白云山旅游-冰菊物语

燕尾定理
例题精讲


燕尾定理：
在三角 形
ABC
中，
AD
，
BE
，
CF
相交于同 一点
O
，那么
S
ABO
:S
ACO
BD:D C
．

A
E
O

上述定理给出了一个新的转化面 积比与线段比的手段，因为
ABO
和
ACO
的形状很象燕子的尾巴，所以 这
个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于 任何
一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.

通过一道例题证明一下燕尾定理：
如右图，
D
是
BC
上任 意一点，请你说明：
S
1
:S
4
S
2
:S
3
BD:DC

A
S
2
E
S
3
B
S
1
S
4
D
C
F
B
D
C

【解析】 三角形
BED
与三角形
CED
同高，分别 以
BD
、
DC
为底，
所以有
S
1
:S< br>4
BD:DC
；三角形
ABE
与三角形
EBD
同高 ，
S
1
:S
2
ED:EA
；三角形
ACE
与三角形
CED
同高，
S
4
:S
3
ED:EA
，所以
S
1
:S
4
S
2
:S
3
；综上可得
S
1
:S
4
S
2
:S
3
BD:DC
.


【例 1】 （2009年第七届希望 杯五年级一试试题）如图，三角形
ABC
的面积是
1
，
E
是
AC
的中点，点
D
在
BC
上，且
BD:DC1: 2
，
AD
与
BE
交于点
F
．则四边形
DF EC
的面积等于 ．
A
A
A
E
B
D
F
C
B
3
3
E
F
3
12
C
D

E
F
B
D
C
【解析】 方法一：连接
CF
，

1

S
△ABF
BD1
S
△ABF
AE

，
 1
,
S
△ACF
DC2S
△CBF
EC
设< br>S
△BDF
1
份，则
S
△DCF
2
份，
S
△ABF
3
份，
S
△AEF
S
△E FC
3
份，如图所标
55
所以
S
DCEF
S
△ABC

< br>1212
11
方法二：连接
DE
，由题目条件可得到
S
△ABD
S
△ABC

，
33
BF
S
△ABD
1
1121

，
S
△ADE
S
△ADC
S
△ABC

，所以
FES
△ADE
1
2233
1111111
S△DEF
S
△DEB
S
△BEC
S
△ABC

，
22323212
2115
而
S
△ CDE
S
△ABC

．所以则四边形
DFEC
的面积 等于．
32312
根据燕尾定理，

【巩固】如图，已知
BDD C
，
EC2AE
，三角形
ABC
的面积是
30
， 求阴影部分面积.
A
E
FF
A
E
F
A
E
B
DCBDCBDC

【解析】 题中条件只有三角形面积给出具体数值，其 他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步
判断这道题不应该通过面积公式求面积. 又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它
进行改造，那么我们需要连一条辅助线， (法一)连接
CF
，因为
BDDC
，
EC2AE
， 三角形
ABC
的面积是30，
11
所以
S
△ABE
S
△ABC
10
，
S
△ABD
S
△ABC
15
．
32
SS
AE1BD
根据燕尾定理，
△A BF

，
△ABF
1
,
S
△CBF
EC2S
△ACF
CD

1
所 以
S
△ABF
S
△ABC
7.5
，
S
△BFD
157.57.5
，
4
所以阴影部分面积是
30107.512.5
．
1
(法二)连接
DE
，由题目条件可得到
S
△ABE
S
△ABC
10
，
3
AF
S
△ABE
1
112

， S
△BDE
S
△BEC
S
△ABC
10
，所以
FDS
△BDE
1
223
111111

S
△DEF
S
△DEA
S
△ADC
 S
△ABC
2.5
，
223232
21
而
S
△CDE
S
△ABC
10
．所以阴影部分的面 积为
12.5
．
32

【巩固】如图，三角形
ABC的面积是
200cm
2
，
E
在
AC
上
，点
D
在
BC
上，且
AE:EC3:5
,
BD :DC2:3
，
AD
与
BE

交于点
F
．则四边形
DFEC
的面积等于 ．
A
AA
E
F
B
D
C
B
F
DC
E
E
B
D
F
C

2

【解析】 连接
CF
，

S
△ABF
BD26
S
AE36

，
△ABF

,
S
△ACF
DC39S
△CBF
EC510
根据燕尾定理，
设
S
△ABF
6
份，则
S
△ACF
9
份,
S
△BCF
10
份，
S
△EFC
 9
所以
S
DCFE
200(6910)(
5453份，
S
△CDF
106
份，
35823
4 545
6)8(6)93(cm
2
)

