武陵源一中-郑少秋演的电视剧

燕尾定理
目
tM
怔 例题精讲
在三角形
ABC
中，
AD
,
BE
,
CF
相交于同一点
0
, 那么，
燕尾定理：
S
弹
BO

S
举
co
：
=
BD
：

DC

上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为
:ABO
和
ACO
的形状很象燕子的尾巴，所
以这个定理被称为燕尾定理•该定理在许多几何题 目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于 任何一个
三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径
通过一道例题 证明燕尾定理:
如右图，
D
是
BC
上任意一点，请你说明： S
1
:S
4
= S^ ： S
3
= BD : DC

D
【解析】三角形
BED
与三角形
CED
同高，分别以
BD< br>、
DC
为底，所以有S：&=BD:DC ； 三角形
ABE
与三角形
EBD
同高，S
i
: S = ED : EA
三角形
ACE
与三角形
CED
同高，S
4
:隹=ED : EA，所以S : S
4
=S
2
： S
3
;
综上可得， S ：S
4
二 S：S
3
二 BD:DC .
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【例1】（2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形
ABC
的面积是
1
,
E
是
AC
的中点，点
D
在
BC
上，且< br>BD:DC=1:2
，
AD
与
BE
交于点
F
.则四边形
DFEC
的面积等于 ______________ .


【巩固】如图，已知
BD =DC
,
EC =2AE
,三角形
ABC
的面积是
30
，求阴影部分面积


2
【巩固】如图，三角形
ABC
的面积是200 cm , < br>E
在
AC
上
，点
D
在
BC
上，且< br>AE:EC=3:5
,
BD:DC=2:3
,
AD
与
BE
交于点
F
•则四边形
DFEC
的面积等于 __________ .


【巩固】如图，已知
BD=3DC
,
EC=2AE
,
BE
与
CD
相交于点
O
,则
厶
ABC
被分 成的
4
部分面积各占
△
ABC
面积
的几分之几？

【巩固】
（

2007
年香港圣公会数学竞赛）如图所示，在
△
ABC
中，CP =丄CB , CQ CA ,
2 3

BQ与
AP
相交于
点
X
，若
△
ABC
的面积为
6
，则
△
ABX
的面积等于 ___________ .


【巩固】如图，三角形
ABC
的面积是
1
,
BD=2DC
,
CE =2AE
,
AD
与
BE
相交于点
F
，请写出这
4
部分
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的面积各是多少？

【巩固】如图，
E
在
AC
上，
D
在
BC
上，且
AE:EC =2:3
,
BD: DC =1:2 , AD
与
BE
交于点
F .
四边形
DFEC
的面积
等于22 cm，则三角形
ABC
的面积 ________________ .
2
【巩固】三角形
ABC
中，
C
是直角，已知
部分）的面积为多少?
AC =2
,
CD =2
,
CB=3
,
AM = BM
，那么三角形
AMN （
阴影
【巩固】如图，长方
形 平方厘米？
ABCD
的面积是
2
平方厘米,
EC=2DE
,
F
是
DG
的中点•阴影部分的面积是多少
D
E

xF
C
【例2】如图所示，在四边形
ABCD
中，
AB=3BE
, 形
BODC
的面积为 ___________ .

AD =3AF
，四边形
AEOF
的面积是
12
，那么平行四边
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【例3】
ABCD< br>是边长为
12
厘米的正方形，
E
、
F
分别是
AB
、
BC
边的中点，
AF
与
CE
交于
G
，则四边形
AGCD
的面积是 __________ 平方厘米.



【例4】如图，正方形
ABCD
的面积是
120平方厘米，
E
是
AB
的中点，
F
是
BC
的中点，四边形 面积是
BGHF
的
___________ 平方厘米.



【例5】如图所示，在 △
ABC
中，
BE:EC=3:1
,
D
是
AE
的中点，那么
AF : FC _____________


【巩固】在
ABC
中，
BD : DC =3: 2
,
AE:EC=3:1
，求
OB : 0E
二?


【巩固】在
ABC
中，
BD:DC=2:1
, AE:EC=1:3，求 OB : 0E 二?
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【例6】（2009年清华附中入学测试题）如图，四边形
ABCD
是矩形，
E
、
F
分别是
AB
、
BC
上的点 ，且
1 1
AE AB，CF BC，
AF
与
CE
相交于
G
，若矩形
ABCD
的面积为
120
，则
.'AEG
与 :
CGF
的 3 4
面积之和为 _________ •

【例7】如右图，三角形
ABC
中，
BD:DC=4:9
,
CE:EA=4:3
，求
AF : FB
•

【巩固】如右图，三角形
ABC
中，
BD: DC =3:4
,
AE:CE=5:6
，求
AF : FB
.

【巩固】如图，
BD: DC =2:3
,
AE:CE =5:3
,则 AF : BF = _________

【巩固】如右图，三角形
ABC
中，
BD:DC=2:3
,
EA:CE=5:4
，求
AF : FB
.

【例8】（ 2008年“学而思杯”六年级数学试题）如右图，三角形
ABC
中，
AF : FB
二
BD : DC
二
CE: AE =3: 2
,
且三角形
ABC
的面积是
1
，则三角形
ABE
的面积为 _________ ，三角形
AGE
的面积为 __________ ，三角
形
GHI
的面积为 _______ •
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A

【巩固】
如右图，三角形
ABC
中，
AF:FB =BD:DC =CE:AE=3:2
，且三角形
GHI
的面积是
1
,求三角形
ABC
的面积.



【巩固】（2009年第七届“走进美妙的数学花园”初赛六年级 ）如图，
AABC
中
BD=2DA
,
CE =2EB
,
AF =2FC
，那么厶
ABC
的面积是阴影三角形面积的 ___________ 倍.

DC EA FB 1 土 △ GHI 的面积
--- = = =— 求^ DB EC FA
【巩固】如图在
△
ABC
中,

2
、
△ ABC 的面

积
的值.



课后作业
1、如图，已知
BD=
：
3DC
,
EC=2AE
,
BE< br>与
CD
相交于点
O
,则
厶
ABC
被分成的< br>4
部分面积各占
△
ABC
面积的几分之几？
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2、两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示，
7
,
7
,则阴影四边形的面积是多少？
三个三角形的面积分别是
3
,

3、右图的大三角形被分成5个小三角形，其中4个的面积已经标在图中，那么，阴影三角形的 面积
是 _________ •

4、如图，三角形
ABC
的面积是
1
，
BD =2DC
，
CE =2 AE
，
AD
与
BE
相交于点
F
，请写出这
4
部 分的
面积各是多少
？

5、如右图，三角形
ABC
中，
BD:DC=4:9
，
CE:EA=4:3
，求
AF : FB
.
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