奥数：排列组合的基本理论和公式
补水化妆品-首都国际经贸学院
一、排列组合的基本理论和公式，排列与元素的顺序有
关，组合与顺序无关。如231与
213是两个排列，2＋3＋1
的和与2＋1＋3的和是一个组合。
(一)两个基本原理是排列和组合的基础 ：
(1)加法原理：做一件事，完成它可以有n类
办法，在第
一类办法中有m
1
种不同的方法，在第二类办法中有m
2
种不
同的方法，……，在第n类办法中有m
n
种不同的方法，那么
完成这件事
共有N＝m
1
＋m
2
＋m
3
＋…＋m
n
种
不同方法。
(2)乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做
第一步有m
1
种不同的方法，做第二步有m
2
种不同的方
法，……，做第n步有m
n
种不同的方法，那么完成这件事共
有N＝m
1
×m
2
×m
3
×…×m
n
种不同的方法。
这里要注意区分两个原理，要做一件
事，完成它若是有
n类办法，是分类问题，第一类中的方法都是独立的，因此
用加法原理；做一
件事，需要分n个步骤，步与步之间是连
续的，只有将分成的若干个互相联系的步骤，依次相继完成，<
br>这件事才算完成，因此用乘法原理。
这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的，因此
也将两个原理区分开来。
C
5
3
表示从5个元素中取出3个，总共有多少种不同的取
法。这是组合的运算。例如：从5个人中任选三个人去参加
比赛，共有几种选法这就是
从5个元素中取出3个的组合运
算。可表示为
C
5
3
。其计算过程是
C
5
3
=5![3!×(5-3)!]
叹号代表阶乘，5!=5×4×3×2×1=120， 3!=3×2×1=6，（5-3）！
=2！=2×1=2，所以
C
5
3
=5![3!×(5-3)!]=120(
6×2)=10 针对上面
例子，就是从5个人中任选三个人去参加比赛，共有10几
种选法。
排列组合公式：
公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。
公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。
n—元素的总个数；r—参与选择的元素个数。
！—阶乘，如
9！＝9×8×7×6×5×4×3×2×1。
举例：
Q1:
有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多
少个三位数
A1:
123和213是两个不同的排列数。即对排列顺序
有要求的，既属于“排列P”计算范畴。
上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现
988,997之类的组合，我们可以这么看，百位
数有9种可能，
十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可
能，最终共有
9×8×7个三位数。计算公式＝
P
9
3
＝9×8×7。
Q2:
有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一
组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”
A2: 213组合和312组合，代表同一个组合，只要有
三个号码球在一起即可。
即不要求顺序的，属于“组合C”计
算范畴。
上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属
于重复
的个数即为最终组合数
C
3
3！×6！=9×8×73×2×1
9
= 9！