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2020年12月2日发(作者：喻绍武)

再次研究烙饼问题
一、缘起
读四年级的时候，我们学习了烙饼问 题，我们班周哲旭发现了计算烙饼最节省时间
的规律就是烙饼的张数乘每次烙饼的时间。我将他的方法在 一次次的实例中得到了验
证，但是课堂上谁也无法解释其中原由。可是有一天，我把他的发现运用于这道 题时：
一只锅每次最多烙三张饼，两面都要烙，每面4分钟，至少多少分钟才能烙好3张饼?
却 发现这一规律失灵了。我突发奇想：一只锅每次最多烙三张饼，两面都要烙，每面4
分钟，计算烙饼最节 省的时间有没有规律可寻呢？一只锅每次最多烙四张饼、五张饼、
六张饼，甚至更多饼呢？如果有，又是 怎样的呢？我心中不禁涌起了一股揭开其中奥秘
的冲动。带着这股冲劲和疑问，我开始了烙饼问题的再次 研究。
二、研究思路
1、以一只锅每次最多烙三张饼（两面都要烙）为例，探究烙饼的方法 及最节省烙
饼的时间与哪些因素有关。
2、以一只锅每次最多烙三张饼（两面都要烙）为例， 探究烙饼最节省的时间有没
有规律可寻呢？
3、以一只锅每次最多烙四张 饼、五张饼（两面都要烙）为例，探究烙饼的方法及
其规律。
4、比较一只锅每次最多烙三张 饼、四张饼、五张饼（两面都要烙）方法，探究烙
饼的方法及其规律的共性特点。
5、通过观察、比较、归纳烙
n
张饼的规律。
三、研究过程
1、 探究以一只锅每次最多烙三张饼（两面都要烙）的方法及最节省烙饼的时间与
哪些因素有关。
在研究一只锅每次最多烙三张饼（两面都要烙），最省烙饼的时间方法时，我举了
大量的例子(每烙一面 3分钟)，用画图的方式记录了烙饼的过程及烙饼的时间如下表：

通过3次的烙饼，发现饼 的个数比3个少，烙饼的最省时间都是6分钟。与一个锅
一次最多烙2个饼相比较，它们的方法是差不多 的，表面上看这三次的烙饼时间相同，
但烙一个饼时锅空出的空间多，烙三个饼时锅的空间都已充分的利 用，而烙三个饼的时
间只跟烙一个饼的时间相同，因此我觉得烙一个饼的锅空得最多，实质上它无形中在 浪
费时间。












在研究烙4张5张饼时，我惊奇地发现每种情况都出现空锅 现象，最有意思是烙
四张饼的方法中前两种方法4次（每烙熟一面算一次）一共都空出了4个饼的位置， 所
用时间相同。而第三种3次一共只空出了一个饼的位置，因此第三次的时间最节省。烙
5张饼 时，4次一共都空出了2个饼的位置，所用时间也相同。看来只有充分利用锅的
空间，最好是每次尽量满 锅烙，才能保证时间最节省。

在研究烙6、7、8张饼时，我充分利用锅的空 间又一次地看到了烙3张、4张、5
张饼的情况。如图所示，我的脑海中突然冒出了一个新的猜想：一只 锅每次最多烙三张
饼（两面都要烙）的最节省的时间，它们可能都是转换成烙3张、4张、5张的方法来
解决。为了进一步证实自己的想法，我又举了大量的例子，如下图：

不难看出以上的过程整理成如下图：
饼的张数

9
10
11
12
13
14
15
16
17
烙饼的过程
3张 +3张 +3张
3张 +3张 +4张
3张 +3张 +5张
3张 +3张 +3张 +3张
3张 +3张 +3张 +4张
3张 +3张 +3张 +5张
3张 +3张 +3张 +3张 +3张
3张 +3张 +3张 +3张 +4张
3张 +3张 +3张 +3张 + 5张
烙的次数
6
7
8
8
9
10
10
11
12
烙饼的时间
18
21
24
24
27
30
30
33
34
通过以上的举例验证，我发现了一只锅每次最多烙三张饼（两面都要烙） 的最节省
烙饼的时间，都可以拆分成烙3张、4张、5张来解决。最节省时间烙饼的拆分方法是：
拆分成几个3张、或几个3张和一个4张、或几个3张和一个5张。正当我为自己的发
现而窃喜时，新 的疑问在我的脑海里时时萦绕：1、随着饼的张数的增加，我们总能出
现空锅的现象，无论怎么调整烙饼 的次序却不能确保每次满锅烙。2、随着饼的张数的
增加，拆分法还是不能很方便地帮助我们解决问题。 我们是否能找到像周哲旭的发现一

