发廊管理-亘古绵长

高中数学排列组合相关公式
排列组合

排列定义:从n个不同的元 素中,取r个不重复的元素,按次序排列,称为从n个中
取r个的无重排列。排列的全体组成的集合用 P(n,r)表示。
组合定义:从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集,而不考虑其元素
的顺序,称为从n个中取r个的无重组合。组合的个数用C(n,r)表示。
一、排列组合部分就是中学数学中的难点之一,原因在于


(1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型,需要
较强的抽象思维能力;
(2)限制条件有时比较隐晦,需要我们对问题中的关键性词(特别
就是逻辑关联词与量词)准确理解;
(3)计算手段简单,与旧知识联系少,但选择正确合理的计算方案
时需要的思维量较大;
(4)计算方案就是否正确,往往不可用直观方法来检验,要求我们
搞清概念、原理,并具 有较强的分析能力。
二、两个基本计数原理及应用

1、分类计数原理(加法原理)
完成一件事,有
n
类办法,在第1类办法中 有
m
1
种不同的方法,在第2
类办法中有
m
2
种不 同的方法,…,在第
n
类办法中有
m
n
种不同的方
法,那么 完成这件事共有:
Nm
1
m
2
Lm
n

种不同的方法.
2、分步计数原理(乘法原理)
完成一件事,需要分成
n
个步骤,做第1步有
m
1
种不同的方法,做第2

高中 数学排列组合相关公式
步有
m
2
种不同的方法,…,做第
n
步有
m
n
种不同的方法,那么完成这
件事共有:
Nm
1
m
2
Lm
n

种不同的方法.
3、分类计数原理分步计数原理区别
分类计数原理方法相互独立,任何一种方法都可以独立地完成这件
事。
分步计数原理各步相互依存,每步中的方法完成事件的一个阶段,
不能完成整个事件.
解决排列组合综合性问题的一般过程如下:
1、认真审题弄清要做什么事
2、怎样 做才能完成所要做的事,即采取分步还就是分类,或就是分步
与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3、确定每一步或每一类就是排列问题(有序)还就是组合(无序)问题,
元素总数就是多少及 取出多少个元素、
4、解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉,因此必须掌握一些常
用的解题策略
具体情况分析
一、特殊元素与特殊位置优先策略
例1、由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数、
解:由于末位与首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素
占了这两个位置、
1
先排末位共有
C
3

1
然后排首位共有
C
4

131
3
CAC
最后排其它位置共有
A
4

443

113
C
3
A
4
288
由分步计数原理得
C
4

位置分析法与元素分析法就是解决排列组合问题最常 用也就是最基本的方法,若以元素分析为
练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种 在中间,
再处理主,需先安排特殊元素,再处理其它元素、若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求 ,
其它位置。若有多个约束条件,往往就是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件
也不种在两端的花盆里,问有多少不同的种法？
二、相邻元素捆绑策略
例2、 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的
排法、
解:可先将甲乙两元 素捆绑成整体并瞧成一个复合元素,同时丙丁也
瞧成一个复合元素,再与其它元素进行排列,同时对相邻 元素内
部进行自排。由分步计数原理可得共有
A
5
5
A
2< br>2
A
2
2
480
种不同的排法
甲乙
丙丁

高中数学排列组合相关公式

要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题、即将需要相邻的元素合并
为一个元素, 再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列、
练习题:某人射击8枪,命中4枪,4枪命中恰好有3枪连在一起的情
形的不同种数为 20
三、不相邻问题插空策略
例3、一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目 不能
连续出场,则节目的出场顺序有多少种？
解:分两步进行第一步排2个相声与3个独唱共 有
A
5
5
种,第二步将4
4
舞蹈插入第一步排好的6个元素 中间包含首尾两个空位共有种
A
6
4
不同的方法,由分步计数原理,节目的不 同顺序共有
A
5
5
A
6
种

元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间与两
练习题:某班新年联欢 会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增
加了两个新节目、如果将这两个新节目插入原节目单中,且 两个新
节目不相邻,那么不同插法的种数为 30
四、定序问题倍缩空位插入策略
例4、7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法
解:(倍缩法)对于某几个元 素顺序一定的排列问题,可先把这几个元
素与其她元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几
个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数就
3
是:
A
7
7
A
3

4
(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共 有
A
7
种方
4
法,其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法,则共有
A
7
种
方法。
思考:可以先让甲乙丙就坐不?
(插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插
入共有

