行贿-散打规则

蝴蝶模型和燕尾定理练习题

1、如图，已知
BDDC
，
EC2AE
，三角形
ABC
的面积是
30
，求 阴影部分面积.
A
E
FF
A
E
F
A
E< br>B
DCBDCBDC

【解析】 题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他 条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以
初步判断这道题不应该通过面积公式求面积. 又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们
需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线， (法一)连接
CF
，因为，
EC2AE
，三角形
ABC
的面积是30，
11
所以
S
△ABE
S
△ABC10
，
S
△ABD
S
△ABC
15
．< br>32
S
S
AE1
BD
根据燕尾定理，
△ABF

，
BDDC
△ABF
1
,
S
△CBF
EC2
S
△ACF
CD

1< br>所以
S
△ABF
S
△ABC
7.5
，
S
△BFD
157.57.5
，
4
所以阴影部分面积是
30107.512.5
．
1
(法二)连接
DE
，由题目条件可得到
S
△ABE
S
△ABC
10
，
3
AF
S
△ABE
1
112

， S
△BDE
S
△BEC
S
△ABC
10
，所以
FDS1
223
△BDE
111111
< br>S
△DEF
S
△DEA
S
△ADC
 S
△ABC
2.5
，
223232
21
而
S
△CDE
S
△ABC
10
．所以阴影部分的面 积为
12.5
．
32
11
2、(
2007
年香港 圣公会数学竞赛)如图所示，在
△ABC
中，
CPCB
，
CQC A
，
BQ
与
AP
相交于
23
点
X
，若
△ABC
的面积为
6
，则
△ABX
的面积等于 ．
C
C
Q
X
A
B
A
P
Q
X
B
C
P
Q
4
1
X
A
1
4
P
B

【解析】 方法一：连接
PQ
．
11211
由于
CPCB
，
CQCA
，所以
S
V
ABQ
S
V
ABC，
S
V
BPQ
S
V
BCQ
S
V< br>ABC
．
23326
21
由蝴蝶定理知，
AX:XPS< br>V
ABQ
:S
V
BPQ
S
V
ABC
:S
V
ABC
4:1
，
36
44122
所以
S
V
ABX
S
V
ABP
S
V
ABC
S
V
ABC
62.4
．
55255方法二：连接
CX
设
S
△CPX
1
份，根据燕尾定理 标出其他部分面积，
所以
S
△ABX
6(1144)42.4


3、如图所示，在四边形
ABCD
中，
AB3BE
，
AD 3AF
，四边形
AEOF
的面积是
12
，那么平行四边
1 5

形
BODC
的面积为________．
A
F
2
A
4
F
8
O
6
D
6
C
E
O
C
D
B
E
1

B

【解析】 连接
AO,BD
,根据燕尾定理
S
△ABO
:S
△BDO
AF:FD1:2
,
S
△AOD
:S
△BOD
AE:BE2:1
,设
S
△BEO
1
,则其他图形面积，如图所标，所以
S
BODC
2S
AEO F
21224
.

4、
ABCD
是边长为
12
厘米的正方形，
E
、
F
分别是
AB
、
BC
边的中点，
AF
与
CE
交于
G
，则四边形AGCD
的面积是_________平方厘米．
D
C
D
C< br>G
F
G
F
A
E
B
【解析】 连接
AC
、
GB
，设
S
△AGC

A
E

1
份，根据燕尾定理得
S
△AGB
1
份，
S
△BGC
1
份，则
B
S
正 方形
（111）26
份，
S
ADCG
314
份，所以
S
ADCG
12
2
6496(cm
2< br>)


5、（2009年清华附中入学测试题）如图，四边形
ABCD
是矩形，
E
、
F
分别是
AB
、
BC
上的点，且
11
AEAB
，
CFBC
，
AF
与
CE
相交于
G
，若矩形
ABCD
的面积为
120
，则
AEG
与
CGF
的面积
34
之和为 ．
A
E
G
B
FC
D
A
E
HB
D
A
E
G
D
G
FC

【解析】 (法1)如图，过
F
做
CE
的平行线交
AB于
H
，则
EH:HBCF:FB1:3
，
1
所以
AEEB2EH
，
AG:GFAE:EH2
，即
AG2G F
，
2
12231
所以
S
AEG
SABF
S
X
ABCD
10
．
33942< br>2231
1
且
EGHFECEC
，故
CGGE，则
S
CGF
1S
AEG
5
．
2
3342
所以两三角形面积之和为
10515
．
(法2)如上右图，连接
AC
、
BG
．
根据燕尾定理，< br>S
ABG
:S
ACG
BF:CF3:1
，
S
BCG
:S
ACG
BE:AE2:1
，
1
而
S
ABC
S
X
ABCD
60
，
2
3121
所以
S
ABG

，
S
A BC
6030
，
S
BCG

，
S
ABC
6020
，
32123213
11
则S
AEG
S
ABG
10
，
S
CFG
S
BCG
5
，
34
所以两个三角形的面积之和为15．
6、两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示， 三个三角形的面积 分别是
3
，
7
，
7
，
则阴影四边形的面积是多少？
B
FC
2 5

