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方阵问题


知识结构

一、 方阵问题
（1） 明确空心方阵和实心方阵的概念及区别.
（2） 每边的个数＝总数÷
41
”；
（3） 每向里一层每边棋子数减少
2
；
（4） 掌握计算层数、每层个数、总个数的方法，及每层个数的变化规律。

例题精讲

【例 1】 小华观看团体操表演，他看到表演队伍中的一个方阵变换成一个正三角形实心队列，他估计 队
伍中人数大概在
30
至
50
人之间，你能告诉他到底有多少人吗？

【考点】方阵问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 方阵总人数的特点:它是两个相同自然数的积，而三角形队列总人数的特点是:总数是从1
开始若干
个连续自然数的和，我们只要在
30～50
的范围内找出同时 满足这两个条件的数就可以得出总人
数．由于队伍可以排成方阵，在
30
至
5 0
人的范围内人数可能是
66=36
人或
77=49
人，又因为
3612348， 49123494
，所以总人数是
36
人．
【答案】
36
人


【巩固】 在一次运动会开幕式上， 有一大一小两个方阵合并变换成一个
10
行
10
列的方阵，求原来两个方阵各有多少人？

【考点】方阵问题 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 根据时间多少和学生具体情况可考虑教给学生平方数的概念，并记住一些简单的平方数.
原来的小方阵 每行或每列人数都不会超过
10
人，大方阵人数应该
10
行
10列的方阵由
100
人组成，
在
50～
可取
64
或
81
，运用枚举法，可求出满足条件的是：大方阵有
64
人，小方阵有36
100
之间，
人．
【答案】大方阵有
64
人，小方阵有
36
人


【例 2】 同学们做操，小林站在左起第
4
列，右起第
6
列；从前 数前面有
4
个同学，从后数后面有
6
个同
学．每行每列的人数同样多 ，做操的同学一共有多少人？

【考点】方阵问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 带领学生画图求解．
一共有几行？列式：4+6+1=11（行）
一共有几列？列式：4+6-2=8（列）
一共有多少人？列式：11×8=88（人）
【答案】88人


【巩固】 一群小猴排成整齐的队伍做操，长颈鹿站在队伍旁边，一下子看到了他的好朋友金丝猴．长颈 鹿
数了数，金丝猴的左边有
4
只猴，右边也有
4
只猴，前面有
5
只猴，后面也有
5
只猴．小朋友，
你能算出有多少只猴子在做操吗？

【考点】方阵问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 一共有多少行？列式：
5+5+1=11
（行）
一共有多少列？列式：
4+4+1=9
（列）
一共有多少只猴子？
11999
（只）．
【答案】
99
人


【例 3】 四年级一班同学参加了广播操比赛，排成每行
8
人 ，每列
8
人的方阵，问方阵中共有多少学生？
如果去掉一行一列．还剩多少同学？

【考点】方阵问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 可以根据“实心方阵总人数＝每边人数×每边人数”得到
8
行
8< br>列的实心方阵人数为：
88＝64
（人），去掉一行一列后，还剩
7
行
7
列，也可通过同样的方法得出总人数为：
77=49
（人）．
【答案】
8
行
8
列的实心方阵人数为
64
人，去掉一行一 列后，还剩
49
人。

【巩固】 军训的学生进行队列表演，排成了一个< br>5
行
5
列的正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉多少
人？

【考点】方阵问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 一行一列各
5
人，顶点处重复．
5219
人，因为 角上的一个同学被重复数了两次，所以要把
多算的一次减掉．
【答案】
9
人


【例 4】 学生进行队列表演，排成了一个正方形队列，如果去掉一行一列，要 去掉15人，问这个方阵共
有多少人？

【考点】方阵问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 由上题思路，带领学生进行逆向思维．学生排成 一正方形队列表演，去掉一行一列，去掉了15
人，那我们就要思考每行去掉了几个同学，因为是正方形 队列，所以每行每列人数一样多，但在
数的时候，站在角落的同学被数了两个，那么现在求每行的人数时 就要在15里面多加一个．现
在每行的人数是：（15-1）÷2=7（人），共7×7＝49（人）．
【答案】49人


【巩固】 学生进行队列表演，排成了一个正方形队列 ，如果去掉一行一列，要去掉
13
人，问这个方阵共有
多少人？

【考点】方阵问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 每行：
(131)27
（人），总人数：
7749
（人）．

【答案】
49
人


【例 5】 二年级 舞蹈队为全校做健美操表演，组成一个正方形队列，后来由于表演的需要，又增加一行
一列，增加的人数 正好是19人，那么原来准备参加健美操表演的有多少人？

