排列组合公式全
青山不老教学设计-土地的誓言教案
排列组合
排列定义???从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序排列，称
为
从n个中取r个的无重排列。排列的全体组成的集合用P(n,r)表示。排列的
个数用P(
n,r)表示。当r=n时称为全排列。一般不说可重即无重。可重排列
的相应记号为P(n,r),P
(n,r)。
组合定义从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元
素
的顺序，称为从n个中取r个的无重组合。
组合的全体组成的集合用C(n,r)表示，组合的个数用C(n,r)表示，对应于可
重组合
有记号C(n,r),C(n,r)。
一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于
(1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽
象思维能力；
(2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关
联词和量词)准确理解；
(3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要
的思维量较大；
(4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、
原理，并具有较强的分析能力。
二、两个基本计数原理及应用
(1)加法原理和分类计数法
1．加法原理
2．加法原理的集合形式
3．分类的要求
每一类中的每一种
方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体
方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任
何一种方法，都属于某一类(即
分类不漏)
(2)乘法原理和分步计数法
1．乘法原理
2．合理分步的要求
任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n
步才能
完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的
完成此事的
方法也不同
例1：用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的六位数
集合A为数字不重复的九位数的集合，S（A）=9！
集合B为数字不重复的六位数的集合。
把集合A分为子集的集合，规则为前6位数相同的元素构成一个子集。显然各
子集没有共同元素
。每个子集元素的个数，等于剩余的3个数的全排列，即3！
这时集合B的元素与A的子集存在一一对应关系，则
S（A）=S（B）*3！
S（B）=9！3！
这就是我们用以前的方法求出的P（9，6）
例2：从编号为1-9的队员中选6人组成一个队，问有多少种选法？
设不同选法构成的集合
为C，集合B为数字不重复的六位数的集合。把集合B
分为子集的集合，规则为全部由相同数字组成的数
组成一个子集，则每个子集
都是某6个数的全排列，即每个子集有6！个元素。这时集合C的元素与B的
子集存在一一对应关系，则
S（B）=S（C）*6！
S（C）=9！3！6！
这就是我们用以前的方法求出的C（9，6）
以上都是简单的例子，似乎不用弄得
这么复杂。但是集合的观念才是排列组合
公式的来源，也是对公式更深刻的认识。大家可能没有意识到，
在我们平时数
物品的数量时，说1，2，3，4，5，一共有5个，这时我们就是在把物品的集
合与集合（1，2，3，4，5）建立一一对应的关系，正是因为物品数量与集合
（1，2，3，4，5
）的元素个数相等，所以我们才说物品共有5个。我写这篇
文章的目的是把这些潜在的思路变得清晰，从
而能用它解决更复杂的问题。
例3：9个人坐成一圈，问不同坐法有多少种？
9个人排成一排，不同排法有9！种，对应集合为前面的集合A
9个人坐成一圈的不同之处在
于，没有起点和终点之分。设集合D为坐成一圈
的坐法的集合。以任何人为起点，把圈展开成直线，在集
合A中都对应不同元
素，但在集合D中相当于同一种坐法，所以集合D中每个元素对应集合A中9
个元素，所以S（D）=9！9
我在另一篇帖子中说的方法是先固定一个人，再排其他人
，结果为8！。这个
方法实际上是找到了一种集合A与集合D之间的对应关系。用集合的思路解决
问题的关键就是寻找集合之间的对应关系，使一个集合的子集与另一个集合的
元素形成一一对应的关系
。
例4：用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的九位数，但要求1排<
br>在2前面，求符合要求的九位数的个数。
集合A为9个数的全排列，把集合A分为两个集合B、
C，集合B中1排在2
前面，集合C中1排在2后面。则S（B）+S（C）=S（A）
在集
合B、C之间建立以下对应关系：集合B中任一元素1和2位置对调形成
的数字，对应集
合C中相同数字。则这个对应关系为一一对应。因此S（B）
=S（C）=9！2
以同样的思路可解出下题：
从1、2、3…，9这九个数中选出3个不同的数作为函数y=a
x*x+bx+c的系数，
且要求a>b>c，问这样的函数共有多少个？
例5：M个球装入N个盒子的不同装法，盒子按顺序排列。
这题我们已经讨论过了，我再用更形象的方法说说。
假设我们把M个球用细线连成一排，再用
N-1把刀去砍断细线，就可以把M
个球按顺序分为N组。则M个球装入N个盒子的每一种装法都对应一
种砍线的
方法。而砍线的方法等于M个球与N-1把刀的排列方式（如两把刀排在一起，
就表示
相应的盒子里球数为0）。所以方法总数为C（M+N-1，N-1）
例6：7人坐成一排
照像,其中甲、乙、丙三人的顺序不能改变且不相邻,则共
有________排法.
解：甲
、乙、丙三人把其他四人分为四部分，设四部分人数分别为X1，X2，
X3，X4，其
中X1，X4》=0，X2，X3》0
先把其余4人看作一样，则不同排法为方程
X1+X2+X3+X4=4的解的个数，令X2=Y2+1，X3=Y3+1
化为求X1+
Y2+Y3+X4=2的非负整数解的个数，这与把2个球装入4个盒子的方
法一一对应，个数为C（5
，3）=10
由于其余四人是不同的人，所以以上每种排法都对应4个人的全排列4！，所
以
不同排法共有C（5，3）*4！=240种。