本为无解，将两个1看成11，即可算。
（11＋1）×2＝24 。
2、将数字运算后再合并：如1、1、1、3，先1+1=2，在将2与1看成21，
则2 1+3=24。
3、增加乘方运算：如1、1、1、5，1+1=2，而5的2次方为25，则25- 1=24
又如1、3、5、5，
5^35-1=1255-1=25-1=24（5^3即5的 3次方）。

4、增加开方运算：如1、2、8、12，1+2=3，而8开3次方为2，则12*2=24。 5、将数字配合阶乘：如3、4、6、7，其中3！＝3*2*1＝6，则（7－3！）*4*6=24。
或者我们不改变规则，增加牌的张数。我们先增加一张牌，一副牌中，一个
数字最多只有4张， 也就是说每个数字最多出现4次。此时，5张牌中无解的总
数变成80组了，如1、1、1、1、2等。 继续增加牌数，6张牌，7张牌。。。，无
解的总数变少了，直至都有解了。具体内容可见维基百科。
http:i24%E7%82%B9#.84.E5.9
.A6
四、收获与体会：
1. “算24点”活动中两个人各出两张牌，看谁先算到24点。如果方 法不
同，也算赢一次。能极大限度地调动眼、脑、手、口、耳多种感官的协调活动，
对于培养我 们快捷的心算能力和反应能力很有帮助。
2. 这项活动对于三年级的同学来说就已经完全没有问题。 不仅可以加强加、
减、乘、除的口算练习，而且可以激励同学主动探索解决问题的策略，培养他们
的合作精神和创新意识，激发同学学习数学的兴趣，使他们亲近数学，更加喜欢
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数学。
3.虽然大多数24点存在很多解法，有相当一部分数字组合只存 在唯一的解
法。这种组合往往较有难度，也较为有趣。在总结方法策略过程中，我明白了一
个道 理：很多事情看起来很简单，但其中藏着大学问！我们不论做什么事都要认
真对待，不能掉以轻心。 < br>4.在这次活动中，平时默默无闻的几个同学表现惊人，而且一些同学提供很
多很漂亮的多种解法 。因此起点比较低，但全部填出答案却有难度，因此终点都
比较高，这样各种层次的同学们也能全员参与 ，着手解决问题，品尝成功的喜悦，
而对于智力水平较好的同学来说，也有充分施展他们才华的空间。
5.唯一遗憾的是，我们虽然找到了扑克牌算24点所有有解的答案和所有无
解的牌组，也分析 总结无解牌组的某些特征，但是仍然无法让人信服的解释它们
为什么无解的原因。
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附件一：
２４点游戏的起源

关于24 点游戏的起源，众说纷纭，但咸认应是由华人孙士杰先生所创。话
说孙士杰先生由上海移民至美国后，拿 一副扑克牌让邻家孩子算24 点，谁知这
一玩，竟让美国孩子着了迷，这些孩子又把游戏拿回家中和学 校，人们发现游戏
对开发智力十分有益，后来就在全美推广开了。
孙士杰先生洋名为罗伯特． 孙，宣称自己在1988年发明了24点游戏，并且设
立名为“Suntex .”的公司，注册了“24”这个商标，抢注
了“”这个域名，并且据此赚取着高额的利润。
如今这间公司已成为一个跨国公司，在全美、欧洲、甚至非洲都开设了办事
处，主办着全美算24 点锦标赛，有索尼、麦当劳等大公司的赞助，有高级官员
的捧场，一副算24的牌卖20 美金„„
那这个游戏真的就是由孙士杰先生所发明的吗？根据2006 年12 月24 日钱
江晚报网 络版的报导，他们并不认为如此，因为算24点游戏早在1950年就在中国
内地流传开来，并且有许多 专门研究２４点的相关著作。并非是如孙士杰先生所
称是由他在1988年所发明，至多是由他带往美国 发扬光大。
早在1979年1月由毛之价、徐方瞿先生整理定稿，由少年儿童出版社出版的
《 有趣的数学》中的「看谁算得快」也是谈论这类24游戏，其基本原理、构思
等，都和孙士杰先生所发明 的一样，而且除了四则运算以外，还可使用乘方、开
方甚至对数等运算方法的。
那24点游戏到底是由谁所创，至今已不可考。

