债务转移-磨鑫山

排列组合公式排列组合计算公式高中数学
排列组合公式排列组合计算公式

公式P就是指排列,从N个元素取R个进行排列。
公式C就是指组合,从N个元素取R个,不进行排列。
N-元素的总个数
R参与选择的元素个数
！-阶乘 ,如 9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1
从N倒数r个,表达式应该为n*(n-1)*(n-2)、、(n-r+1);
因为从n到(n-r+1)个数为n－(n-r+1)＝r
举例:
Q1: 有从1到9共计9个号码球,请问,可以组成多少个三位数？
A1: 123与213就是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的,既属
于“排列P”计算范畴。
上问题中,任何一个号码只能用一次,显然不会出现988,997之
类的组合, 我们可以这么瞧,百 位数有9种可能,十位数则应该有9-1种可能,
个位数则应该只有9-1-1种可能,最终共有9*8 *7个三位数。计算公式＝P(3,9)
＝9*8*7,(从9倒数3个的乘积)
Q2: 有从1到9共计9个号码球,请问,如果三个一组,代表“三国联
盟”,可以组合成多少个“三国联盟” ？
A2: 213组合与312组合,代表同一个组合,只要有三个号码球在一起
即 可。即不要求顺序的,属于“组合C”计算范畴。
上问题中,将所有的包括排列数的 个数去除掉属于重复的个数
即为最终组合数C(3,9)=9*8*73*2*1
排列、组合的概念与公式典型例题分析


例1 设有3名学生与4个 课外小组.(1)每名学生都只参加一个课外小组;(2)每名学生
都只参加一个课外小组,而且每个小 组至多有一名学生参加.各有多少种不同方法？

排列组合公式排列组合计算公式高中数学
解(1)由于每名学生都 可以参加4个课外小组中的任何一个,而不限制每个课外小组
的人数,因此共有

种不同方法.

(2)由于每名学生都只参加一个课外小组,而且每个小组至多有一名学生参加,因此
共有

种不同方法.

点评 由于要让3名学生逐个选择课外小组,故两问都用乘法原理进行计算.

例2 排成一行,其中

不排第一,

不排第二,

不排第三,

不排第四的不同排法共有多少
种？

解 依题意,符合要求的排法可分为第一个排

、

、

中的某一个,共3类,每一类中不同
排法可采用画“树图”的方式逐一排出:

∴ 符合题意的不同排法共有9种.

点评 按照分“类”的思路 ,本题应用了加法原理.为把握不同排法的规律,“树图”就
是一种具有直观形象的有效做法,也就是解 决计数问题的一种数学模型.

例３ 判断下列问题就是排列问题还就是组合问题？并计算出结果.

(1)高三年级学生会有 11人:①每两人互通一封信,共通了多少封信？②每两人互握了一次
手,共握了多少次手？

(2)高二年级数学课外小组共10人:①从中选一名正组长与一名副组长,共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛,有多少种不同的选法？

(3)有2,3,5 ,7,11,13,17,19八个质数:①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的
商？②从中 任取两个求它的积,可以得到多少个不同的积？

(4)有8盆花:①从中选出2盆分别 给甲乙两人每人一盆,有多少种不同的选法？②从中选出
2盆放在教室有多少种不同的选法？

分析 (1)①由于每人互通一封信,甲给乙的信与乙给甲的信就是不同的两封信,所以与顺
序有关就是排列;②由于每两人互握一次手,甲与乙握手,乙与甲握手就是同一次握手,与顺序无
关, 所以就是组合问题.其她类似分析.

(1)①就是排列问题,共用了

封信;②就是组合问题,共需握手

(次).

(2)①就是排列问题,共有

(种)不同的选法;②就是组合问题,共有

种不同的选法.

(3)①就是排列问题,共有

种不同的商;②就是组合问题,共有

种不同的积.

(4)①就是排列问题,共有

种不同的选法;②就是组合问题,共有

种不同的选法.

例４ 证明

.

证明 左式



右式.

排列组合公式排列组合计算公式高中数学
∴ 等式成立.

点评 这就是一个排列数等式的证明问题,选用阶乘之商的形式,并利用阶乘的性质

,可使
变形过程得以简化.

例5 化简

.

解法一 原式




解法二 原式


点评 解法一选用了组合数公式的 阶乘形式,并利用阶乘的性质;解法二选用了组合数
的两个性质,都使变形过程得以简化.

例6 解方程:(1)

;(2)

.

解 (1)原方程




解得

.


(2)原方程可变为

∵ ,

,

∴ 原方程可化为

.