88
< br>【巩固】如图，已知
BD3DC
，
EC2AE
，
BE与
CD
相交于点
O
,则
△ABC
被分成的
4< br>部分面积各占
△ABC

面积的几分之几？
AA
1
1
E
2
4.5
D
1
C
E
O
9O
2
13.5
B
D
C
B
3

【解析】 连接
CO
,设
S
△AEO
1
份，则其 他部分的面积如图所示，所以
S
△ABC
1291830
份，所以 四部
124.5139313.59
分按从小到大各占
△ABC
面积的,

,,
30

11
【巩固】(
200 7
年香港圣公会数学竞赛)如图所示，在
△ABC
中，
CPCB
，
CQCA
，
BQ
与
AP
相交于
23
点< br>X
，若
△ABC
的面积为
6
，则
△ABX
的 面积等于 ．
C
C
Q
X

【解析】 方法一：连接
PQ
．
11
由于
CPCB，
CQCA
，所以
S
23
C
P
B
A
Q
X
B
P
Q
4
1
X
A
1
4
P
A
B

．
211
，
SS SS
ABQABCBPQBCQ
326
21
由蝴蝶定理知，
AX :XPS
ABQ
:S
BPQ
S
ABC
:S
AB C
4:1
，
36
44122
所以
S
ABXS
ABP
S
ABC
S
ABC
62.4< br>．
55255
方法二：连接
CX
设
S
△CPX1
份，根据燕尾定理标出其他部分面积，
所以
S
△ABX
6(1144)42.4

ABC

【巩固】如图，三角形
ABC
的面积是
1
，
BD2DC
，
CE2AE
，
AD
与
BE相交于点
F
，请写出这
4
部分
的面积各是多少?
A< br>E
F
B
D
C
B
6
8
A
1< br>F
2
4
E
C
D
【解析】 连接
CF
，设
S
△AEF


1
份，则其他几部分面积可以有燕尾定理标出如图所示，所以
3

< br>S
△AEF

1628242
,
S
△ABF

,
S
△BDF

,
S
FDCE


2121721217

【巩固】如图，
E
在
A C
上，
D
在
BC
上，且
AE:EC2:3
,BD:DC1:2
，
AD
与
BE
交于点
F
． 四边形
DFEC
的面积等于
22cm
2
，则三角形
ABC< br>的面积 ．

AAA
1.6
E
2
F< br>2.4
1
2
C
D
E
F
B
D
C
B
F
D
E
B
C
【解析】 连接
CF,根据燕尾定理，
S
△ABF
BD1
S
△ABF
AE2

,

，
S
△ACF
DC2
S< br>△CBF
EC3
CF

设
S
△BDF
1< br>份，则
S
△D
份,
S
△EFC
4
所以< br>S
△ABC
2
份，
S
△ABF
2
份，< br>S
△AFC
4
份，
S
△AEF
4
2< br>1

.6
23
3
2.4
份,如图所标,所以< br>S
EFDC
22.44.4
份,
S
△ABC
 2349
份
23
224.4945(cm
2
)


【巩固】三角形
ABC
中，
C
是直角，已知
AC2
，CD2
，
CB3
，
AMBM
，那么三角形
AMN
(阴影
部分)的面积为多少？
A
M
N
C
D
B
A
M
N
C
D
B

【解析】 连接
BN
．
△ABC
的面积为
3223

根据燕尾定理，
△ACN:△ABNCD:BD2:1
；
同理
△CBN:△CANBM:AM1:1

设
△AMN
面积为1份，则
△MNB
的面积也是1份，所以
△ANB
的面积是
112
份，而
△ACN
的
面积就是
224
份，△CBN
也是4份，这样
△ABC
的面积为
441110
份，所以
△AMN
的
面积为
31010.3
．

【巩固】如图，长方形
ABCD
的面积是
2
平方厘米，
EC 2DE
，
F
是
DG
的中点．阴影部分的面积是多少
平方厘 米?
A
F
B
G
D
E
C
B
BA
A
3
F
3
G
1
D
D
EF< br>x
2
y
3
y
x
C
E
G

C
【解析】 设
S
△DEF
1
份，则根据燕尾定理其他面 积如图所示
S
阴影

55
S
△BCD

平 方厘米.
1212

【例 2】 如图所示，在四边形
ABCD
中 ，
AB3BE
，
AD3AF
，四边形
AEOF
的面积是
12
，那么平行四边
4

形
BODC
的面积为________．
A
F2
E
B
O
C
D
B
E
1
A4
O
6
F
8
D
6
C

【解析】 连接
AO,BD
,根据燕尾定理
S
△ABO
:S
△BDO
AF:FD1:2
,
S
△AOD
:S
△BOD
AE:BE2:1
,设
S
△BEO
1
,则其 他图形面积，如图所标，所以
S
BODC
2S
AEOF
212 24
.

