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1.有一队士兵,排成了一个方阵,最外层一周共有240人,问
这个方阵共有多少人?


2.某校少先队员可以排成一个四层空心方阵如果最外层
每边有20个学生,问 这个空心方阵最里边一周有多少个学生?
这个四层空心方阵共有多少个学生?


3.六一儿童节前夕,在校园雕塑的周围,用204盆鲜花围
成了一个每边三层的方阵求最 外面一层每边有鲜花多少盆?


4.三年级(1)班的学生参加体操表演,排 成队形正好是由
每7个人为一边的6个三角形组成的一个正六边形,求正六边
形一周共有多少名 学生?三(1)班参加体操表演的共有多少人?


5.现有松树和柏树以隔株 相间的种法,种成9行9列的方
阵,问这个方阵最外层有松树和柏树各多少棵?方阵中共有松
树 柏树各多少棵?
三年级奥数知识要点系列之方阵练习答案

(1)(240÷4)-1=59(人) 59×59=3481(人)

(2)(20-2×3-1)×4=42(个) (20-40×4×4=256(个)

(3)最外层每边人数=总数÷4÷层数+层数

204÷4÷3+3=20(盆)

(4)7×6-6=36(人) 7×12-6×2-5=67(人)

(5)最外层松柏各是:(9-1)×4÷2=16(棵)

共有松柏树是:(9×9+1)÷2=41(棵) 81-41=40(棵)

答:柏树41棵,松树40棵,或松树41棵,柏树40棵。
士兵排队,横着排叫行,竖着排叫列 ,若行数与列数都相等,
正好排成一个正方形,这就是一个方队,这种方队也叫做方阵
(亦叫乘 方问题)。

方阵的基本特点:

(1)方阵不论哪一层,每边上的人(或物)数量都相同,每向

里一层,每边上的 人数就少2。

(2)每边人(或物)数和四周人(或物)的关系;

四周人(或物)数=[每边人(或物)数-1]×4

每边人(或物)数=四周人(或物)数÷4+1

(3)中实方阵的总人数(或物)=每边人(或物)数×每边人
(或物)数

( 4)空心方阵的总人(或物)数=（最外层每边人(或物)数－
空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4

例1.三年级一班参加运动会入场式,排成一个方阵,最外
层一周的人数为20 人,问方阵最外层每边的人数是多少?这
个方阵共有多少人?

分析:根据四周人数与每边人数的关系可知:

每边人数=四周人数÷4+1,可以求出 这个方阵最外层每
边的人数,那么这个方阵队列的总人数就可以求了。

解:(1)方阵最外层每边的人数:20÷4+1=5+1=6(人)

(2)整个方阵共有学生人数:6×6=36(人)

答:方阵最外层每边的人数是6人,这个方阵共有36人。

例2.明明用围棋子摆成一 个三层空心方阵,如果最外层
每边有围棋子15个,明明摆这个方阵最里层一周共有多少棋
子? 摆这个三层空心方阵共用了多少个棋子?

分析:(1)方阵每向里面一层,每边的个数 就减少2个,知道
最外面一层,每边放15个,可以求出最里层每边的个数,就可
以求出最里层 一周放棋子的总数。

(2)根据最外层每边放棋子的个数减去这个空心方
阵的层数,再乘以层数,再乘以4,计算出这个空心方阵共用棋
子多少个。

解:(1)最里层一周棋子的个数是:(15-2-2-1)×4=40(个)

(2)这个空心方阵共用的棋子数是:(15-3)×3×

4=144(个)

答:这个方阵最里层一周有40个棋子;摆这个空心方阵共
用144个棋子。

例3.玲玲家的花园中,有一个如下图那样,由四个大小相
同的小等边三角形组成的一个大 三角形花坛,玲玲在这个花
坛上种了若干棵鸡冠花,已知每个小三角形每边上种鸡冠花5
棵,问 大三角形的一周有鸡冠花多少棵?玲玲一共种鸡冠花多
少棵?

