小学三年级作文我的家乡-法学专业介绍

燕尾定理




燕尾定理：
在三角形
ABC
中，
AD
，
BE，
CF
相交于同一点
O
，那么
S
ABO
:S
ACO
BD:DC
．
例题精讲
A
E
O

上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为
ABO
和
ACO
的形状很象燕子的尾巴，所以这
个定理被称为燕 尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何
一个三角形之 中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.

通过一道例题证明一下燕尾定理：
如右图，
D
是
BC
上任 意一点，请你说明：
S
1
:S
4
S
2
:S
3
BD:DC

A
S
2
E
S
3
B
S
1
S
4
D
C
F
B
D
C

【解析】 三角形
BED
与三角形
CED
同高，分别 以
BD
、
DC
为底，
所以有
S
1
:S< br>4
BD:DC
；三角形
ABE
与三角形
EBD
同高 ，
S
1
:S
2
ED:EA
；三角形
ACE
与三角形
CED
同高，
S
4
:S
3
ED:EA
，所以
S
1
:S
4
S
2
:S
3
；综上可得
S
1
:S
4
S
2
:S
3
BD:DC
.

【例 1】 如右图，三角形
ABC中，
BD:DC4:9
，
CE:EA4:3
，求
AF:FB
．
A
F
B
O
D
E
C









【巩固】如右图，三角形
ABC
中，
BD:DC3:4
，
AE:CE5:6
，求
AF:FB
.

A
F
B
O
D
E
C




【巩固】如图，
BD:DC2:3
,
AE:CE5:3
,则
AF:BF

A
E
C

F
B
D
G





【 巩固】如右图，三角形
ABC
中，
BD:DC2:3
，
EA:CE 5:4
，求
AF:FB
.
A
F
B
O
D
E
C





A

【例 2】 如图，三角形
ABC
被分成
6
个三角形，已知其中
4
个三角形的面积，问三角形
ABC
的面积是多少?
F
84
O
40
30
35
E











【例 3】 如图，三角形
ABC
的面积是
1
，
E
是
AC
的中点，点
D
在
BC
上，且
BD:DC1 :2
，
AD
与
BE
交
于点
F
．则四边形< br>DFEC
的面积等于 ．
B
D
C

A
A
A
E
B
D
F
C
B
3
3
E
F
3
12
C
D
E
F
B
D
C





【巩固】如图，已知
BDDC
，
EC2 AE
，三角形
ABC
的面积是
30
，求阴影部分面积.
A
E
FF
A
E
F
A
E

B
DCBDCBDC






【巩固】如图，三角形
ABC
的面积是
200cm
2
，
E
在
AC
上
，点
D
在
BC
上，且
AE:EC3:5
,
BD:DC2:3
，
AD
与
BE< br> 交于点
F
．则四边形
DFEC
的面积等于 ．
A
AA
E
F
B
D
C
B
F
DC
E

E
B
D
F
C







【巩固】如图，已知
BD3DC，
EC2AE
，
BE
与
CD
相交于点
O,则
△ABC
被分成的
4
部分面积各占
△ABC

面积的几分之几？
AA
1
1
E
2
4.5
D
1
C

E
O
9
O
2
13.5< br>B
D
C
B
3


11
【巩固】如图 所示，在
△ABC
中，
CPCB
，
CQCA
，
BQ
与
AP
相交于点
X
，若
△ABC
的面积为6
，
23

则
△ABX
的面积等于 ．
C
C
Q
X
A
B
A
P
Q
X
B
C
P
Q
4
1
X
A
1
4
P
B






【巩固】 两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示， 三个三角形的面积 分别是
3
，
7
，
7
，
则阴影四边形的面积是多少？
A
D
3
7
7
A
E
x+3
E
D
7
3
F
7
x
B
3
F
7
7
C
B
C






【巩固】如图，三角形
ABC
的面积是
1
，
BD2DC
，
CE2AE
，
AD
与
BE
相交于点
F
，请写出这
4
部分
的面积各是多少?
A
E
F
B< br>D
C
B
6
8
A
1
F
2
4< br>E
C
D






【巩 固】如图，
E
在
AC
上，
D
在
BC
上，且
AE:EC2:3
,
BD:DC1:2
，
AD
与
BE
交于点
F
．四边形
DFEC
的面积等于
22cm2
，则三角形
ABC
的面积 ．