【例 3】
ABCD
是边长为
12
厘米的正方形，
E
、
F
分别是
AB
、
BC
边的中点，
AF
与
CE
交于
G
，则四边形
AGCD
的面积是_________平方厘米．
D
C
D
C
GF
G
F
A
E
B
【解析】 连接
AC
、设
S
△A
GB
，
GC


（111）26
根据燕尾定理得
S
△AGB
1
份，
S
△BGC
1
份，则
S
正方形
< br>1
份，
A
E
B
份，
S
ADCG
 314
份，所以
S
ADCG
12
2
6496( cm
2
)


【例 4】 如图，正方形
ABCD
的面积是
120
平方厘米，
E
是
AB
的中点，
F< br>是
BC
的中点，四边形
BGHF
的
面积是_____平方厘米．
A
D
A
D
E
G< br>H
E
G
H

【解析】 连接
BH
,根据沙漏 模型得
BG:GD1:2
,设
S
△BHC
1
份，根据燕 尾定理
S
△CHD
2
份，
S
△BHD
2
份，
1277
（122)210
份，
S
BFHG

，所以
S
BFHG
1201014
(平方厘米). 因此
S
正方形

2366

【例 5】 如图所示，在△ABC
中，
BE:EC3:1
，
D
是
AE
的中点，那么
AF:FC
．
B
F
C

B
F
C
A
F
A
F
DD
BECBE C

【解析】 连接
CD
．
由于
S
△ABD:S
△BED
1:1
，
S
△BED
:S
△B CD
3:4
，所以
S
△ABD
:S
△BCD
3 :4
，
5

根据燕尾定理，
AF:FCS△ABD
:S
△BCD
3:4
．

【巩固】在
ABC
中，
BD:DC3:2
，
AE:EC3:1
，求
OB:OE
？
AA
O
B
【解析】 连接
OC
．
E
D
C

O
B
D
E
C

因为
BD:DC3:2< br>，根据燕尾定理，
S
AOB
:S
AOC
BD:BC3 :2
，即
S
AOB

又
AE:EC3:1
，所 以
S
AOC

所以
OB:OES
AOB
:S
AOE
3
S
AOC
；
2
4334
S
AOE
．则
S
AOB
S
AOC
SAOE
2S
AOE
，
3223
2:1
．

【巩固】在
ABC
中，
BD:DC2:1
，
AE:EC1:3
，求
OB:OE
？
A
E
O
C

【解析】 题目求的是边的比值，一般来说可以 通过分别求出每条边的值再作比值，也可以通过三角形的面积
比来做桥梁，但题目没告诉我们边的长度， 所以应该通过面积比而得到边长的比．本题的图形一看
就联想到燕尾定理，但两个燕尾似乎少了一个，因 此应该补全，所以第一步要连接
OC
．
连接
OC
．
B
D
A
E
O
C

因为
BD:DC 2:1
，根据燕尾定理，
S
AOB
:S
AOC
BD :BC2:1
，即
S
AOB
2S
AOC
；
又
AE:EC1:3
，所以
S
AOC
4S
AOE
．则
S
AOB
2S
AOC
24S
AO E
8S
AOE
，
所以
OB:OES
AOB
:S
AOE
8:1
．

【例 6】 （2009年清华附中 入学测试题）如图，四边形
ABCD
是矩形，
E
、
F
分别是
AB
、
BC
上的点，且
11
AEAB
，
CFBC
，
AF
与
CE
相交于
G
，若矩形
ABCD
的面积为
120
，则
AEG
与
CGF
的
34
面积之和为 ．
B
D
6

A
E
G
B
F
D
A
E
H
B
D
A
E
D
G
FC
B
G
FC

【解析】 (法1)如图，过
F
做
CE
的平 行线交
AB
于
H
，则
EH:HBCF:FB1:3
，
1
所以
AEEB2EH
，
AG:GFAE:EH2
，即
AG2GF
，
2
12231
所以
S
AE G
S
ABF
S
ABCD
10
．
33942
22311
且
EGHFECEC
，故
CGGE
，则
S
CGF
1S
AEG
5
．
33422
所以两三角形面积之和为
10515
．
(法2)如上右图，连接
AC
、
BG
．
根据燕尾定理，< br>S
ABG
:S
ACG
BF:CF3:1
，
S
BCG
:S
ACG
BE:AE2:1
，
1
而
S
ABC
S
ABCD
60
，
2
3121
所以
S
ABG

，
S
ABC
6030
，
S
BCG

，
S< br>ABC
6020
，
32123213
11
则
S
AEG
S
ABG
10
，
S
 CFG
S
BCG
5
，
34
所以两个三角形的面积之和为15．

