勇往直前的意思-儿保科

公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。
公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。
N-元素的总个数
R参与选择的元素个数
！-阶乘 ，如
9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1

从N倒数r个，表达式应该为n*（n-1)*(n-2)..(n-r+1);

因为从n到（n-r+1)个数为n－
（n-r+1)＝r

举例：

Q1: 有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个
三位数

A1: 123和213是两个不同的排列数。即对排列顺序有要
求的，既属于“排列P”计算范畴。

上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现
988,997之类的组合， 我们可以这么看，百 位数有9种可能，十位
数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，最终共
有9*8*7个三位数。计算公式＝P（3，9)＝9*8*7,(从9倒数3个的
乘积）

Q2: 有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代
表“三国联盟”，可以组 合成多少个“三国联盟”

A2: 213组合和312组合，代表同一个组合，只要 有三个
号码球在一起即可。即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。

上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于
重复的个数 即为最终组合数C(3,9)=9*8*73*2*1

排列、组合的概念和公式典型例题分析


例1 设有3名学生和4个 课外小组．（1）每名学生都只参加一个课外小组；（2）
每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小 组至多有一名学生参加．各有多少种不同方
法

解（1）由于每名学生都 可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课
外小组的人数，因此共有

种不同方法．

（2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参
加，因此共有

种不同方法．

点评 由于要让3名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算．

例2 排成一行，其中

不排第一，

不排第二，

不排第三，

不排第四的不同排法共
有多少种

解 依题意，符合要求的排法可分为第一个排

、

、

中的某一个，共3类，每一类
中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出：

∴ 符合题意的不同排法共有9种．

点评 按照分“类”的思路 ，本题应用了加法原理．为把握不同排法的规律，“树
图”是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计 数问题的一种数学模型．

例３ 判断下列问题是排列问题还是组合问题并计算出结果．

（1）高三年级学生会有11人 ：①每两人互通一封信，共通了多少封信②每两人互握
了一次手，共握了多少次手

（2）高二年级数学课外小组共10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少
种不同的选法②从 中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法

（3）有2，3，5，7，11，13 ，17，19八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以
有多少种不同的商②从中任取两个求它的积， 可以得到多少个不同的积

（4）有8盆花：①从中选出2盆分别给甲乙 两人每人一盆，有多少种不同的选法②
从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法

分析 （1）①由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所
以与顺序有关是排列 ；②由于每两人互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，
与顺序无关，所以是组合问题．其 他类似分析．

（1）①是排列问题，共用了

封信；②是组合问题，共需握手

（次）．

（2）①是排列问题，共有

（种）不同的选法；②是组合问题，共有

种不同的选法．

（3）①是排列问题，共有

种不同的商；②是组合问题，共有

种不同的积．

（4）①是排列问题，共有

种不同的选法；②是组合问题，共有

种不同的选法．

例４ 证明

．

证明 左式



右式．

∴ 等式成立．

点评 这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质

，
可使变形过程得以简化．

例5 化简

．

解法一 原式


解法二 原式


点评 解法一选用了组合数公式的阶乘形式，并利用阶乘的性质；解法二选用了组合数的两个性质，都使变形过程得以简化．

例6 解方程：（1）

；（2）

．

解 （1）原方程



解得

．

（2）原方程可变为

∵ ，

，

∴ 原方程可化为

．

即 ，解得


第六章 排列组合、二项式定理

一、考纲要求
1.掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析解决一些简单
的问题.
2.理 解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合
数的性质，并能用它们解决一些简单的问题 .
3.掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一
些简单问题.

二、知识结构
三、知识点、能力点提示
(一)加法原理乘法原理
说明 加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原
理为处理排 列、组合中有关问题提供了理论根据.
例1 5位高中毕业生，准备报考3所高等院校，每人报且只报一
所，不同的报名方法共有多少种
解： 5个学生中每人都可以在3所高等院校中任选一所报名，
因而每个学生都有3种不同的 报名方法，根据乘法原理，得到不同
报名方法总共有
3×3×3×3×3=3(种)
5

(二)排列、排列数公式
说明 排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中较为
独特，它研 究的对象以及研 究问题的方法都 和前面掌握的知识不
同，内容抽象，解题方法比较灵活，历届高考主要考查排列的应用
题，都是 选择题或填空题考查.
例2 由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中
小于50 000的 偶数共有( )
个 个 个 个
解 因为要求是偶数，个位数只能是2或4的排法有P
2
；小于50
1
000的 五位数，万位只能是1、3或2、4中剩下的一个的排法有P
3
;
3131
在 首末两位数排定后，中间3个位数的排法有P
3
，得P
3
P
3
P
2
＝36(个)
1

由此可知此题应选C.
例3 将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，
每格填一个数字，则 每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有
多少种
解： 将数字1填入第2方格，则每个方格的标号与所填的数字
均不相同的填法有3种，即214 3，314 2，4123；同样将数字1填
入第3方格，也对应着3种填法；将数字1填入第4方格，也对应
3种填法，因此共有填法为
3P
3
=9(种).
1