【考点】方阵问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 可先让学生自己画图实践，从3乘3的方阵变成4乘4的如何进行，掌握画法后再来思考这题．
因增加 的是一行一列，而行、列人数仍应相等，但为什么增加的却是19人，因有
1
人是既在他所在的行，又在他所在的列．若把它减掉，剩下人数恰是原两行或两列的人数，则原来一行或一列
的人 数可求．参加健美操表演的人数可求．
列式：（19-1）÷2＝9 (人)，9×9＝81（人）
【答案】81人


【巩固】 某部队战士 排成方阵行军，另一支队伍共
17
人加入他们的方阵，正好使横竖各增加一排，现共有
多少战士？

【考点】方阵问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 后来的战士加入方阵时，是在原方阵外侧横竖方向各增加一排，那么有一个战士要站在这两排 的
交界处，计算横排竖排的人数时，对他进行了重复计算，也就是说现在每一排实际人数是
＝9
（人），因此可以求出总人数：
99＝
．
81
（人）

171

2
【答案】
81
人


【例 6】 某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为60人．问方阵外层每边有多少人？这个 方阵
共有五年级学生多少人？

【考点】方阵问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 根据四周人数和每边人数的关系可以知：每边人数=四周人数
4 1
，可以求出方阵最外层每边人
数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了．所以方阵最外层每 边人数：
604116
(人)，整

个方阵共有学生人数：
1616256
(人)．
【答案】方阵最外层每边人数
16
人，整个 方阵共有学生人数
256
人．


【巩固】 明在一个正方形的棋 盘里摆棋子，他先把最外层摆满，用了
40
个棋子，求最外层每边有多少棋
子？如果他 要把整个棋盘摆满，还需要多少棋子？

【考点】方阵问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 有前一题基础，可让学生自己思考解决．
首先根据“每边的个数＝ 总数÷
41
”求出每边的棋子数：
4041
，根据＂每向里一层
＝11
（个）
每边棋子数减少
2
＂，求出最外面数第二层中每边各有：112＝9
（个）棋子，利用求实心方阵
总个数的方法就可以求出还需：
99 ＝81
（个）棋子．
【答案】
81
个棋子



【例 7】 新学期开始，手持鲜花的少先队员在一辆彩车四周围成了每边两层的方阵，最外面一层每边
13
人，彩车周围的少先队员有多少人？

【考点】方阵问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 先让学生自己思考，待大家都有结果后，让学生 思考一个问题：相邻两层差几个人．外层
人，内外相差
8
人（教师可举例说明），内层
48840
人，共
88
人．
134448
【答案】
88
人


【巩固】 晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子14个．晶晶摆这个方阵共用围 棋
子多少个？

【考点】方阵问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个．知道最外面一层每边放14个， 就可以求第二层及
第三层每边个数．知道各层每边的个数，就可以求出各层总数．最外边一层棋子个数：

(141)452
(个)，第二层棋子个数：
(1421) 444
(个)，第三层棋子个数：
(14221)436
(个)．摆这 个方阵共用棋子：
524436132
(个)．还可以这样想：中空
方阵总个数 ＝(外层每边个数一层数)×层数×4进行计算，得
(143)34132
(个)．
【答案】
132
个


【例 8】 在一次团体操表演中 ，有一个空心方阵最外层有
64
人，最内层有
32
人，参加团体操表演的共多
少人？

【考点】方阵问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 根据最外层和最内层人数，可以分别求出内外层每边的人数，一个空心方阵， 可以看做从一个最
外层有
64
人的实心方阵中，减去了一个小方阵．外层每边人数：< br>644117
（人）．内层每边
人数：
32419
（人） ，空心方阵人数：
1717(92)(92)240
（人）．
【答案】
240
人


【巩固】 将一个每边
1 6
枚棋子的实心方阵变成一个四层的空心方阵，此空心方阵的最外层每边有多少棋
子？

【考点】方阵问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 棋子总数为：
1616256
（枚），由于空心方阵总个数＝（每边个 数－层数）×层数×
4
，所以，
每边个数＝空心方阵总个数÷层数÷
4
＋层数，得出最外层每边有
20
枚棋子．
【答案】
20
枚棋子


【例 9】 同学们用
64
盆花排出一个两层空心方阵，后来又 决定在外面再增加一层成为三层方阵，还需多
少盆花？

【考点】方阵问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 对于两层方阵，外层比内层多
8
盆，两层共
64
盆，利用和差问题的解法，可以求出外层盆数是
（648）2 36
(盆)，从而得出需增加的盆数，
36844
(盆)．

