主题婚礼布置-和寂寞说分手

燕尾定理
例题精讲



燕尾定理：

在三角形
ABC
中,
AD
,
BE
,
CF
相交于同一点
O
,
那么,
S
ABO
:S
ACO
BD:DC

A
E
O
B

上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的 手段,因为
ABO
和
ACO
的形状很象燕子的尾巴,所以
这个定 理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用,它的特殊性在于,它可以存在于任何
一 个三角形之中,为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.

F
D
C

通过一道例题 证明燕尾定理：

如 右图,
D
是
BC
上任意一点,请你说明：
S
1
:S
4
S
2
:S
3
BD:DC

A
S
2
E
S
3
B
S
1
S
4
D
C

【解析】 三角形
BED
与三角形
CED
同高,分别以
BD
、
DC
为底,所以有
S
1
:S< br>4
BD:DC
；
三角形
ABE
与三角形
EBD< br>同高,
S
1
:S
2
ED:EA
；
三角形
ACE
与三角形
CED
同高,
S
4
:S
3
ED:EA
,所以
S
1
:S
4
S
2< br>:S
3
；

综上可得,
S
1
:S
4
S
2
:S
3
BD:DC
.

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【例 1】 （2009年第七届希 望杯五年级一试试题）如图,三角形
ABC
的面积是
1
,
E
是
AC
的中点,点
D
在
BC
上,且
BD:DC1 :2
,
AD
与
BE
交于点
F
．则四边形
D FEC
的面积等于 ．
A
A
A
E
B
D
F
C
B
3
3
E
F
3
12
C
D

E
F
B
D
C
【解析】 方法 一：连接
CF
,
S
BD1
S
△ABF
AE
根据燕尾定理,
△ABF

,
1
,
S
△ ACF
DC2S
△CBF
EC
设
S
△BDF
1< br>份,则
S
△DCF
2
份,
S
△ABF
3
份,
S
△AEF
S
△EFC
3
份,如图所标
55
所以
S
DCEF
S
△ABC

< br>1212
11
方法二：连接
DE
,由题目条件可得到
S
△ABD
S
△ABC

,
33
BF
S
△ABD
1
1121

,
S
△ADE
S
△ADC
S
△ABC

,所以
FES
△ADE
1
2233
1111111
S△DEF
S
△DEB
S
△BEC
S
△ABC

,
22323212
2115
而
S
△ CDE
S
△ABC

．所以则四边形
DFEC
的面积 等于．
32312

【巩固】如图,已知
BDDC
,
E C2AE
,三角形
ABC
的面积是
30
,求阴影部分面积.
A
E
FF
A
E
F
A
E


B
DCBDCBDC

【解析】 题中条件只有三角形面积给出具体数值,其 他条件给出的实际上是比例的关系,由此我们可以初步判
断这道题不应该通过面积公式求面积. 又因为阴影部分是一个不规则四边形,所以我们需要对它进
行改造,那么我们需要连一条辅助线, (法一)连接
CF
,因为
BDDC
,
EC2AE
, 三角形
ABC
的面积是30,
11
所以
S
△ABE
S
△ABC
10
,
S
△ABD
S
△ABC
15
．
32
S
AE1
S
△ABF
BD< br>根据燕尾定理,
△ABF

,
1
,
S
△CBF
EC2S
△ACF
CD

1
所 以
S
△ABF
S
△ABC
7.5
,
S
△BFD
157.57.5
,
4
所以阴影部分面积是
30107.512.5
．
1
(法二)连接
DE
,由题目条件可得到
S
△ABE
S
△ABC
10
,
3
AF
S
△ABE
1
112

, S
△BDE
S
△BEC
S
△ABC
10
,所以
FDS
△BDE
1
223
111111

S
△DEF
S
△DEA
S
△ADC
 S
△ABC
2.5
,
223232
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21
而
S< br>△CDE
S
△ABC
10
．所以阴影部分的面积为
1 2.5
．
32

【巩固】如图,三角形
ABC
的面积是< br>200cm
2
,
E
在
AC
上
,点
D
在
BC
上,且
AE:EC3:5
,
BD:DC2:3
,
AD
与
BE

交于点
F
．则四边形
DFEC
的面积等于 ．
A
AA
E
F
B
D
C
B
F
DC
E
E
B
D
F
C
【解析】 连接
CF
,


根据燕尾定理,
S
△ABF
BD26
S
△ABF
AE36

,

,
S
△ACF
DC39S
△CBF
EC510
设
S< br>△ABF
6
份,则
S
△ACF
9
份,
S
△BCF
10
份,
S
△EFC
9
5453< br>份,
S
△CDF
106
份,所以
35823S
DCFE
200(6910)(
4545
6)8( 6)93(cm
2
)

