凯斯特纳-教师问卷调查表

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排列组合公式
久了不用竟然忘了



排列定义 从个不同地元素中，取个不重复地元素，按次序排列，称为从个中取个地无 重
排列.排列地全体组成地集合用 ()表示.排列地个数用()表示.当时称为全排列.一般不说可重
即无重.可重排列地相应记号为 ()().

组合定义 从个不同元素中取个不重复地元素组成一个子集，而不考虑其元素地顺序，称为
从个中取个地无重组合.
组合地全体组成地集合用()表示，组合地个数用()表示，对应于可重组合
有记号()().

一、排列组合部分是中学数学中地难点之一，原因在于

()从千差万别地实际问题中抽象出几种特定地数学模型，需要较强地抽象思维能力；
()限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中地关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准
确理解；
()计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理地计算方案时需要地思维量较大；
()计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有
较 强地分析能力.

二、两个基本计数原理及应用

()加法原理和分类计数法

．加法原理

．加法原理地集合形式

．分类地要求

每一类中地每一种 方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中地具体方法，互不相
同(即分类不重)；完成此任务地任 何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)

()乘法原理和分步计数法

．乘法原理

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．合理分步地要求

任何一步地一种方法都不能完成此任务，必须且只须 连续完成这步才能完成此任务；各
步计数相互独立；只要有一步中所采取地方法不同，则对应地完成此事 地方法也不同

例：用、、、、、、、、组成数字不重复地六位数
集合为数字不重复地九位数地集合，（）！
集合为数字不重复地六位数地集合.
把集合分为子集地集合，规则为前位数相同地元素构成一个子集.显然各子集没有共同元素.
每个子集 元素地个数，等于剩余地个数地全排列，即！
这时集合地元素与地子集存在一一对应关系，则
（）（）*！
（）！！
这就是我们用以前地方法求出地（，）

例：从编号为地队员中选人组成一个队，问有多少种选法？
设不同选法构成地集合为，集合 为数字不重复地六位数地集合.把集合分为子集地集合，规
则为全部由相同数字组成地数组成一个子集， 则每个子集都是某个数地全排列，即每个子集
有！个元素.这时集合地元素与地子集存在一一对应关系， 则
（）（）*！
（）！！！
这就是我们用以前地方法求出地（，）

以上都是简单地例子，似乎不用弄得这么复杂.但是集合地观念才是排列组合公式地来源，< br>也是对公式更深刻地认识.大家可能没有意识到，在我们平时数物品地数 量时，说，，，，，一
共有个，这时我们就是在把物品地集合与集合（，，，，）建立一一对应地关系，正是因为物品
数量与集 合（， ，，，）地元素个数相等，所以我们才说物品共有个.我写这篇文章地目地是
把这些潜在地思路 变得清晰，从而能用它解决更复杂地问题.

例：个人坐成一圈，问不同坐法有多少种？
个人排成一排，不同排法有！种，对应集合为前面地集合
个人坐成一圈地不同之处在于，没 有起点和终点之分.设集合为坐成一圈地坐法地集合.以任
何人为起点，把圈展开成直线，在集合中都对 应不同元素，但在集合中相当于同一种坐法，
所以集合中每个元素对应集合中个元素，所以（）！

我在另一篇帖子中说地方法是先固定一个人，再排其他人，结果为！.这个方法实际上是找< br>到了一种集合与集合之间地对应关系.用集合地思路解决问题地关键就是寻找集合之间地对
应关系 ，使一个集合地子集与另一个集合地元素形成一一对应地关系.

例：用、、、、、、、、组成数字不重复地九位数，但要求排在前面，求符合要求地九位数地个数.
集合为个数地全排列，把集合分为两个集合、，集合中排在前面，集合中排在后面.则（）（）
（）
在集合、之间建立以下对应关系：集合中任一元素和位置对调形成地数字，对应集合中相同数字.则这个对应关系为一一对应.因此（）（）！

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以同样地思路可解出下题：
从、、…，这九 个数中选出个不同地数作为函数*地系数，且要求>>，问这样地函数共有多
少个？

例：个球装入个盒子地不同装法，盒子按顺序排列.
这题我们已经讨论过了，我再用更形象地方法说说.
假设我们把个球用细线连成一排，再用 把刀去砍断细线，就可以把个球按顺序分为组.则个
球装入个盒子地每一种装法都对应一种砍线地方法. 而 砍线地方法等于个球与把刀地排列
方式（如两把刀排在一起，就表示相应地盒子里球数为）.所以方 法总数为（，）

例：人坐成一排照像, 其中甲、乙、丙三人地顺序不能改变且不相邻, 则共有排法.
解：甲、乙、丙三人把其他四人分为四部分，设四部分人数分别为，，，，其中，》，，》
先把其余人看作一样，则不同排法为方程
地解地个数，令，
化为求地非负整数解地个数，这与把个球装入个盒子地方法一一对应，个数为（，）
由于其 余四人是不同地人，所以以上每种排法都对应个人地全排列！，所以不同排法共有（，）
*！种.



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