夜久语声绝-浙大分数线

第九讲
队列问题




本节课,我们学习队列问题:
1. 明确空心方阵和实心方阵的概念及区别.
2. 掌握计算层数、每层人数、总人数的方法，及每层人数的变化规律．

1
.同学们排成一行做操， 从前面数小红是第
6
人，从后面数小红是第
11

动手动脑

人，这行一共有多少人
2
.同学们排成一排，李红从左向右排在第
5个，王亮在她右边和她间隔
3
个人，王亮从右向左数排在第
6
个，这一排 一共有多少个同学
【分析】秋季我们已经学过简单的排队问题，今天这节课我们将在排队的基础上，进 一步研究方阵等一
些问题，因此上课前我们对之前所学知识做一个复习．
，这行一共有
16
人．
(1)611116
（人）
，这一排一共有
14
个小朋友．
(2)53614
（人）
，王明和李霞之间有
15
个同学．
(3)328915
（人）



学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列．如果行数与列数都相等，则正好排成一
个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵．方阵包括：空心方阵和实心方阵．而实心方阵的每一层又
可以单独看成一个空心方阵，因此空心方阵的规律对它也是适用的．
方阵的基本特点是：
①方阵不论在哪一层，每边上的人（或物）数量都相同．每向里一层，每边上的人数就少
2< br>，每层
总数就少
8
．
②每边人（或物）数和每层总数的关系：
每层总数=[每边人（或物）数
1
]×
4
； 每边人（或物）数=每层总数
41
．

③实心方阵：总人（或物）数=每边人（或物）数×每边人（或物）数．









例1

队列与方阵
二年级舞蹈队为全校做健美操表演，组成一个正方形队列，后来由于表演的需要， 又增加一行
一列，增加的人数正好是
17
人，那么原来准备参加健美操表演的有多少人

【分析】 因增加的是一行一列，而行、列人数仍应相等，但为什么增加的却 是
17
人，因有
1
人是既在他
所在的行，又在他所在的列．若把它减 掉，剩下人数恰是原两行或两列的人数，则原来一行或
一列的人数可求．参加健美操表演的人数可求．
列式：
(171)21628
(人)，
8864
(人)．


［拓展］ 同学们做操，小林 站在左起第
5
列，右起第
3
列；从前数前面有
4
个
同学，从后数后面有
6
个同学．每行每列的人数同样多，做操的同学
我是小林
一共有多少人

［分析］ 一共有几行列式：
4+6+1=11
（行）
一共有几列列式：
5317
（列）
一共有多少人列式：
11777
（人）

例2 学生进行队列表演，排成了一个正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉
11
人，问这个方阵
共有多少人

【分析】 学生排成一正方形队列表演，去掉一行一列，去掉了
11
人，那 我们
就要思考每行去掉了几个同学，因为是正方形队列，所以每行每列
人数一样多，但在数的时 候，站在角落的同学被数了两个，那么现在求每行的人数时就要在
11
里面多加一个．现在每行 的人数是：，共
6636
（人）．
（111）26
（人）


例3 军训的学生进行队列表演， 排成了一个
10
行
10
列的正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉
多少人

【分析】 一行一列各
10
人，顶点处重复．
102 119
人，因为角上的一个同学被重复数了两次，所以
要把多算的一次减掉．





［拓展］ 四年级一班同学参加了广播操比赛,排成每行< br>8
人,每列
8
人的方阵,问方阵中共有多少学生如
果去掉一行一列．还 剩多少同学

［分析］ 可以根据“实心方阵总人数＝每边人数×每边人数”得到
8
行
8
列的实心
方阵人数为：
88＝
，去掉一行一列后，还 剩
7
行
7
列，也可通过
64
（人）
同样的方法得出 总人数为：
77=49
（人）．


［拓展］
100
名同学排成一个方阵，后来又减去一行一列，问减少了多少人

［分析］
100
名同学排成一个方阵，后来又减去一行一列，剩下的是
9< br>行
9
列的方阵，即剩下
81
人，减

少了
19
人．


例4 某校三年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为
36
人，问方阵外层每边有多 少人这个方阵
共有三年级学生多少人

【分析】 （法
1
）方阵外层每边有：，共
1010100
（人）．
（3 64）410
（人）
（法
2
）方阵外层每边有：
3641 10
（人），共
1010100
（人）．