分析:(1)由 图可知大三角形的一条边是由两条小三角形
的边组成的,而在大三角形一条边的中间那棵花,是两条小三
角形的边所共用的,所以如果小三角形每边种花5棵,那么大
三角形每边上种花的棵数就是5× 2-1=9棵了,又由于大三角
形三个顶点上的3棵花,都是大三角形的两条边所共用的,所
以 大三角形一周种花的棵数等于大三角形三边上种花棵数
的和减去三个顶点上重复计算的3棵花,即:9× 3-3=24,就是
大三角形一周种花的棵数。

(2)三角形各条边上种 鸡冠花棵数的总和,等于里边
小三角形一周上种花的棵数,加上大三角形一周种花的棵数,

再减去重复计算的3棵花(因为里边小三角形的三个顶点上
的三棵花,也分别是外边大三角形 每条边上的一棵花)。

解:(1)大三角形一周上种花的棵数是:(5×2-1)×
3-3=24(棵)

(2)小三角形一周种鸡冠花的棵数是:(5-1)×3=12(棵)

(3)玲玲一共种鸡冠花的棵数是:24+12-3=33(棵)

答:大三角形一周种鸡冠花24棵;玲玲一共种鸡冠花33
棵。

例4.五年级 学生分成两队参加学校广播操比赛,他们排
成甲乙两个方阵,其中甲方阵每边的人数等于8,如果两队合
并,可以另排成一个空心的丙方阵,丙方阵每边的人数比乙方
阵每边的人数多4人,甲方阵的人 数正好填满丙方阵的空心
五年级参加广播操比赛的一共有多少人?

分析:若只 排列一个乙方阵,则多余的人数为(即甲方阵的
人数)8×8=64(人),排列一个实心的丙方阵,不 足的人数是:8×
8=64(人)假设丙方阵为实心方阵,则乙多的人数是:8×8+8×

8=128(人),又根据方阵扩展一层,每边增加2人,丙方阵比乙
方阵的外边多4人,丙 方阵多于乙方阵的层数是4÷2=2(层),
方阵扩展2层,需要增加128人,则方阵最外层的人数是
(128+2×4)÷2=68(人),丙方阵的总人数18×18-8×
8=260(人)

解:(1)假设丙方阵为实心方阵,则方阵最外层的人数是:(8
×8+8×8 +2×4)÷2=68(人)

(2)丙方阵最外层每边的人数是:68÷4+1=18(人)

(3)空心丙方阵的总人数:18×18-8×8=324-64=260(人)

答:五年级参加广播操比赛的一共有260人。

例5.有杨树和柳树以隔株相间的种法 ,种成7行7列的
方阵,问这个方阵最外一层有杨树和柳树各多少棵?方阵中共
有杨树,柳树各 多少棵?

分析:根据已知条件柳树和杨树的种法有如下两种,假设
黑点表示杨 树,白点表示柳树观察图(1)(2)不管是柳树种在方
阵最外层的角上还是杨树种在方阵最外层的角上 ,方阵中除

最里边一层外其它层杨树和柳树都是相同的。因而杨树和柳
树的棵数 相等,即最外层杨,柳树分别为(7-1)×4÷2=12(棵)。

当柳树种在方阵最 外层的角上时,最内层的一棵是柳树;
当杨树种在方阵最外层的角上时,最内层的一棵是杨树,即在方阵中,杨树和柳树总数相差1棵。

解:(1)最外层杨柳树的棵数分别为:(7-1)×4÷2=12(棵)

(2)当杨树种在最外层角上时,杨树比柳树多1棵:
杨树:(7×7+1)÷2=25(棵)
柳树:7×7-25=24(棵)

(3)当柳树种在最外层角上时,柳树比杨树多1树
柳树(7×7+1)÷2=25(棵)
杨树7×7-25=24(棵)

答:在图(1)(2)两种方法中,方阵最外层都有杨树12棵,柳
树12棵,方阵中总共有杨树25棵 ,柳树12棵,方阵中总共有
杨树25棵,柳树24棵,或者有杨树24棵,柳树25棵。