AAA
1.6
E
2
F
2.4
1
2
C
D
E
F
B
D
C
B
F
D
E
B
C


【巩固】三角形
ABC
中，
C
是直角，已知
AC2
，
CD2
，
CB3
，
AMBM，那么三角形
AMN
(阴影
部分)的面积为多少？

< br>A
M
N
C
D
B
A
M
N
C< br>D
B






【例 4】 如 图所示，在
△ABC
中，
BE:EC3:1
，
D
是
AE
的中点，那么
AF:FC
．
A
F
A
F
DD







【巩固】在
ABC
中，
BD:DC3:2
，
AE:EC3:1
，求
OB:OE
？
BECBEC
AA
O
B
D
E
C

O
B
D
E
C







【巩固】在
ABC
中，
BD:DC2:1
，
AE:EC1:3
，求
OB:OE
？
A
E
O
C
B
D



【例 5】 如图9，三角形BAC的面积是1，E是AC的中点，点D在BC上，且BD:DC=1: 2，AD与BE交

A
E
F
B
D
C
于点F，则四边形DEFC的面积等于 。









【例 6】 如图1，
A BC
中，点
E
在
AB
上，点
F
在
AC上，
BF
与
CE
相交于点
P
，如果
S
四边形AEPF
S
BEP
S
CFP
4
，则
S
BPC

.
C
P
B
E
F
A





【例 7】 如图4，三角形田地中有两条小路AE和CF，交叉处为D，张大伯常走这两条 小路，他知道DF＝
DC，且AD＝2DE。则两块田地ACF和CFB的面积比是_________ __。
C
E
D
F
A
B







【例 8】 如图，长方形
ABCD
的面 积是
2
平方厘米，
EC2DE
，
F
是
DG
的中点．阴影部分的面积是多少
平方厘米?
A
F
B
G
D
E
C
B
B
A
A
3
F
3
G
1
D
D
EF
x
2
y
3
y
x
C
E
G






【例 9】 如图所示，在四边形
ABCD
中，
AB3BE
，AD3AF
，四边形
AEOF
的面积是
12
，那么平行四边形
BODC
的面积为________．

C

A
F
2
E
B
O
C
D
B
E
1
A
4
O
6
F
8
D
6
C





【例 10】
ABCD
是边长为
12
厘米的正方形，
E< br>、
F
分别是
AB
、
BC
边的中点，
AF与
CE
交于
G
，则四边
形
AGCD
的面积是_ ________平方厘米．
D
C
D
C
G
F
G
F








【例 11】 如图，正 方形
ABCD
的面积是
120
平方厘米，
E
是
AB
的中点，
F
是
BC
的中点，四边形
BGHF
的
面积是_____平方厘米．
A
D
A
D
A
E< br>B
A
E
B
E
G
H
E
G
H< br>B

F
C

B
F
C

11
【例 12】 如图，四边形
ABCD
是矩形，
E
、< br>F
分别是
AB
、
BC
上的点，且
AEAB
，
CFBC
，
AF
与
34
CE
相交于
G
，若矩形
ABCD
的面积为
120
，则
AEG
与
CGF
的面积之和为 ．
A
E
G
BF
D
A
E
H
B
D
A
E
DG
FC
B
G
FC

【例 13】 正六边形
A
1
，
A
2
，
A
3
，
A
4
，
A
5
，
A
6
的面积是
200 9
平方厘米，
B
1
，
B
2
，
B
3
，
B
4
，
B
5
，
B
6
分 别是正
六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是
C

平方厘米．
A
1
B
6
A
6
B
5
B
1
A
2
B
2
A
3
B
3
B
6
A
6
B
5
A
1
B
1
D
G
E
A
2
B
2
A
3
B
3







【例 14】 已知四边形
ABCD
，
CHFG
为正方形，
S
甲
:S
乙
1:8
，
a
与
b
是 两个正方形的边长，求
a:b?