例5 小明在一个正方形的棋盘里摆棋子，他先把最外层摆满，用了
40
个棋子，
求最外层每 边有多少棋子如果他要把整个棋盘摆满，还需要多少棋子

【分析】 首先根据“每边的个数 ＝总数÷
41
”求出每边的棋子数：
4041＝11
（个），根据＂每 向里一层每边棋子数减少
2
＂，求出最外面数的第二层
中每边各有：
112 ＝9
（个）棋子，利用求实心方阵总个数的方法就可以求出还需：
99＝81
（个） 棋子．


例6 新学期开始，手持鲜花的少先队员在一辆彩车四周围成了每边两层 的方阵，最外面一层每边
13
人，彩车周围的少先队员有多少人









欢迎新同学的
好漂亮的校园
【分析】 外层
134448
人 ，内外相差
8
人（教师可举例说明），内层
48840
人，共
8 8
人．

例7 节日 来临，同学们用盆花在操场上摆了一个空心花坛,最外层的一层每边摆了
12
盆花,一共
3
层,
一共用去多少盆花








【分析】 (法
1
)不论是空心不是实心方阵,每向里一层,每 边的花盆就少
2
个,每层的花盆就少
8
个,因此
可以依次求出每层花 盆的个数．最外层有花盆:
（121）444
(盆),第二层有:
4483 6
(盆),
第三层有:
368=28
(盆),共有:
4436 28=108
(盆)．
(法
2
)将三层花盆分成四块,形成四个相等的长方 形．它们的长是个,宽是
3（123）
个,
(123)327
个,即 每个长方形中包括
27
个花盆,再将结果乘以
4
就得到总数是
108
个,于
是我们可以总结为:空心方阵中点的总个数=(最外层每边的个数- 层数)×层数×
4
．
(法
3
)也可以将这种情况看作从一个大的实心方阵中取出一个小的实心方阵．


例8

【分析】 棋子一共三层,容易知道外层比中层多8
个,内层比中层少
8
个,因此中层
的棋子数就是三层的平均数为
1203=40
(个),可以求出中层每边的棋子
数,向里一层,每边棋子数又减少
2
．中层总数:
1203=40
(个)．中层每边个
数:
40 41=11
(个),内层每边个数:
112=9
(个)．


［拓展］ 将一个每边
16
枚棋子的实心方阵变成一个四层的空心方阵，此空心方阵的 最外层每边有多少棋
子

［分析］ 棋子总数为：
1616256（枚），由于空心方阵总个数＝（每边个数－层数）×层数×
4
，所
以，每边个数 ＝空心方阵总个数÷层数÷
4
＋层数，得出最外层每边有
20
枚棋子．
好难呀！
120
个棋子摆成一个三层空心方阵,最内层每边有多少棋子

例9 同学们用
64
盆花排出一个两层空心方阵 ,后来又决定在外面再增加一
层成为三层方阵,还需多少盆花

【分析】 对于两层 方阵,外层比内层多
8
盆,两层共
64
盆,利用和差问题的解法,
可 以求出外层盆数,从而得出需增加的盆数,
（648）2844
(盆)．






例10 一队战士排成三层空心方阵多出
16
人,如果空心部分再加一层又少
28
人,这队战士共有多少人
如果他们 改成实心方阵,每边应有多少人

【分析】 把多余的
16
人放在方阵内部 还少
28
人,可见方阵内部增加一层,需要
1628=44
人,因此向外< br>三层的每层人数都可以求出．从内向外每层人数依次是:第一层:
16288=52
(人),第二
层:
162828=60
(人),第三层:
1628 38=68
(人),总人数:
52606816=196
(人),
因 为
196=1414
,所以排成实心方阵每边有
14
人．


［拓展］ 有一群学生排成三层空心方阵，多
9
人，如空心部分增加两层， 又少
15
人，问有学生多少人

［分析］ 增加的两层人数为：（人），这 两层人数之差是
8
人，因此最里层有（人），
915=26（268）28< br>现在的方阵共
5
层，那么最外层有
884=40
（人），知道最外 层人数及层数就不难求出总人
数是
105
人．


［拓展］ 在一次团体操表演中，有一个空心方阵最外层有
64
人，最内层有
32
人，参加团体操表演的共
多少人

［分析］ 根据最外 层和最内层人数，可以分别求出内外层每边的人数，一个空心方阵，可以看做从一个
最外层有
6 4
人的实心方阵中，减去了一个小方阵．外层每边人数：
644117
（人）． 内层
每边人数：
32419
（人），空心方阵人数：
1717(9 2)(92)240
（人）．