【例 7】 如右图，三角形< br>ABC
中，
BD:DC4:9
，
CE:EA4:3
，求< br>AF:FB
．
A
F
B
O
D
E
C

C

【解析】 根据燕尾定理得
S
△AOB
:S
△AOC
BD :CD4:912:27


S< br>△AOB
:S
△BOC
AE:CE3:412:16

（都有
△AOB
的面积要统一，所以找最小公倍数）
所以
S
△AOC
:S
△BOC
27:16AF:FB

【点评】本题 关键是把
△AOB
的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果
能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！

【巩固】如 右图，三角形
ABC
中，
BD:DC3:4
，
AE:CE5:6
，求
AF:FB
.
A
F
B
O
D
E
C

【解析】 根 据燕尾定理得
S
△AOB
:S
△AOC
BD:CD3:415 :20


S
△AOB
:S
△BOC
AE:CE5:615:18

（都有
△AOB
的面积要统一，所以找最小公倍数）
所以
S
△AOC
:S
△BOC
20:1810:9AF:FB


7

【巩固】如图，
BD:DC2:3
,
AE:CE5:3
,则
AF:BF

A
E
C
F
B
D
G
【解析】 根据燕尾定理 有
S
△ABG
:S
△ACG
2:310:15
,
S
△ABG
:S
△BCG
S
△ACG
:S
△BC G
15:65:2AF:BF


5:310:6
,所以

【巩固】如右图，三角形
ABC
中，
BD:DC2:3
，
EA:CE5:4
，求
AF:FB< br>.
A
F
B
O
D
E
C

【解析】 根据燕尾定理得
S
△AOB
:S
△AOC
BD :CD2:310:15


S
△AOB
:S
△BOC
AE:CE5:410:8

（都有
△AOB
的面积要统一，所以找最小公倍数）
所以
S
△AOC
:S
△BOC
15:8AF:FB

【点评】本题关 键是把
△AOB
的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果< br>能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！

【例 8】 (2008年“学而思杯”六年级数学试题)如右图，三角形
ABC
中，
AF:FB BD:DCCE:AE3:2
，
且三角形
ABC
的面积是
1，则三角形
ABE
的面积为______，三角形
AGE
的面积为___ _____，三角
形
GHI
的面积为______．
A
E
F
H
B
G
I
D
C

A
E
F
H
B
G
I
D
C

【分析】 连接
AH
、
BI
、
CG
．
2 22
AC
，故
S
ABE
S
ABC

；
555
根据燕尾定理，
S
ACG
:S
ABG
CD:BD2:3
，
S
BCG
:S
ABG
CE :EA3:2
，所以
49
S
ACG
:S
ABG:S
BCG
4:6:9
，则
S
ACG

，
S
BCG

；
1919
2248
那么
S
AGE
S
AGC

；
551995
9
同样分析可得
S
ACH

，则
EG:EHS
，
EG:EBS
ACG
:S
ACB
4:19
，所 以
ACG
:S
ACH
4:9
19
EG:GH:HB 4:5:10
，同样分析可得
AG:GI:ID10:5:4
，
5521 5511
所以
S
BIE
S
BAE

，< br>S
GHI
S
BIE

．
1
由于
CE:AE3:2
，所以
AE

【巩固】 如右图，三角形
ABC
中，
AF:FBBD:DCCE:AE 3:2
，且三角形
GHI
的面积是
1
，求三角形
ABC< br>的面积．
8

AA
F
I
B
H
G
D
E
F
I
C
B
H
G
D
E
C

【解析】 连接BG，
S
△AGC

6
份
根据燕尾定理，
S
△AGC
:S
△BGC
AF:FB3:26:4
，
S
△ABG
:S
△AGC
BD:DC3:29:6

S
6
得
S
△BGC
4
(份)，
S
△ABG
9
(份)，则
S
△ABC
19
(份)，因此
△ AGC

,
S
△ABC
19
S
6
S6
同理连接AI、CH得
△ABH

,
△BIC
,
S
△ABC
19S
△ABC
19
所以
S< br>△GHI
196661


S
△ABC
19 19
三角形GHI的面积是1，所以三角形ABC的面积是19

【巩固】(200 9年第七届“走进美妙的数学花园”初赛六年级)如图，
ABC
中
BD2DA，
CE2EB
，
AF2FC
，那么
ABC
的面积 是阴影三角形面积的 倍．
A
D
G
F
H
B
E
I
C

A
D
G
F
H
B
E
I
C

【分析】 如图，连接
AI
．
根据燕尾定理，
S
BCI
:S
ACI
BD:AD2:1
，
S
BCI
:S
ABI
CF:AF1:2
，
所以，
S
ACI
:S
BCI
:S
ABI
1:2:4
，
22
那么，
S
BCI
S
ABC
S
ABC．
1247
同理可知
ACG
和
ABH
的面积 也都等于
ABC
面积的
2
，所以阴影三角形的面积等于
ABC< br>面积
7
21
的
13
，所以
ABC
的 面积是阴影三角形面积的7倍．
77