A
a
甲
D
O< br>C
G
D
M
A
5
B
4
A
4< br>A
5
B
4
A
4
B
A
a
甲< br>O
B
C
G
乙
E
H
b
F
E< br>NH
乙
b
F







【例 15】 右图的大三角形被分成5个小三角形，其中4个的面积已经标在图中，那么，阴影三角形的面积
是 ．
2
13
4













【例 16】 如右图， 三角形
ABC
中，
AF:FBBD:DCCE:AE3:2
，且三角形
ABC
的面积是
1
，则三角
形
ABE
的面积为__ ____，三角形
AGE
的面积为________，三角形
GHI
的面积为 ______．

A
E
F
H
B
G
I
D
C

A
E
F
H
B
G
I
D
C








【巩固】 如右图，三角 形
ABC
中，
AF:FBBD:DCCE:AE3:2
，且三角形GHI
的面积是
1
，求三角形
ABC
的面积．
AA< br>F
I
B
H
G
D
E
F
I
C< br>B
H
G
D
E
C









【巩固】如图，
ABC
中< br>BD2DA
，
CE2EB
，
AF2FC
，那么
ABC
的面积是阴影三角形面积的
倍．
A
D
F
H
B
E
C
B
I
C
D
G
F
A


E

【巩固】如图在
△ABC< br>中，
A
△GHI的面积
DCEAFB1
的值．

,求
△ABC的面积
DBECFA2
A
EE
H
F
G
D
C
B
I
G
D
C
H
F
I
B

【巩固】如图在
△ABC
中，
△GHI的面积
DCEAFB1
的值．

,求
△ABC的面积
DBECFA3

A
E
H
F
I
B
G
D
C
B
F
I
G
D
C
H
A
E





【巩固】如右图，三角形
ABC
中，
AF: FBBD:DCCE:AE4:3
，且三角形
ABC
的面积是
74，求角形
GHI

的面积．
AA

F
IB
H
G
D
E
F
I
C
B
HG
D
E
C







【例 17】 三角形ABC的面积为15平方厘米，D为AB中点，E为AC中点，F为B C中点，求阴影部分的面
积．
AA

D
E
D
E
M
N
B


【例 18】 如右图，
△ABC
中，
G
是
AC
的 中点，
D
、
E
、
F
是
BC
边上的四等分点 ，
AD
与
BG
交于
M
，
AF
与
B G
交于
N
，已知
△ABM
的面积比四边形
FCGN
的面积大
7.2
平方厘米，则
△ABC
的面积是多
少平方厘米？ < br>F
C
B
F
C
A
G
M
F
C< br>B
D
E
A
G
N
M
B
D
E< br>N
F
C

【巩固】如图，
ABC
中，点
D
是边
AC
的中点，点
E
、
F
是边
BC的三等分点，若
ABC
的面积为1，那么
四边形
CDMF
的面 积是_________．

A
D
N
C
B

A
D
N
B
E
MM
F
E
F
C





【例 19】 如图，等腰直角三角形DEF的斜边在等腰直角三角形ABC的斜 边上，连接AE、AD、AF，于是
整个图形被分成五块小三角形．图中已标出其中三块的面积，那么△ ABC的面积是________．
（36）







【例 20】 如图，三角形
ABC
的面积是
1
，
BDDEEC
，
CFFGGA
，三角形
ABC
被分成
9
部分，请
写出这
9
部分的面积各是多少?
A

A
G
G
P
Q
F
B
B
F
N
D
EC
M



【巩固】如图，
ABC
的面积为1，点
D
、
E
是BC
边的三等分点，点
F
、
G
是
AC
边的三等 分点，那么四
边形
JKIH
的面积是多少？
DEC
C
F< br>G
K
A
I
H
B
A
J
D
E< br>G
K
I
F
C
J
D
E
H
B< br>
【例 21】 如右图，面积为
1
的
△ABC
中，
BD:DE:EC1:2:1
，
CF:FG:GA1:2:1
，< br>AH:HI:IB1:2:1
，
求阴影部分面积．

A
H
G
H
N
M
F
P
E
C
A
G
I
B
DE
F
C
B
I
D







【例 22】 如图，面积为l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA 的三等分点,求阴影部
分面积.
A
D
E
I
H
E
Q
B
F
G
C
B
F
G
C
D
P
A
I
M
H

N









【例 23】 如图，面积为l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA 的三等分点,求中心六
边形面积.
A
D
E
I
H
E
Q
B
F
G
C
B
M
F
S
G
C
D
A
I
P
H

N
R