服务质量控制-关于大自然的名言

燕尾定理

例题精讲


燕尾定理：
在 三角形
ABC
中，
AD
，
BE
，
CF
相交 于同一点
O
，
那么，
S
ABO
:S
ACO
BD:DC

A
E
O
B

F
D
C

上 述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为
ABO
和
ACO
的形状很象燕子的尾巴，所
以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它 的特殊性在于，它可以存在于
任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系 的途径.

通过一道例题 证明燕尾定理：

如右图，
D是
BC
上任意一点，请你说明：
S
1
:S
4
 S
2
:S
3
BD:DC

A
S
2
E
S
3
B
S
1
S
4
D
C

【解析】 三角形
BED
与三角形
CED
同高，分别以
BD
、
DC
为底，所以有
S
1
:S
4
B D:DC
；
三角形
ABE
与三角形
EBD
同高，
S
1
:S
2
ED:EA
；
三角形
ACE
与三角形
CED
同高，
S
4
:S
3
ED:EA
，所以
S
1
:S
4
S
2
:S
3
；

综上可得，
S
1
:S
4
S2
:S
3
BD:DC
.

【例 1】 （2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形
ABC
的面积 是
1
，
E
是
AC
的中点，点
D
在
BC
上，且
BD:DC1:2
，
AD
与
BE
交于 点
F
．则四边形
DFEC
的面积等于 ．
A
E
B
D
F
C


【巩固 】如图，已知
BDDC
，
EC2AE
，三角形
ABC
的 面积是
30
，求阴影部分面积.
A
E
F
B
DC


【巩固】如图，三角形
ABC
的面积是
200cm
2
，
E
在
A C
上
，点
D
在
BC
上，且
AE:EC3:5,
BD:DC2:3
，
AD
与
BE

交于点
F
．则四边形
DFEC
的面积等于 ．
A
E
B
D
F
C

【巩固】如图，已知BD3DC
，
EC2AE
，
BE
与
CD
相 交于点
O
,则
△ABC
被分成的
4
部分面积各占
△ ABC

面积的几分之几？
A

E
O
B
D
C
11
【巩固】(
2007
年香港圣公会数学竞赛)如图所示，在
△ABC
中，
CPCB
，
CQCA
，
BQ与
AP
相交于
23
点
X
，若
△ABC
的面积为
6
，则
△ABX
的面积等于 ．

C
Q
X
A
B


【巩固 】如图，三角形
ABC
的面积是
1
，
BD2DC
，
CE2AE
，
AD
与
BE
相交于点
F
，请写出 这
4
部分
的面积各是多少?
P

A
E
F
B
D
C


【巩固】如图，
E
在
AC
上，
D
在BC
上，且
AE:EC2:3
,
BD:DC1:2
，
AD
与
BE
交于点
F
．四边形
DFEC
的面积等 于
22cm
2
，则三角形
ABC
的面积 ．

A
E
F
B
D
C


【巩固】三角 形
ABC
中，
C
是直角，已知
AC2
，
CD2
，
CB3
，
AMBM
，那么三角形
AMN
(阴 影
部分)的面积为多少？
A
M
N
C
D
B


【巩固】如图，长方形
ABCD
的面积是
2
平方厘米，< br>EC2DE
，
F
是
DG
的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?
A
F
B
G
D
E
C
Ax
F
y
y
x
G
D
E
C

【例 2】 如图所示，在四边形
ABCD
中，
AB3BE
，AD3AF
，四边形
AEOF
的面积是
12
，那么平行四边< br>形
BODC
的面积为________．

B
A
F
E
B
O
C
D




【例 3】
ABCD
是边长为
12
厘米的正方形，
E
、
F
分别是
AB
、
BC
边的中点，
AF
与
CE
交于
G
，则四边形
AGC D
的面积是_________平方厘米．

D
C
G
F
A
E
B

【例 4】 如图，正方形
ABCD
的面积是
120
平方厘米，E
是
AB
的中点，
F
是
BC
的中点，四边形< br>BGHF
的
面积是_____平方厘米．


A
D
E
G
H
B
F
C

【例 5】 如图所示，在
△ABC
中，
BE:EC3:1
，D
是
AE
的中点，那么
AF:FC
．


A
F
D
BEC


【巩固】在
ABC
中，
BD:DC3:2
，
AE:EC3:1
，求
OB:OE
？
A
O
B
D
E
C


【巩固】在
ABC
中，
BD:DC2:1
，
AE:EC1:3
，求
OB:OE
？
A
E
O
C
B
D

【例 6】 （2009 年清华附中入学测试题）如图，四边形
ABCD
是矩形，
E
、
F分别是
AB
、
BC
上的点，且

11< br>AEAB
，
CFBC
，
AF
与
CE
相交 于
G
，若矩形
ABCD
的面积为
120
，则
AE G
与
CGF
的
34
面积之和为 ．
A
E
G
B

D
FC

【例 7】 如右图，三角形
ABC
中，
BD:DC4:9
，CE:EA4:3
，求
AF:FB
．
A
F
B
O
D
E
C

【巩固】如右 图，三角形
ABC
中，
BD:DC3:4
，
AE:CE5:6< br>，求
AF:FB
.
A
F
B
O
D
E
C


【 巩固】如图，
BD:DC2:3
,
AE:CE5:3
,则
AF: BF

A
E
C
F
B
D
G

【巩固】如右 图，三角形
ABC
中，
BD:DC2:3
，
EA:CE5:4< br>，求
AF:FB
.
A
F
B
O
D
E

C


【例 8】 (2008年“学而思杯”六年级数学试题)如右图，三角形
ABC
中，
AF:FBBD:DCCE:AE3:2
，
且三角形
ABC
的 面积是
1
，则三角形
ABE
的面积为______，三角形
AGE< br>的面积为________，三角
形
GHI
的面积为______．