【巩固】如图在
△ABC
中 ，
A
E
H
F
I
B
G
D
C
B
F
I
G
D
C
H
△GHI的面积
DCEA FB1
的值．

,求
△ABC的面积
DBECFA2
A
E

【解析】 连接BG,设
S
△BGC

1份，根据燕尾定理
S
△AGC
:S
△BGC
AF:FB2:1
,
S
△ABG
:S
△AGC
BD:DC2:1
,
S
2得
S
△AGC
2
(份)，
S
△ABG
4< br>(份),则
S
△ABC
7
(份)，因此
△AGC

,同理连接AI、CH得
S
△ABC
7
9

S
△ABH
2
S
△BIC
2

,

,
S
△ABC
7S
△ABC
7
所以
S
△GHI
72221


S
△ABC
7 7
【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万 化，
但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我< br>们有对称法作辅助线.

△GHI的面积
DCEAFB1
【巩固】如图在
△ABC
中，的值．

,求
△ABC的面积
DBECFA3
A
E
H
F
I
B
G
D
C
B
F
I
G
D
C
H
A
E

【解析】 连接BG,设
S
△BGC

1份，根据燕尾定理
S
△AGC
:S
△ BGC
AF:FB3:1
,
S
△ABG
:S
△AGC< br>BD:DC3:1
,
S
3
得
S
△AGC
3
(份)，
S
△ABG
9
(份),则
S
△AB C
13
(份)，因此
△AGC

,同理连接AI、CH得
S
△ABC
13
S
△ABH
S
3
13
,
△BIC

,
S
△ABC
S
△ABC
1 3
所以
S
△GHI
133334


S
△ABC
1313

【巩固】如右图，三角形
ABC中，
AF:FBBD:DCCE:AE4:3
，且三角形
ABC
的 面积是
74
，求角形
GHI

的面积．
AA
F< br>I
B
H
G
D
E
F
I
C
B< br>H
G
D
E
C

【解析】 连接BG，
S
△AGC

12份
根据燕尾定理，
S
△AGC
:S
△BGC
AF:FB4:312:9
，
S△ABG
:S
△AGC
BD:DC4:316:12

S
12
得
S
△BGC
9
(份)，
S
△AB G
16
(份)，则
S
△ABC
9121637
( 份)，因此
△AGC

,
S
△ABC
37
S12
S
△BIC
12
同理连接AI、CH得
△ABH

,,

S
△ABC
37S
△ABC
37
所以
S
△GHI
371212121


S
△ABC
3737
三角形ABC的面积是
74
,所以三角形GHI的面积是
74
1
2

37

【例 9】 两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示， 三个三角形的面积 分别是
3
，
7
，
7
，
则阴影四边形的面积是多少？
10

A
D
3
7
7
A< br>E
x+3
E
D
7
3
F
7
x
B
3
F
7
7
C
B
C

【解析】 方法一：遇到没有标注字母的图形，我们第一步要做的就是给图形各点标注字母，方便后面的计算.
再看这道题，出现两个面积相等且共底的三角形．
设三角形为
ABC
，BE
和
CD
交于
F
，则
BFFE
，再连结< br>DE
．
所以三角形
DEF
的面积为3.设三角形
ADE的面积为
x
，
则
x:

33

 AD:DB

x10

:10
，所以
x15
，四边形的面积为
18
．
方法二：设
S
△ADF
x，根据燕尾定理
S
△ABF
:S
△BFC
S
△AFE
:S
△EFC
,得到
S
△AEF
x3
，再根据 向右下
飞的燕子，有
(x37):7x:3
，解得
x7.5
四边形的面积为
7.57.5318


【巩固】右图的大三角形被分 成5个小三角形，其中4个的面积已经标在图中，那么，阴影三角形的面积
是 ．
2
13
4

【解析】 方法一：整个题目读完，我们没有发现任何与 边长相关的条件，也没有任何与高或者垂直有关系的
字眼，由此，我们可以推断，这道题不能依靠三角形 面积公式求解.我们发现右图三角形中存在一个
比例关系：
2:S
阴影
< br>
13

:4
，解得
S
阴影
2
.
:S
阴影
4）1:3
，解得
S
阴影
2< br>. 方法二：回顾下燕尾定理，有
2（

【例 10】 如图，三角形
ABC
被分成
6
个三角形，已知其中
4
个三角形的面积，问三角形< br>ABC
的面积是多
少?
A
F
84
O
40
30
35
E