样，快速地解决呢？
于是，我采用了倒推法又开始了新的研究尝试，如：17张饼总共要烙12次， 每
次满锅烙3 个面，一共能烙36个面，实际上17张饼只有34个面，所以就空出了位置。
为了便与观察我将研究的 过程制成了表格如下：
饼的张数
9
10
11
12
13
14
15
16
17
烙的次数
6
7
8
8
9
10
10
11
12
饼面的总数
18
20
22
24
26
28
30
32
36
能烙的总数
18
21
24
24
27
30
30
33
36
由从这张表格中不难发现，烙饼是否能满锅由饼的总面数决定的，当面的 总数是3
的倍数的时候，就能满锅烙，时间最节省。当面的总数不是3的倍数的时候，就会出现
空锅，既浪费了空间，也就相当于浪费时间。而烙饼的次数刚好等于总面数除以3 （遇
到总面数除以3的结果有余数就把商加1，因为又要烙一次），
烙饼的时间=烙饼的次数×每次烙饼的时间。
也就是：烙饼的时间=总面数÷3×每次烙饼的时间
（遇到总面数除以3的结果有余数就先把商加1再算。）
又因为总面数=饼的张数×2，
所以烙饼的的时间=饼的张数×2÷3×每次烙饼的时间
四、研究发现
通过以上 的举例研究与验证，我们发现了一只锅每次最多烙三张饼（两面都要烙）
的最节省烙饼的时间的研究方法 与每次最多烙两张饼相似，影响最节省烙饼的时间的因
素有三个：一只锅每次最多烙饼张数、每次烙饼的 时间及烙饼的张数。一只锅每次最多
烙三张饼（两面都要烙）的最节省烙饼的时间也是有规律可循的。
即烙饼的时间=饼的张数×2÷3×每次烙饼的时间
（1张、2张饼的时间同3个相同，因此 1张、2张饼除外。如遇到总面数除以3

的结果有余数就先把商要1再算）。
2、按照研究一只锅每次最多烙三张饼（两面都要烙）研究过程，我又开始了一只
锅每次最多烙 四张饼、五张饼（两面都要烙）烙饼的方法及其规律探索历程。发现了它
们的烙饼方法与其中的规律都是 差不多的。烙饼时都要考虑充分锅要尽量放满，影响最
省烙饼的时间的因素都是三个因素：一只锅每次最 多烙饼张数、每次烙饼的时间及烙饼
的张数。它们最节省烙饼的时间都是有规律可循的。它们的规律是：
一只锅每次最多烙四张饼（两面都要烙）最节省的烙饼的时间是：
烙饼的时间=饼的张数×2÷4×每次烙饼的时间
（1张、2张、3张饼的时间同4张相同， 因此1张、2张、3张饼除外。如遇到总
面数除以3的结果有余数有余数就先把商要1再算）。
一只锅每次最多烙五张饼（两面都要烙）最节省的烙饼的时间是：
烙饼的时间=饼的张数×2÷5×每次烙饼的时间
（1张、2张、3张4张饼的时间同5张相 同，因此1张、2张、3张4张饼除外。
如遇总面数除以3的结果有余数到有余数就先把商要1再算）。
研究到这儿，我又困惑了，在一只锅每次最多烙2张饼（两面都要烙）时，周哲旭
发现的规律是 烙饼的时间=饼的张数×每次烙饼的时间，是如此的简洁，难道我还没有
发现更简洁的。我重新审视了他 的发现，不难发现从他的规律中可以得出影响烙饼最省
时间的因素只有两个。分别是：饼的张数、每次烙 饼的时间。显然这是有问题的，那为
什么在一次次的验证中，又都没出错呢？我百思不得其解，运用刚刚 发现的规律重新总
结。即一只锅每次最多烙2张饼（两面都要烙）最节省的烙饼的时间是：
烙 饼的时间=饼的张数×2÷2×每次烙饼的时间。此时，我的眼前豁然开朗，从这
道算式中我找到了心中 的疑惑，原来这里先乘2再除2对于计算结果并不影响，却大大
的影响了我们对规律的解释。原先周哲旭 发现的规律本身的面目就是烙饼的时间=饼的
张数×2÷2×每次烙饼的时间。
经历一次次的 研究，我发现随着饼的张数的增加，锅每次放的个数的增加，其实规
律也是一样的。如果用a表示饼的张 数、m表示锅每次放的个数、n表示每次烙饼的时
间。那么最省烙饼的时间的规律可以表示如下：
烙饼的时间就是：a×2÷m×n（a< m,烙饼的时间与m个相同, 如遇到总面数除以
m 的结果有余数就先把a×2÷m的商加1再算）我为我的发现感到兴奋,并用它进行了
一次次的验证，发 现都是正确合理的。
五、研究感想
通过这次研究，让我感受到了研究数学乐趣，感受到它的 的魅力。没想到了从一
个小小的疑问入手，只要我们勤于思考、敢于大胆猜测、勇于动手实践探究，数学 总能
让我们收获意想不道的惊喜！

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