方法

定序问题可以用倍缩法,还可转化为占位插
练习题:10人身高各 不相等,排成前后排,每排5人,要求从左至右身
高逐渐增加,共有多少排法？
5

C
10

五、重排问题求幂策略
例5、把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法
解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法、把
第二名实习生分配到车 间也有7种分依此类推,由分步计数原理
共有
7
6
种不同的排法

允许重复的排列问题的特点就是以元素为研究对象,元素不受位置的约束,可以逐一安排各个元素
的位置,一般地
练习题:
n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为
m
n
种

1．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加

高中数学排 列组合相关公式
了两个新节目、如果将这两个节目插入原节目单中,那么不同插法
的种数为 42
2、 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,她们到各自的一层下电梯,
下电梯的方法
7
8

六、环排问题线排策略
例6、 8人围桌而坐,共有多少种坐法?
解:围桌而坐与坐成一排的不同点在于,坐成圆形没有首尾之分,所 以
固定一人
A
4
4
并从此位置把圆形展成直线其余7人共有(8-1 )！种
排法即
7
！
C
D
E
F
G
H
B
A
AB
C
DEFGHA


一般地 ,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法、如果从n个不同元素中取出m个元素作圆
练习题 :6颗颜色不同的钻石,可穿成几种钻石圈 120
1
m
形排列共有
A
n

七、多排问题直排策略
n
例7、8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有
多少排法
解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排、
1
个特殊元素有
A
2
种,再排后4个位置上的特殊元素丙有
A
44
种,215
其余的5人在5个位置上任意排列有
A
5
种,则共有
A< br>5
4
A
4
A
5
种
前 排
后 排

一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研
练习题:有 两排座位,前排11个座位,后排12个座位,现安排2人就座
规定前排中间的3个座位不能坐,并且这 2人不左右相邻,
那么不同排法的种数就是 346
八、排列组合混合问题先选后排策略
例8、有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,
共有多少不同的装法、
解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有
C
5
2
种方法、再把 4
个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有
A
4
4
种方法 ,
4
根据分步计数原理装球的方法共有
C
5
2
A
4



解决排列组合混合问题,先选后排就是最基本的指导思想、此法与相邻 元素捆绑策略相似

高中数学排列组合相关公式
练习题:一个班有6名战士,其 中正副班长各1人现从中选4人完成四
种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 192 种
九、小集团问题先整体后局部策略
例9、用1,2 ,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹
1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多 少个？
解:把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有
A
2
2
种排法,再排
小集团内部共有
A
22
2
A
2
种排法 ,由分步计数原理共有
A
222
2
A
2
A
2
种
排法、

小集团排列问题中,先整体后局部,再结合其它策略进行处理。
练习题:
１、计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画,
排成一行陈列,要求同一 品种的必须连在一起,并且水彩
画不在两端,那么共有陈 列方式的种数为
A
254
2
A
5
A
4

2、 5男生与５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有
A
255
2
A
5
A
5
种
十、元素相同问题隔板策略
例10、有10个运动员名额,分给7个班,每班至少一个,有多少种分
配方案？
解:因为10个名额没有差别,把它们排成一排。相邻名额之间形成
９个空隙。在９个空档中选６个位置 插个隔板,可把名额分成
７份,对应地分给７个班级,每一种插板方法对应一种分法共
有
C
6
9
种分法。
一二三四五六七
班班班班班班班


练习题
将n个相同的元素分成
:
m份(n,m为正整数),每份 至少一个元素,可以用m-1块隔板,插入n
1．
个元素排成一排的
10个相同的球 装
n-1个空隙中
5个盒中
,所有分法数为
,每盒至少一有多少装法？
C
m1
n1


C
4
9

2 、
xyzw100
求这个方程组的自然数解的组数
C
3
103

十一、正难则反总体淘汰策略
例11、从0 ,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数,使其与为
不小于10的偶数,不同的
取法有多少种？
1524

高中数学排列组合相关公式
解:这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰
法。这十个数字中有5个偶数5个奇数 ,所取的三个数含有3个
12
偶数的取法有
C
5
3
,只含有 1个偶数的取法有
C
5
C
5
,与为偶数的取法
123
C
5
C
5
共有
C
5
。再淘汰与小于10的偶数 共9种,符合条件的取法
123
C
5
C
5
9
共有
C
5