【解析】 设
S
△BOF
x
，由题意知
BD:DC4: 3
根据燕尾定理,得
33
S
△ABO
:S
△ACO
S
△BDO
:S
△CDO
4:3
,所以
S
△ ACO
(84x)63x
，
44
3
再根据
S< br>△ABO
:S
△BCO
S
△AOE
:S
△COE< br>，列方程
(84x):(4030)(63x35):35
解得
x 56

4
S
△AOE
:35(5684):(4030),所以
S
△AOE
70

所以三角形ABC的面积是
844030355670315


【例 11】 三角形ABC的面积为15平方厘米，D为AB中点，E为AC中点，F为BC中点，求 阴影部分
的面积．
B
D
C
11

AA
D
E
D
E
M
N
B
F
CB
F
C

【解析】 令BE与CD的交点为M，CD与EF的交点为N，连接AM，BN．
在
△ABC
中 ，根据燕尾定理，
S
△ABM
:S
△BCM
AE:CE1:1< br>,
S
△ACM
:S
△BCM
AD:BD1:1
,
1
所以
S
△ABM
S
△ACM
S
△B CN
S
△ABC

3
11
由于
S
△AE M
S
△AMC
S
△ABM
S，所以
BM:ME2:1

22
在
△EBC
中，根据燕尾定理，
S
△BEN
:S
△CEN
BF:CF1:1S
△CEN
:S
△CB N
ME:MB1:2

设
S
△CEN
1
(份 )，则
S
△BEN
1
(份)，
S
△BCN
2< br>(份)，
S
△BCE
4
(份)，
1111
所以< br>S
△BCN
S
△BCE
S
△ABC
,
S
△BNE
S
△BCE
S
△ABC
，因为
BM: ME2:1
,F为BC中点,
2448
22111111
所以
S
△BMN
S
△BNE
S
△ABC
S
△AB C
,
S
△BFN
S
△BNC
S
△ABC< br>,
338122248
55

11

所以
S
阴影




S
△ABC
S
△ABC
153.125
(平方厘米)
2424

128


【例 12】 如右图，
△ ABC
中，
G
是
AC
的中点，
D
、
E、
F
是
BC
边上的四等分点，
AD
与
BG交于
M
，
AF
与
BG
交于
N
，已知< br>△ABM
的面积比四边形
FCGN
的面积大
7.2
平方厘米， 则
△ABC
的面积是
多少平方厘米？
A
G
M
F< br>C
B
D
E
A
G
N
M
B
D< br>E
N
F
C

【解析】 连接
CM
、
CN
．
1
根据燕尾定理，
S
△ABM
:S
△CBM
AG:GC1:1
，
S
△ABM
:S
△ACM
BD:CD1:3
，所以
S
△ABMS
△ABC
；
5
再根据燕尾定理，
S
△ABN:S
△CBN
AG:GC1:1
，所以
S
△ABN
:S
△FBN
S
△CBN
:S
△FBN
4:3
，所以
AN:NF4:3
，那么
1
根据题意，有
S
△AB C
5
S
△ANG
1
515
42

2


，所以
S
FCGN


1

S
△AFC
S
△ABC
S
△ABC
． 7428
S
△AFC
2437

7

5S
△ABC
7.2
，可得
S
△ABC
336(平方厘米)
28

【巩固】(2007年四中分班考试题)如图，
 ABC
中，点
D
是边
AC
的中点，点
E
、
F
是边
BC
的三等分点，
若
ABC
的面积为1，那么四边 形
CDMF
的面积是_________．
A
D
N
C
B

A
D
N
B

MM
E
F
E
12
F
C

【解析】 由于点
D
是边
AC
的中点，点
E
、
F
是边
BC
的三等分点，如果能求出
BN
、NM
、
MD
三段的比，
那么所分成的六小块的面积都可以求出来，其中当 然也包括四边形
CDMF
的面积．
连接
CM
、
CN
．
根据燕尾定理，
S
 ABM
:S
ACM
BF:CF2:1
，而
S
ACM
2S
ADM
，所以
S
ABM
2S
ACM
4S
ADM
，那
4
么
BM4DM
，即
BMBD
．
5
BMBF4214147
那么
S
BMF

．
S
BCD

，
S
四边形CDMF
 
BDBC5321521530
1111
另解：得出
S
ABM< br>2S
ACM
4S
ADM
后，可得
S
ADM
S
ABD

，
55210
117
则S
四边形CDMF
S
ACF
S
ADM
< br>．
31030

【例 13】 如图，三角形
ABC
的面积 是
1
，
BDDEEC
，
CFFGGA
，三角形ABC
被分成
9
部分，
请写出这
9
部分的面积各是多少 ?
A
A
G
G
P
Q
F
B
B
F
N
D
EC
M