A
D
3
7
7
A
E
x+3
E
D
7
3
F
7< br>x
B
3
F
7
7
C
B
C

【解析】 方法一：遇到没有标注字母的图形，我们第一步要做的就是给图形各点标注字母，方便后面的
计算.
再看这道题，出现两个面积相等且共底的三角形．
设三角形为
ABC
，BE
和
CD
交于
F
，则
BFFE
，再连结< br>DE
．
所以三角形
DEF
的面积为3.设三角形
ADE的面积为
x
，
则
x:

33

 AD:DB

x10

:10
，所以
x15
，四边形的面积为
18
．
方法二：设
S
△ADF
x，根据燕尾定理
S
△ABF
:S
△BFC
S
△AFE
:S
△EFC
,得到
S
△AEF
x3
，再根据
向右下飞的燕子，有
(x37):7x:3
，解得
x7.5
四边形的面积为
7.57.5318


7、如下图，正方形 ABCD 的面积是a ，正三角形BPC 的面积是 b，求阴影三角形BPD 的面积．

【分析】 连接 AC交 BD于O 点，并连接PO ．如图所示，



可得P O DC ，所以三角形DPO 与三角形 CPO 面积相等(同底等高)，所以有:

8、已知四边形ABCD和CEFG都是正方形， 且正方形ABCD的边长为10厘米，那么图中阴影三角形BFD
的面积为多少平方厘米?
【分析】 连接FC，有FC平行BD，设BF与DC连接于O，那么在梯形蝴蝶中有
S
DFO
S
BCO

1
S
阴影=S
DCB
=S
ABCD
=50
2



9、如图，已知在平行四边形ABCD中，AB=16，AD=10，
长度是多少?
A
D
GF
E
BE=4，那么FC的
B
C
3 5

因
B
A< br>D
F
C
E
【分析】图中有一个沙漏，也有金字塔，但我们用沙漏就能解 决问题，
为
AB
平行于
CD
,所以
BF:FCBE:CD 4:161:4
,所以
FC10
4
8
.

14
10、四边形ABCD和四边形CEFG是两个正方形，BF与CD相交于H,已知CH:DH =1:2,
S
BCH
6
,求五边
形ABEFD的面积。 【分析】因为CH:DH=1:2，所以
S
BCH
:S
BHD
1:2
,即
S
BHD
=2×6=12

S
BCD
18
,所以正方形ABCD面积为36，BC=6
又
S
BCH
6
，所以CH=2
连接CF,由蝴蝶定理得：
S
DFH
S
BCH
6

设小正方形边长为
a
，则
2a6
得
a3


SS
W
6+3×3＋（6-3）×3÷2=49.5
ABCD
 S
W
CEFD
S
DFG
=6×

A
D
G
H
F
B
C
E
11、如图，已知正方形
A BCD
的边长为10厘米，
E
为
AD
中点，
F
为< br>CE
中点，
G
为
BF
中点，求三角形
BDG
的面积．
A
E
DA
E
O
F
G
D
F
G
B

CB
C

【分析】 设< br>BD
与
CE
的交点为
O
，连接
BE
、
DF
．
11
由蝴蝶定理可知
EO:OCS
V
BED< br>:S
V
BCD
，而
S
V
BED
S
W
ABCD
，
S
V
BCD
S
W
ABCD
，所以
42
1
EO:OCS
V
BED
:S
V
BCD
1:2
，故
EOEC
．
3
1
由于
F
为
CE
中点，所以< br>EFEC
，故
EO:EF2:3
，
FO:EO1:2
． 由蝴蝶定理可知
2
11
S
V
BFD
:S
V
BED
FO:EO1:2
，所以
S
V
BFD
S
V
BED
S
W
ABCD
，
28
那么
S
V
BGD


111
S
V
BFD
S
W
ABCD
10106.25（平方厘米）．
21616


4 5

1 2、点
E
、且
DQ
、若
AD5
，
M
分别 为直角梯形
ABCD
两边上的点，
ME
彼此平行，
CP
、< br>BC7
,
AE5
，
EB3
．求阴影部分的面积．
A
Q
E
B
P

D
M
A
Q
E
C
B
P
D
M
C

【分析】 连 接
CE
、
DE
．由于
DQ
、
CP
、
ME
彼此平行，所以四边形
CDQP
是梯形，且
ME
与该梯形的两个底平行，那么三角形
QME
与
DEM
、三角形
PME与
CEM
的面积分别相等，所以三角形
PQM
的面积与三角形
C DE
的面积相等．而三角形
CDE
的面积根据已知条件很容易求出来．
由于
ABCD
为直角梯形，且
AD5
，
BC7
,
A E5
，
EB3
，所以三角形
CDE
的面积的面
111< br>积为：

57



53

 553725
．所以三角形
PQM
的面积为25．
222



5 5