【答案】
44
盆


【巩固】 有一群学 生排成三层空心方阵，多
9
人，如空心部分增加两层，又少
15
人，问有学生 多少人？

【考点】方阵问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 增加的两层人数为：
915=24
（人），这两层人数之差是
8
人，因此最里层有，
（248）28
（人）
现在的方阵共
5< br>层，那么最外层有
884=40
（人），知道最外层人数及层数就不难求出总人数< br>是
105
人．
【答案】
105
人


【例 10】 有一群学生排成三层空心方阵，多
9
人，如空心部分增加两层，又少< br>15
人，问有学生多少人？

【考点】方阵问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 增加的两层人数为：
915=24
（人），这两层人数之 差是
8
人，因此最里层有，
（248）28
（人）
现在的方阵 共
5
层，那么最外层有
884=40
（人），知道最外层人数及层数就不 难求出总人数
是
105
人．
【答案】
105
人


【巩固】 一队战士排成三层空心方阵多出
16
人，如果空心部分再加一层 又少
28
人，这队战士共有多少人？
如果他们改成实心方阵，每边应有多少人？

【考点】方阵问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 把多余的
16
人放在方阵内部还少
28
人，可见方阵内部 增加一层，需要
1628=44
人，因此向外
三层的每层人数都可以求出．从内向外 每层人数依次是:第一层:
16288=52
(人)，第二
层:
162 828=60
(人)，第三层:
162838=68
(人)，总人数:52606816=196
(人)，因为
196=1414
，所以排成实 心方阵每边有
14
人．
【答案】这队战士共有
196
人，没边有
14
人

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【随练1】 学生进行 队列表演，排成了一个正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉
11
人，问这个方阵共
有多少人？

【考点】方阵问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 由上题思路，带领学生进行逆向思维．学生排成一正方形队列表演，去掉一行一列，去掉了< br>11
人，
那我们就要思考每行去掉了几个同学，因为是正方形队列，所以每行每列人数一 样多，但在数的
时候，站在角落的同学被数了两个，那么现在求每行的人数时就要在
11
里面多加一个．现在每行
的人数是：，共
6636
（人）．
（111）26
（人）
【答案】
36
人


【随练2】 四年级一班同学参加了广播操比赛，排成每行
8
人，每列
8人的方阵，问方阵中共有多少学生？
如果去掉一行一列．还剩多少同学？

【考点】方阵问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 可以 根据“实心方阵总人数＝每边人数×每边人数”得到
8
行
8
列的实心方阵人数 为：（人），
88＝64
去掉一行一列后，还剩
7
行
7
列 ，也可通过同样的方法得出总人数为：
77=49
（人）．
【答案】
8< br>行
8
列的实心方阵人数为
64
人，去掉一行一列后，还剩
49
人。


【随练3】 军训的学生进行队列表演，排成了一个
5< br>行
5
列的正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉多少
人？

【考点】方阵问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 一行 一列各
5
人，顶点处重复．
5219
人，因为角上的一个同学被重复数 了两次，所以要把多
算的一次减掉．

【答案】
9
人


课后作业


【作业1】 一队战士排成三层空心方 阵多出
16
人，如果空心部分再加一层又少
28
人，这队战士共有多少人？< br>如果他们改成实心方阵，每边应有多少人？

【考点】方阵问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 把多余的
16
人放在方阵内部 还少
28
人，可见方阵内部增加一层，需要
1628=44
人，因此向外三 层
的每层人数都可以求出．从内向外每层人数依次是:第一层:
16288=52
(人)，第二
层:
162828=60
(人)，第三层:
1628 38=68
(人)，总人数:
52606816=196
(人)，因为
196=1414
，所以排成实心方阵每边有
14
人．
【答案】这队战士共有
196
人，没边有
14
人


【作业2】 校三年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为
36
人，问方 阵外层每边有多少人？这个方阵共
有三年级学生多少人？

【考点】方阵问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 引导学生找出与前四题区别，因为条件是方阵外层，所以有四个重复计算的人．
（法
1
）方阵外层每边有：，共
1010100
（人）． （364）410
（人）
（法
2
）方阵外层每边有：
36 4110
（人），共
1010100
（人）．
【答案】
100
人


【作业3】 晓晓爱好围棋，他用 棋子在棋盘上摆了一个二层空心方阵，外层每边有14个棋子，你知道他一
共用了多少个棋子吗？

【考点】方阵问题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 如图所示，方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个．知道最外 面一层每边放14个棋子，就
可以求出第二层每边的个数．知道各层每边的个数，就可以求出总数．(141)452
(个)，
(1421)444
(个)，
524496
(个)，一共用了96个棋子．
【答案】
96
个棋子


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