【解析】 设BG与AD交于点P， BG与AE交于点Q，BF与AD交于点M，BF与AE交于点N．连接CP，
CQ，CM，CN． < br>根据燕尾定理，
S
△ABP
:S
△CBP
AG:GC1: 2
，
S
△ABP
:S
△ACP
BD:CD1:2
，设
S
△ABP
1
(份)，则
1
S
△ABC< br>1225
(份)，所以
S
△ABP


5< br>211213121
同理可得，
S
△ABQ

,
S< br>△ABN

,而
S
△ABG

，所以
S△APQ

，
S
△AQG

．
72 375353721
311239
同理，
S
△BPM

，< br>S
△BDM

,所以
S
四边形
PQMN
 
3521273570
5
,
S
四边形NFCE
S
四边形MNED

,
S
四边形GFNQ
< br>
3357642

【巩固】如图，
ABC
的面积为1，点
D
、
E
是
BC
边的三等分点，点
F
、G
是
AC
边的三等分点，那么四
边形
JKIH
的面积是 多少？
DEC
C
F
G
K
A
I
H
B

C
D
E
A
G
K
I
H
B

J
F
J
D
E
【解析】 连接
CK
、
CI
、
CJ
．
根据燕尾定理，
S
ACK
:S
ABK
CD:BD1:2
，
SABK
:S
CBK
AG:CG1:2
，
1111所以
S
ACK
:S
ABK
:S
CBK
 1:2:4
，那么
S
ACK

，
S
AGK< br>S
ACK

．
1247321
2
类似分析 可得
S
AGI

．
15
13

又
S
ABJ
:S
CBJ
AF:CF2:1
，
S
ABJ
:S
ACJ
BD:CD2:1
，可得
S
ACJ

那么，
S
CGKJ

1．
4
1117

．
42184
根据对称性，可知 四边形
CEHJ
的面积也为
S
CGKJ
2S
AGI< br>S
ABE
17
，那么四边形
JKIH
周围的图形的面积之 和为
84
172161619
2
，所以四边形
JKIH< br>的面积为
1
．
84153707070

【例 14】 如右图，面积为
1
的
△ABC
中，
BD:DE:EC1:2:1< br>，
CF:FG:GA1:2:1
，
AH:HI:IB1:2:1
，
求阴影部分面积．
A
H
G
H
N
M
FP
E
C
A
G
I
B
DE
F
C< br>B
I
D

【解析】 设
IG
交
HF
于
M
，
IG
交
HD
于
N
，
DF< br>交
EI
于
P
．连接
AM
，

IF
．
9
∵
AI: AB3:4
，
AF:AC3:4
，
S
△AIF
S< br>△ABC

16
∵
S
△FIM
:S△AMF
IH:HA2
，
S
△FIM
:S
△AIM
FG:GA2
，
193
∴
S
△AIM
S
△AIF
S
△ABC
∵
AH:AI1:3
∴
S
△AHM
S
△ABC
，
46464
3
∵
AH:AB1:4

AF:AC3:4
∴
S
△AHF
S
△ABC
．
16
3733
同理
S
△CFD
S
△BDH
S
△ABC
∴
S
△FDH
S
△ABC

HM:HF:1:4
，
16166416
∵
AI:AB3:4,AF:AC3:4
，
∴
IF∥BC
，
又∵
IF:BC3:4,DE:BC1:2
，
∴
DE:IF2:3,DP:PF2:3
，
同理
H N:ND2:3
，∵
HM:HF1:4
，∴
HN:HD2:5
，
177
∴
S
△HMN
S
△HDF

．
S
△ABC

10160160
7
同理
6
个小阴影三角形的面积均为．
160
721
阴影部分面积
6
．
16080

【例 15】 如图，面积为l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA 的三等分点,求阴
影部分面积.
A
D
E
I
H
E
Q
B
F
G
C
B
F
G
C
D
P
A
I
M
H
N



14

【解析】 三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！
令BI与CD的交点为M，AF 与CD的交点为N，BI与AF的交点为P,BI与CE的交点为Q,连接
AM、BN、CP
⑴求
S
四边形ADMI
：在
△ABC
中，根据燕尾定理，
S
△ABM
:S
△CBM
AI:CI1:2S
△ACM
: S
△CBM
AD:BD1:2

设
S
△ABM
1
(份)，则
S
△CBM
2
(份),
S
△AC M
1
(份),
S
△ABC
4
(份),
111 1
所以
S
△ABM
S
△ACM
S
△ABC，所以
S
△ADM
S
△ABM
S
△ABC
,
S
△AIM
S
△ABC
,
431212
11 1
所以
S
四边形ADMI
()S
△ABC
S
△ABC
,
12126
1
同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是△ABC
面积的
6
⑵求
S
五边形DNPQE
：在△ABC
中，根据燕尾定理
S
△ABN
:S
△ACN
 BF:CF1:2S
△ACN
:S
△BCN
AD:BD1:2
,
11111
所以
S
△ADN
S
△ABN
 S
△ABC
S
△ABC
,同理
S
△BEQ
S< br>△ABC