有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较 简捷,可以先求出
练习题:我们班里有43位同学副班长、团支部书
它的反面,再从整体中淘汰 、
,从中任抽5人,正、
记至少有一人在内的
抽法有多少种?
十二、平均分组问题除法策略
例12、 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？
解: 分三步取书得
C
6< br>2
C
4
2
C
2
2
种方法,但这里出现重复计 数的现象,不
妨记6本书为ABCDEF,若第一步取AB,第二步取CD,第三步取
EF该分 法记为(AB,CD,EF),则
C
6
2
C
4
2
C
2
2
中还有
(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF, AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)
共有
A
3
3
种 取法 ,而这些分法仅就是(AB,CD,EF)一种分法,故
3
共有
C
6< br>2
C
4
2
C
2
2
A
3
种分 法。

n
平均分成的组,不管它们的顺序如何,都就是一种情况,所以分组后要一定 要除以
A
n
n
(为均分
练习题:
的组数)避免重复计数。
1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分
542
法？(
C
13
)
C
8
4
C
4
A
2
2、10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能
分在同一组,有多少种不同的
分组方法 (1540)
3、某校高二年级共有六个班级,现从外地转 入4名学生,要安排到
该年级的两个班级且每班安
22
A
2
90
) 排2名,则不同的安排方案种数为______ (
C
4
2
C
2
2
A
6
十三、 合理分类与分步策略
例13、在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,
现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法
解:10演员中有5人只会唱歌,2人只会跳舞3人为全能演员。选
上唱歌人员为标准进行研究
只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有
C
3
2
C
3
2
种,只会唱的5
112
C
3
C
4
种, 只会唱的5人中只有2人中只有1人选上唱歌人员
C
5
人选上唱歌人员有
C< br>5
2
C
5
2
种,由分类计数原理共有

高中数学排列组合相关公式
112
C
3
C
4
C
5
2
C
5
2
种。
C
3
2
C
3
2
C
5

解含有约束条件的排列组合问题,可按元素的性质进行分类,按事件发生的连续过程分步,做到
练习题:
标准明确。分步层次清楚,不重不漏,分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。
1、从4名男生与3名女生中选出4人参加某个座 谈会,若这4人
中必须既有男生又有女生,则不同的选法共有34
2、 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2号船最多乘2人,3
号船只能乘1人,她们任选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只
船, 这3人共有多少乘船方法、 (27)
本题还有如下分类标准:
*以3个全能演员就是否选上唱歌人员为标准
*以3个全能演员就是否选上跳舞人员为标准
*以只会跳舞的2人就是否选上跳舞人员为标准
都可经得到正确结果
十四、构造模型策略
例14、 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只 路灯,现要关掉
其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端
的2盏,求满足条 件的关灯方法有多少种？
解:把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不
亮的灯有
C
5
3
种

一些不易理解的排列组合题如果能 转化为非常熟悉的模型,如占位填空模型,排队模型,装盒模
练习题:
,
某排共有10 个座位,若4人就坐,每人左右两边都有空位,那
型等可使问题直观解决
么不同的坐法有多少种？(120)
十五、实际操作穷举策略
例15、设有编号1 ,2,3,4,5的五个球与编号1,2,3,4,5的五个盒子,
现将5个球投入这五个盒子内,要求 每个盒子放一个球,并且恰好
有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法
解:从5个球中 取出2个与盒子对号有
C
5
2
种还剩下3球3盒序号不
能对应,利用 实际操作法,如果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒3
号球装4号盒时,则4,5号球有只有1种 装法,同理3号球装5
号盒时,4,5号球有也只有1种装法,由分步计数原理有
2C
5
2
种

3号盒 4号盒 5号盒

对于条件比较复杂的排列组合问题,不易用公式进行运算,往往利用穷举法或画出树状图会收 到
练习题:
意想不到的结果
1、同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后 每人各拿一张别
人的贺年卡,则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？ (9)
534

高中数学排列组合相关公式
2、给图中区域涂色,要求相邻区 域不同色,现有4种可选颜色,则不
同的着色方法有 72种
1
3
2
5
4
十六、 分解与合成策略
例16、 30030能被多少个不同的偶数整除
分析:先把30030分解成质因数的乘积形式30030=2×3×5
× 7 ×11×13
依题意可知偶因数必先取2,再从其余5个因数中任取
若干个组成乘积,
12345
所有的偶因数为:
C
5