即 ,解得


第六章 排列组合、二项式定理

一、考纲要求
1、掌握加法原理及乘法原理,并能用这两个原理分析解决一些简单的问题、
2、理解排列、 组合的意义,掌握排列数、组合数的计算公式与组合数的性质,
并能用它们解决一些简单的问题、
3、掌握二项式定理与二项式系数的性质,并能用它们计算与论证一些简单问题、
二、知识结构

排列组合公式排列组合计算公式高中数学
三、知识点、能力点提示
(一)加法原理乘法原理
说明 加法原理、乘法原理就是学习排列组合的基础,掌握此两原理为处理排
列、组合中有关问题提供了理论根据、
例1 5位高中毕业生,准备报考3所高等院校,每人报且只报一所,不同的报
名方法共有多少种?
解: 5个学生中每人都可以在3所高等院校中任选一所报名,因而每个学生
都有3种不同的 报名方法,根据乘法原理,得到不同报名方法总共有
3×3×3×3×3=3
5
(种)
(二)排列、排列数公式
说明 排列、排列数公式及解排列的应用题,在中学代数中较为独特,它研 究
的对象以及研 究问题的方法都 与前面掌握的知识不同,内容抽象,解题方法比
较灵活,历届高考主要考查排列的应用题,都就是选择题 或填空题考查、
例2 由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数,其中小于50 000
的 偶数共有( )
A、60个 B、48个 C、36
个 D、24个
解 因为要求就是偶数,个位数只能就是2或4的排法有P
1
2
;小于50 000的五位数,万位只能就是1、3或2、4中剩下的一个的排法有P
1
3
;在首末两位 数排
定后,中间3个位数的排法有P
3
3
,得P
1
3
P
3
3
P
1
2
＝36(个)
由此可知此题应选C、
例3 将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格 里,每格填一个
数字,则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种?
解: 将数字1填入第2方格,则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填
法有3种,即214 3,314 2,4123;同样将数字1填入第3方格,也对应着3种填法;
将数字1填入第4方格,也对应3种填 法,因此共有填法为
3P
1
3
=9(种)、
例四 例五可能有问题,等思考
三)组合、组合数公式、组合数的两个性质

排列组合公式排列组合计算公式高中数学
说明 历届高考均有这方面的题目出现,主要考查排列组合的应用题,且基本
上都就是由选择题或填空题考查、
例4 从4台甲型与5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少有甲型与乙型
电视机各1台, 则不同的取法共有( )
A、140种 B、84种 C、70种 D、35种
解: 抽出的3台电视机中甲型1台乙型2台的取法有C
1
4
·C
2
5
种;甲型2台乙
型1台的取法有C
2
4
· C
1
5
种
根据加法原理可得总的取法有
C
2
4
·C
2
5
+C
2
4
·C
1
5=40+30=70(种 )
可知此题应选C、
例5 甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程,甲公司承包3项,乙公司承包1 项,
丙、丁公司各承包2项,问共有多少种承包方式?
解: 甲公司从8项工程中选出3项工程的方式 C
3
8
种;
乙公司从甲公司挑选后余下的5项工程中选出1项工程的方式有C
1
5
种;
丙公司从甲乙两公司挑选后余下的4项工程中选出2项工程的方式有C
2
4
种 ;
丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的2项工程中选出2项工程的方式有
C
2
2
种、
根据乘法原理可得承包方式的种数有C
3
8×C
1
5
×C
2
4
×C
2
2
=

×1=1680(种)、
(四)二项式定理、二项展开式的性质
说明 二项式定理揭示了二项式的正整数次幂的展开法则,在数学中它就是常
用的基础知识 ,从1985年至 1998年历届高考均有这方面的题目出现,主要考查
二项展开式中通项公式等,题型主要为选择题或填 空题、
例6 在(x-

)
10
的展开式中,x
6
的系数就是( )
A、-27C
6
10
B、27C
4
10
C、
-9C
6
10
D、9C
4
10

解 设(x-

)
10
的展开式中第γ+1项含x
6
,
因T
γ+ 1
=C
γ
10
x
10-γ
(-

)
γ
,10-γ=6,γ=4

排列组合公式排列组合计算公式高中数学
于就是展开式中第5项含x 6,第5项系数就是C
4
10
(-

)
4
=9C
4
10

故此题应选D、
例7 (x-1)-(x-1)
2
＋(x-1)
3
-(x-1 )+(x-1)
５
的展开式中的x
２
的系数等
于


解:此题可视为首项为x-1,公比为-(x-1)的等比数列的前5项的与,则其与为
在( x-1)
6
中含x
3
的项就是C
3
6
x
3
(-1)
3
=-20x
3
,因此展开式中x
2
的系 数就是-2 0、
(五)综合例题赏析
2
例8 若(2x+

)
4
=a
0
+a
1
x+a
2
x +a
3
x
3
+a
4
x
4
,则(a
0
+a
2
+a
4
)
2
-(a
1
+ a
3
)
2
的值为( )
A、1 B、
-1 C、0 D、2
解:A、
例9 2名医生与4名护士被分配到2所学校为学生体检,每校分配1名医生与
2 名护士,不同的分配方法共有( )
A、6种 B、12种 C、18
种 D、24种
解 分医生的方法有P
2
2
＝2种,分护士方法有C
2
4
=6种,所以共有6×2＝12种不
同的分配方法。
应选B、
例10 从4台甲型与5台乙型电视机中任意取出3台,其 中至少要有甲型与
乙型电视机各1台,则不同取法共有( )、
A、140种 B、84种 C、70
种 D、35种
解:取出的3台电视机中,甲型电视机分为恰有一台与恰有二台两种情形、
∵C
2< br>4
·+C
2
5
·C
1
4
=5×6+10×4 =70、
∴应选C、
例11 某小组共有10名学生,其中女生3名,现选举2 名代表,至少有1名女
生当选的不同选法有( )