3372121
在
△ABC
中，根据燕尾定理S
△ABP
:S
△ACP
BF:CF1:2
,
S< br>△ABP
:S
△CBP
AI:CI1:2

1
所以
S
△ABP
S
△ABC

51

11

11
所以
S
五边形DNPQES
△ABP
S
△ADN
S
△BEP




S
△ABC
S
△ABC

521 21105

11
同理另外两个五边形面积是
△ABC
面积的
105
11113
所以
S
阴影
13

3
610570

【例 16】 如图，面积为l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA 的三等分点,求中
心六边形面积.
A
D
E
I
H
E
Q
B
F
G
C
B
M
F
S
G
C
D
A
I
P
H
N
R
【解析】 设深黑色六个三角形的顶点分别为N、R、P、S、M、Q，连接CR
在
△ABC
中 根据燕尾定理，
S
△ABR
:S
△ACR
BG:CG.2:1< br>,
S
△ABR
:S
△CBR
AI:CI1:2

222
所以
S
△ABR
S
△ABC
,同理
S
△ACS
S
△ABC
,
S
△CQB
S△ABC

777
2221
所以
S
△RQS
1

7777
1
同理
S
△MNP


7
11131
根据容斥原理，和上题结果
S
六边形


777010


【例 17】 （
2009
年数学解题能 力大赛六年级初试试题）正六边形
A
1
，
A
2
，
A
3
，
A
4
，
A
5
，
A
6
的面积是
2009
B
1
，
B
2
，
B
3
，
B
4
，
B
5
，
B
6
分别是正六边形各边的中点；平方厘米，那么图中阴影六边形的面积是 平
15

方厘米．
A
1
B
6
A
6
B
5
B
1
A
2
B
2
A
3
B
3
B
6
A
6
B
5
A
1
B
1
D
G
E
A
2
B
2
A
3
B
3

【解析】 （方法一）因为空白的面积等于
△A
2
A
3
G
面积的
6
倍，所以关键求
△A< br>2
A
3
G
的面积，根据燕尾定理可
3311
得
S
△A
2
A
3
G
S
△A
1
A
2
A
3
S
正六边形
，但在
△A
1< br>A
2
A
3
用燕尾定理时，需要知道
A
1
D, A
3
D
的长度比，
7732
连接
A
1
A< br>3
,A
6
A
3
,
A
1
G
, 过
B
6
作
A
1
A
2
的平行线，交
A
1
A
3
于
E
，根据沙漏模型得
A
1DDE
,再根据金字塔
模型得
A
1
EA
3
E
,因此
A
1
D:A
3
D1:3
,在
△ A
1
A
2
A
3
中，设
S
△A
1< br>A
2
G
1
份，则
S
△A
2
A3
G
3
份,
S
△A
3
A
1
G
3
A
5
B
4
A
4
A
5
B
4
A
4
33111
份，所以
S
△A
2
A
3
G
S
△A
1
A
2
A
3
S
正六边形
S
正六边形
，
77321414
因此
S
阴影
（16）S
正六边形
200 91148
（平方厘米）
147
（方法二）既然给的图形是特殊的正六边形，且阴 影也是正六边形我们可以用下图的割补思路，把正
8
六边形分割成
14
个大小 形状相同的梯形，其中阴影有
8
个梯形，所以阴影面积为
20091148
（平
14
方厘米）
A
D
A
1
B
6B
1
G
A
2
E
D
B
2
A3
E
G
B
F
C
A
6
B
5A
5
B
4
A
4
B
3


【例 18】 已知四边形
ABCD
，
CHFG
为正方形，
S
甲
:S
乙
1:8
，
a
与
b
是 两个正方形的边长，求
a:b?

A
a
甲
D
O< br>C
G
D
M
B
A
a
甲
O
B< br>C
G
乙
E
H
b
F
E
NH
乙
b
F

【解析】 观察图形，感觉阴影部分像蝴蝶定理，但是细细分析发现 用蝴蝶定理无法继续往下走，注意到题目
条件中给出了两个正方形的边长，有边长就可以利用比例，再发 现在连接辅助线后可以利用燕尾，
那么我们就用燕尾定理来求解
连接EO、AF，
根据燕尾定理：
S
△AOE
:S
△AOF
a:b
，
S
△AOF
:S
△EOF
a:b

所以
S
△AOE
:S
△EOF
a
2
:b
2
， 作OM⊥AE、ON⊥EF，
16

∵AE

EF
∴
OM:ONa
2
:b
2

∴
S
甲
:S
乙
a
3
:b
3
1:8

∴
a:b1:2






17