C
5
C
5
C
5
C
5
练习:正方体的8个顶点可连成多少 对异面直线
解:我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四体共有体共
C
8
4
1258
,每个四面体有
3对异面直线,正方体中的8个顶点可连成
3 58174
对异
分解与合成策略就是排列组合问题的一种最基本的解题策略,把一个复杂问 题分解成几个小问
面直线
题逐一解决,然后依据问题分解后的结构,用分类计数原理与分步计 数原理将问题合成,从而得
十七、化归策略
到问题的答案 ,每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略
例17、 25人排成5×5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也
不在同一列,不同的选法有多少种？ < br>解:将这个问题退化成9人排成3×3方阵,现从中选3人,要求3
人不在同一行也不在同一列, 有多少选法、这样每行必有1
人从其中的一行中选取1人后,把这人所在的行列都划掉,如
11 1
此继续下去、从3×3方队中选3人的方法有
C
3
C
2
C
1
种。再从

5×5方阵选出3×3方阵便可解决问题、从5×5方队中选取
3行3列有
C
5
3
C
5
3
选法所以从5× 5方阵选不在同一行也不在同
111
C
2
C
1
选法。 一列的3人有
C
5
3
C
5
3
C
3

处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简
练习题:某城市的街区由12个全等的 矩形区组成其中实线表示马路,
要的问题,通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法,
从而 进下一步解决原来的问题
从A走到B的最短路径有多少种？(
C
7
3
35
)

B
A

高中数学排列组合相关公式
十八、数字排序问题查字典策略
例18.由0,1,2,3,4,5六个数字可以组成多少个 没有重复的比324105
大的数？
解:
N2A
5
5
 2A
4
4
A
3
3
A
2
2
A
1
1
297


数字排序问题可用查字典法,查字典的法
依次求出其符合要求
练习:用
应从高位向低位查
0,1,2,3,4,5,
这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些
的个数,根据分类计数原理求出其总数。
数字从小到大排列起来,第71个数就是 3140
十九、树图策略
例19.< br>3
人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过
5
次传求
后, 球仍回到甲的手中,则不同的传球方式有______
N10


对于条件比较复杂的排列组合问题,不易用
练习:
公式进行运算
分别编有
,树图会收到意想不到的结果
1,2,3,4,5号码的人与椅,其中
i
号人 不坐
i
号椅

(
i1,2,3,4,5
)的不同坐法有多少种？
N44

二十、复杂分类问题表格策略
例20.有红、黄、兰色的球各5只,分别标有A、B、C、D 、E五个字
母,现从中取5只,要求各字母均有且三色齐备,则共有多少种
不同的取法
解:
红 1 1 1 2 2 3

黄 1 2 3 1 2 1
一些复杂的分类选取题,要满足的条件比较多, 无从入手,经常出现重复遗
二十一:住店法策略
兰 3

,则分类明确
2 1 2 1 1
漏的情况,用表格法,能保证题中须满足的条件, 能达到好的效

解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素,

:一类元素可以重复
取法
C
5
C
4

C
5
C
4

C
5
C
4

C
5
2
C
3
C
5
C
3

C
5
C
2

另一类不能重复,把不能重复的元素瞧作“客”,能重复的元素瞧作

“店”,再利用乘法原理直接求解、
例21、七名学生争夺五项冠军,每项冠军只能由一人获得,获得冠军
的可能的种数有 、
分析:因同一学生可以同时夺得n项冠军,故学生可重复排列,将七名
学生瞧作7家“店” ,五项冠军瞧作5名“客”,每个“客”有7种住
宿法,由乘法原理得7
5
种、
二项式定理
定义
:一般地,对于任意正整数
n
,上面的关系式也成立,即有

ab

n
0n1n1n2n22knkknn
C
n
aC
n
abC
n
abLC
n
abL C
n
b

nN
*


注:
(1 )公式左边叫做二项式,右边叫做

ab

的二项展开式
(2)定理中的
a,b
仅仅就是一种符号,它可以就是任意的数或式子什么的,只要就是两项相
加的
n
次幂,就能用二项式定理展开
n
公式特征
:

高中数学排列组合相关公式
（1） 项数:共有
n1
项
（2） 指数规律:
① 各项的次数都等于二项式的系数
n
(关于
a
与
b
的齐次多项式)
② 字母
a
按降幂排列,次数由< br>n
递减到0;字母
b
按升幂排列,次数由0递增到
n

knkk
（3） 二项式展开式的通项:
T
k1
C
n
ab
,
k0,1,2,L,n

012kn
k
（4） 二项式系数:依次为
C
n
,C
n
,C
n
,LC
n
L,C
n
。这里
C< br>n
(
k0,1,2,L,n
)称为二项式
系数
1

例1
求

2x

的展开式
x

例2
(1)求
(12x)
7
的展开式的第4项的系数与第4项的二项式系数
6
1

3
(2)

x

的展开式中
x
的系数与中间项
x

例3
求
(xa)
12
的展开式中的倒数第4项
9