例11 小华观看团体操表表演 ,他看到表演队伍中的一个方阵变换成一个正三角形实
心队列,他估计队伍中人数大概在
30< br>至
50
人之间,你能告诉他到底有多少人
吗

【分析】 方 阵总人数的特点:它是两个相同自然数的积,而三角形队列总人数的特点是:
总数是从
1
开始若干个连续自然数的和,我们只要在
30～50
的范围内找出同时满足这两个条件
的数就可以得出总人数．由于队伍可以排成方阵,在
30
至
50
人的范围内 人数可能是
66=36
人
或
77=49
人,
又因为
36=1234…8， 49123494
,所以总人数是
36
人．


［拓展］ 在一次运动会开幕式上，有一大一小两个方阵合并变换成一个
10
行
10
列的方阵，求原来两个
方阵各有多少人

［分析］
10< br>行
10
列的方阵由
100
人组成，原来的小方阵每行或每列人数都不会 超过
10
人，大方阵人数
应该在
50～100
之间，可取
6 4
或
81
，运用枚举法，可求出满足条件的是：大方阵有
64
个，小
方阵有
36
人．

试试看

练习九


1． 某部队战士排成方阵行军，另一支队伍共17
人加入他们的方阵，正好使横竖各增加一排，现
有共有多少战士


报告长官，又

【答案】 后来的战士加入方阵时，是在原方阵外侧横竖方向各增加一排，那么有一个战士要站在这两排
的交界处， 计算横排竖排的人数时，对他进行了重复计算，也就是说现在每一排实际人数是
，因此可以求出总人数：
99＝
．
81
（人）

171

2＝9
（人）


2． 学生进行队列表演，排成了一 个正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉
13
人，问这个方阵
共有多少人

【答案】 每行：
(131)27
（人），总人数：
7749
（人）．


3．
三年级学生排成一个方阵进行体操表演，最外一层的人数为
32
人，问方阵外层每边有多少人
这个方阵共有三年级学生多少人


【答案】 每行：
(324)49
（人），总人数：
9981
（人）．


4． 校门口放着一排花，共
10
盆．从左往右数茉莉花摆在第
6
，从右往左数，月季花摆在第
8
， 一
串红花全都摆在了茉莉花和月季花之间．算一算，一串红花一共有多少盆

【答案】 从左往右数茉莉花摆在第
6
，那么从右往左数茉莉花就是第：
10 (61)5
（朵）花，从右往
左数，月季花摆在第
8
，从左往右数月季 花摆在第：
10(81)3
（朵），一串红花全都摆在
了茉莉花和月季花之间， 一串红花一共有：
10532
（盆）．

排球是一位名叫威廉 ·基·摩根的体育干事于
1895
年在美国发明的．半个多世纪后的
1964
年日本
东京奥运会赛场上，男子排球和女子排球比赛同时亮相奥运会赛场．
至
2004
年雅典奥运会，奥运会排球比赛的规模已由最初的
10
支男队和
6
支女队发展到男女各
12
支队伍．迄今为止，共有
7
支男队（苏联、 日本、波兰、美国、巴西、荷兰、南斯拉夫）和
4
支女队
（日本、苏联、中国、古巴） 荣膺过奥运会排球冠军的殊荣．
排球
1905
年进入中国，并在新中国生长 壮大，中国女排在
1984
年中国首次参加奥运会时便一
鸣惊人，夺得桂冠，
20
年后又在雅典重温奥运会冠军梦，将
她们的世界冠军头衔增加到
7
个．








古时候，有个很有才能的人，在朝里做官．
一天，皇帝安排他去养牛．这个人并不觉 得委屈，而是一心一意地放养牛群．他早起晚睡，非常细
心地喂养，所以他养的牛，一个个都体格壮硕， 毛顺色亮．
皇帝见他不计较个人得失，不图名利，把养牛这样的小事都做得如此好，于是便委 以重任，让他担
任宰相．
一下子从一个放牛的变为万人之上、一人之下的重臣．这个 人依然全心为公，为人谦逊，一点儿架
子也没有．他还常常深入民众之中，了解民间疾苦，所以他深得百 姓的爱戴，政绩非凡．
只要坚持自己的信念，做牛倌或做宰相都没什么差别．在小事上认真， 才能在大事上也认真．以积
极的心态、坚强的毅力去应对这种转变而能游刃有余，这样的牛倌必定能成为 宰
相．
1
．坚持自己的信念和原则．
2
．宠辱不惊．
3
．在小事上认真，才能在大事上也认真．

4
．有毅力者终成正果．