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附件二：
快速看牌术：

（一）、数字小的比较好算：
数字小的牌组动辄几百种解法，而数字大的牌组，却常常有无解的状况。
（二）、数字中有２４的因子的比较好算：
２４的因子有１、２、３、４、６、１２、２４。除了１、１２、２４外，如
果牌组中有这些因子，会比较好算。
（三）、 有重复数字的不是很好算就是很难算：
四个数字中有重复数字的，不是很好算就是很难算。
（四）、有连续数字的不是很好算就是很难算：
四个数字若为连续数字，除了８、９、１０、１１这组无解外，其他均有解，
但若只有三个连续数字，则有可能无解。
（五）、 三张相同的牌加上Q：
任意三张数字一样的牌加上Ｑ，一定能解。
（六）、 四张相同的牌：
四张３、四张４、四张５、四张６、四张１２，有解；其他无解。
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附件三：
为什么是算２４点？为什么不是算２３点、算２５点。为什么用扑克 牌算
24点而不是别的工具？

根据维基百科http:i24，数字２４有下列的特性。
（一）、合数：其因子有：1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24。
（二）、第6个高合成数。
（三）、每个 因子减一（包括本身，不包括1，2）得到的数都是质数，24是具有
这样的性质的最大的数。
(四)、是4的阶乘。24=4*3*2*1
其实并不是一定非得要２４点才能算，理论上高 兴算几点就能算几点，但以
算２４点变化性最多。主要是根据上面特性的第一点跟第三点，在第一点中， ２
４的因子除了本身外，其他均为扑克牌１３个号码之一，能够拥有最多的变化。
以乘除法而言 ，２４可以是２×１２、３×８、４×６三种组合，如果是算２３
点，就少了乘除法的变换，如果是算２ ５点，也只有５×５一种.因此以算２４
点拥有最多变化性，且２４的每个因子减去１后得到的数都是质 数，大部分也均
在扑克牌１３点数之中，也增加了加减法的变化，因此以算２４点最为有趣。
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附件四：
扑克牌算24点的１８２０种组合数的由来

１８２０是怎么算出来的？其列式如下：
52张牌（去掉大小王后）选4,共有(52*51 *50*49)(4*3*2*1)=270725种
组合, 但是这270725种组合中,包括了点数一样但花色不一样的组合, 如红桃
A234算一种,但黑桃 A234也算一种,但实际上它们的算法是一样的,比如
(1+2+3)*4=24等,
如果除去这种因素的话,又共有多少种组合呢?可以这样计算:
4张牌数字都相同的组合共 有13种(AAAA,2222,3333......QQQQ,KKKK)
3张数字相同另1张不同的组合共有[(13*12)(2*1)]*2=156种
2张数字相同另2张不同的组合共有[(13*12*11)(3*2*1)]*3=858种
2张数字相同另2张也相同的组合共有(1312)(2*1)=78种
4张牌数字都不相同的组合共有(13*12*11*10)(4*3*2*1)=715种
即13+156+858+78+715=1820种
老爸说这是组合和组合数，一般高中数学才教，但是小学初中竞赛会遇到。
(1)组合：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从 n
个不同元素中取出m个元素的一个组合．
从组合的定义知，如果两个组合中的元素完 全相同，不管元素的顺序
如何，都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不
同的组合．
(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数。
4312111
c
13
c
13
c
3
 c
13
(c
1
c)cc
21131

=715+286*3+78*3+13=1820
4
c
13
代表四张牌四个号码都不同，是从13 个号码中去挑的。
31
c
13
c
3
：代表四张牌三个号码不同，其中一个号码重复 ，如1233。
21
c
13
(c
1
c
21< br>)
：代表四张牌有两种号码，其中两个号码重复，如2233。
11
c
13
c
1
：代表四张牌号码都一样，如1111。
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