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A、27种 B、48种 C、21种 D、24种
解:分恰有1名女生与恰有2名女生代表两类:
∵C
1
3
·C
1
7+C
2
3
=3×7+3=24,
∴应选D、
例12 由数学0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的 六位数,其中个位数字小于
十位数字的共有( )、
A、210个 B、300个
C、464个 D、600个
解:先考虑可组成无限制条件的六位数有多少个?应有P
1
5
·P 5
5
=600个、
由对称性,个位数小于十位数的六位数与个位数大于十位数的六位数各占一半、
∴有

×600=300个符合题设的六位数、
应选B、
例13 以一个正方体的顶点为顶点的 四面体共有( )、
A、70个 B、64个
C、58个 D、52个
解:如图,正方体有8个顶点,任取4个的组合数为C
4
8
=70个、 其中共面四点分3类:构成侧面的有6组;构成垂直底面的对角面的有2组;形如
(ADB
1
C
1
)的有4组、
∴能形成四面体的有70-6-2-4=58(组)
应选C、
例14 如果把两条异面直线瞧成“一对”,那么六棱 锥的棱所在的12条直线
中,异面直线共有( )、
A、12对 B、24对
C、36对 D、48对
解:设正六棱锥为O—ABCDEF、

排列组合公式排列组合计算公式高中数学
任取一侧棱OA(C
16
)则OA与BC、CD、DE、EF均形成异面直线对、
∴共有C
1
6×4=24对异面直线、
应选B、
例15 正六边形的中心与顶点共7个点,以其中三个点 为顶点的三角形
共 个(以数字作答)、
解:7点中任取3个则有C
3
7
=35组、
其中三点共线的有3组(正六边形有3条直径)、
∴三角形个数为35-3=32个、
例16 设含有10个元素的集合的全部子集数为S,其中由3个元素组成的子集
数为T,则

的值为 。
解 10个元素的集合的全部子集数有: < br>S＝C
0
10
+C
1
10
+C
2
1 0
+C
3
10
+C
4
10
+C
5
10
+C
6
10
+C
7
10
+C
8
10
+C
9
10
+C
1
0
10
=2 10=1024
其中,含3个元素的子集数有T=C
3
10
=120
故

=


例17 例17

在50件产品 n 中有4件就是次品,从中任意抽
了5件 ,至少有3件就是次品的抽法共
种(用数字作答)、
解:“至少3件次品”即“有3件次品”或“有4件次品”、
∴C
3
4·C
2
46
+C
4
4
·C
1
46=4186(种)
例18 有甲、乙、丙三项任务,甲需2人承担,乙、 丙各需1人承担,从10人
中选派4人承担这三项任务,不同的选法共有( )、
A、1260种 B、2025种
C、2520种 D、5040种
解:先从10人中选2个承担任务甲(C
2
10
)
再从剩余8人中选1人承担任务乙(C
1
8)

排列组合公式排列组合计算公式高中数学
又从剩余7人中选1人承担任务乙(C
1
7)
∴有C
2
10
·C
1
8C
1
7=2520(种)、
应选C、
例19 集合｛1,2,3｝子集总共有( )、
A、7个 B、8个 C、6个 D、5个
解 三个元素的集合的子集中,不含任何元素的子集有一个,由一个元素组成
的子集数
C
1
3
,由二个元素组成的子集数C
2
3
。
由3个元素组成的子集数C
3
3
。由加法原理可得集合子集的总个数就是 < br>C
1
3
+C
2
3
+C
3
3
+1=3+3+1+1＝8
故此题应选B、
例20 假设在200件产品中有3件就是次品,现在从中任意抽取5件,其中至
少有两件次品的抽法有( )、
A、C
2
3
C
3
197
种 B、C
2
3
C
3
197
+C
3
3
C
2
197

C、C
5
200
-C
5
197
D、C
5
200
-C
1
3
C
4
197

解:5件中恰有二件为次品的抽 法为C
2
3
C
3
197
,
5件中恰三件为次品的抽法为C
3
3
C
2
197
,
∴至少有两件次品的抽法为C
2
3
C
3
197
+C
3
3
C
2
197
、
应选B、
例21 两排座位,第一排有3个座位,第二排有5个座位,若8名学生入座(每
人一个座位),则不同座法的总 数就是( )、
A、C
5
8
C
3
8
B、P
1
2
C
5
8
C
3
8
C、P
5
8
P
3
8