安康香溪洞-乔子扬

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燕尾定理
例题精讲
燕尾定理：
在三角形
ABC
中，
AD
，
BE
，
CF
相交于同一点
O
，
那么，
上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为
ABO
和
ACO的形状很象燕子的尾巴，所
以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用 ，它的特殊性在于，它可以存在于
任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相 联系的途径.

通过一道例题 证明燕尾定理：
如右图，
D
是
BC
上任意一点，请你说明：
S
1
:S
4
S2
:S
3
BD:DC

【解析】 三角形
BED与三角形
CED
同高，分别以
BD
、
DC
为底，所以有
S
1
:S
4
BD:DC
；
三角形
AB E
与三角形
EBD
同高，
S
1
:S
2
E D:EA
；
三角形
ACE
与三角形
CED
同高，
S
4
:S
3
ED:EA
，所以
S
1
:S
4
S
2
:S
3
；
综上可得，
S1
:S
4
S
2
:S
3
BD:DC
.
【例 1】 （2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形
ABC
的面积是
1
，
E
是
AC
的中点，点
D
在< br>BC
上，且
BD:DC1:2
，
AD
与
BE
交于点
F
．则四边形
DFEC
的面积等于 ．
【巩 固】如图，已知
BDDC
，
EC2AE
，三角形
ABC
的面积是
30
，求阴影部分面积.
【巩固】如图，三角形
ABC
的 面积是
200cm
2
，
E
在
AC
上
，点
D
在
BC
上，且
AE:EC3:5
,
BD:DC 2:3
，
AD
与
BE

交于点
F
．则四边形
DFEC
的面积等于 ．
【巩固】如图，已知
BD3DC
，
EC2AE
，
BE
与
CD
相交于点
O
,则
△ABC
被分成的
4
部分面积各占
△ABC

面积的几分之几？
11
【巩固】(2007
年香港圣公会数学竞赛)如图所示，在
△ABC
中，
CPCB
，
CQCA
，
BQ
与
AP
相交于
23< br>点
X
，若
△ABC
的面积为
6
，则
△ABX
的面积等于 ．
【巩固】如图，三角形
ABC
的面积是1
，
BD2DC
，
CE2AE
，
AD
与< br>BE
相交于点
F
，请写出这
4
部分
的面积各是多少?
【巩固】如图，
E
在
AC
上，
D
在
BC< br>上，且
AE:EC2:3
,
BD:DC1:2
，
AD与
BE
交于点
F
．四边形
DFEC
的面积等于
22cm
2
，则三角形
ABC
的面积 ．
【巩固】三 角形
ABC
中，
C
是直角，已知
AC2
，
CD 2
，
CB3
，
AMBM
，那么三角形
AMN
( 阴影
部分)的面积为多少？
【巩固】如图，长方形
ABCD
的面积是
2
平方厘米，
EC2DE
，
F
是
DG
的中点． 阴影部分的面积是多少
平方厘米?
【例 2】 如图所示，在四边形
ABCD
中，
AB3BE
，
AD3AF
，四边形
AEOF
的面 积是
12
，那么平行四边
形
BODC
的面积为________．
【例 3】
ABCD
是边长为
12
厘米的正方形，
E、
F
分别是
AB
、
BC
边的中点，
AF
与
CE
交于
G
，则四边形
AGCD
的面积是______ ___平方厘米．
【例 4】 如图，正方形
ABCD
的面积是
120平方厘米，
E
是
AB
的中点，
F
是
BC
的中点，四边形
BGHF
的
面积是_____平方厘米．
【例 5】 如图所示，在
△ABC
中，
BE:EC3:1
，
D
是AE
的中点，那么
AF:FC
．
【巩固】在
ABC
中，
BD:DC3:2
，
AE:EC3:1
，求
OB:OE
？
【巩固】在
ABC
中，
BD:DC2:1
，
AE:EC1:3
，求
OB:OE
？
【例 6】 （2009 年清华附中入学测试题）如图，四边形
ABCD
是矩形，
E
、
F分别是
AB
、
BC
上的点，且
11
AEAB
，
CFBC
，
AF
与
CE
相交于
G
，若 矩形
ABCD
的面积为
120
，则
AEG
与
C GF
的
34
面积之和为 ．
【例 7】 如右图，三角形< br>ABC
中，
BD:DC4:9
，
CE:EA4:3
，求< br>AF:FB
．
【巩固】如右图，三角形
ABC
中，
BD:D C3:4
，
AE:CE5:6
，求
AF:FB
.
【巩 固】如图，
BD:DC2:3
,
AE:CE5:3
,则
AF:B F

【巩固】如右图，三角形
ABC
中，
BD:DC 2:3
，
EA:CE5:4
，求
AF:FB
.
1

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【例 8】 (2008年“学而思杯”六年级数学试题)如右图，三角形
ABC
中，
AF: FBBD:DCCE:AE3:2
，
且三角形
ABC
的面积是
1
，则三角形
ABE
的面积为______，三角形
AGE
的面积为 ________，三角
形
GHI
的面积为______．
【巩固】 如右 图，三角形
ABC
中，
AF:FBBD:DCCE:AE3:2
，且三 角形
GHI
的面积是
1
，求三角形
ABC
的面积．
【巩固】(2009年第七届“走进美妙的数学花园”初赛六年级)如图，
ABC
中
BD2DA
，
CE2EB
，
AF2FC
，那么
A BC
的面积是阴影三角形面积的 倍．
△GHI的面积
DCEAFB1
【巩固】如图在
△ABC
中，的值．

,求
△ABC的面积
DBECFA2
课后作业
1、 如图，已知
BD3DC
，
EC2AE
，
BE
与
CD
相交于点
O
,则
△ABC
被分成的
4
部分面积 各占
△ABC
面积的几分之几？
2、两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示， 三个三角形的面积 分别是
3
，
7
，
7
，则阴影四边形的面积是多少？
3、右图的大三角形被分成5个小三角形，其中4个的面积已经标在图中，那么，阴影三角形的
面积是 ．
4、如图，三角形
ABC
的面积是
1
，
BD2DC< br>，
CE2AE
，
AD
与
BE
相交于点
F< br>，请写出这
4
部
分的面积各是多少?
5、如右图，三角形
A BC
中，
BD:DC4:9
，
CE:EA4:3
，求
A F:FB
．
2