88

【巩固】如图,已知
BD3DC
,
EC2AE
,
BE
与
CD
相交 于点
O
,则
△ABC
被分成的
4
部分面积各占
△A BC

面积的几分之几？
AA
1
1
E
2
4.5
D
1
C
E
O
9
O
2
13. 5
B
D
C
B
3

【解析】 连接
CO,设
S
△AEO
1
份,则其他部分的面积如图所示,所以
S< br>△ABC
1291830
份,所以四部分
124.5139313 .59
按从小到大各占
△ABC
面积的
,

,,
30

11
【巩固】(
2007
年香港 圣公会数学竞赛)如图所示,在
△ABC
中,
CPCB
,
CQC A
,
BQ
与
AP
相交于点
23
X
,若△ABC
的面积为
6
,则
△ABX
的面积等于 ．
C
C
Q
X

【解析】 方法一：连接
PQ
．
11
由于
CPCB
,
CQ CA
,所以
S
23
C
P
B
A
Q
X
B
P
Q
4
1
X
A
1
4
P
A
B

．
211
,
SSSS
A BQABCBPQBCQ
326
21
由蝴蝶定理知,
AX:XPS
ABQ
:S
BPQ
S
ABC
:S
ABC
4:1
,
36
44122
所以
S
ABX
S
A BP
S
ABC
S
ABC
62.4
．
55255
方法二：连接
CX
设
S
△CPX
1
份 ,根据燕尾定理标出其他部分面积,
ABC
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所以
S
△ABX
6(1144)42.4


【巩固】如图,三角形
ABC
的面积是
1
,
BD2DC< br>,
CE2AE
,
AD
与
BE
相交于点
F< br>,请写出这
4
部分的面积
各是多少?
A
E
F
B
D
C
B
6
8
A
1
F
2
4
E
C
D

【解析】 连接
CF
,设
S
△AEF
1
份,则其他几部分面积可以有燕尾定理标出如图所示,所以
16 28242
S
△AEF

,
S
△ABF
,
S
△BDF

,
S
FDCE


2121721217

【巩固】如图,
E
在
AC
上,
D
在
BC
上,且
AE:EC2:3
,
BD: DC1:2
,
AD
与
BE
交于点
F
．四边形DFEC
的面积等于
22cm
2
,则三角形
ABC
的面 积 ．

AAA
1.6
E
2
F
2. 4
1
2
C
D
E
F
B
D
C
B
F
D
E
B
C
【解析】 连接
CF
,根据 燕尾定理,
S
△ABF
BD1
S
△ABF
AE2
 
,

,
S
△ACF
DC2
S
△CBF
EC3

设
S
△BDF
1
份,则
S
△DCF
2
份 ,
S
△ABF
2
份,
S
△AFC
4
份 ,
S
△AEF
4
份,
S
△EFC
4
所以
S
△ABC
2
1.6

23
3
2.4
份,如图所标,所以
S
EFDC
22.44.4
份,
S
△ABC
2349
份
23
224.4945(cm
2
)


【巩固】三角形
ABC
中,
C
是直角,已知
AC2
,CD2
,
CB3
,
AMBM
,那么三角形
AMN
(阴影部分)的
面积为多少？
A
M
N
C
D
B
A
M
N
C
D
B

【解析】 连接
BN
．
△ABC
的面积为
3223

根据燕尾定理,
△ACN:△ABNCD:BD2:1
；
同理
△CBN:△CANBM:AM1:1

设
△AMN
面积为1份,则
△MNB
的面积也是1份,所以
△ANB
的面积是
112
份,而
△ACN
的面积
就是
224
份,△CBN
也是4份,这样
△ABC
的面积为
441110
份,所以
△AMN
的面积为
31010.3
．

【巩固】如图,长方形
ABCD
的面积是
2
平方厘米,
EC2DE
,
F
是
DG
的中点．阴影部分的面积是多少平方
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厘米?
A
F
BG
D
E
C
B
B
A
A
3
F3
G
1
D
D
EF
x
2
y
3< br>y
x
C
E
G

C
【解析】 设
S< br>△DEF
1
份,则根据燕尾定理其他面积如图所示
S
阴影

55
S
△BCD

平方厘米.
1212

【例 2】 如图所示,在四边形
ABCD
中,
AB3BE
,AD3AF
,四边形
AEOF
的面积是
12
,那么平行四边形
BODC
的面积为________．
A
F
2
E
B
O
C
D
B
E
1
A
4
O
6
F
8
D
6
C

【解析】 连接< br>AO,BD
,根据燕尾定理
S
△ABO
:S
△BDO
AF:FD1:2
,
S
△AOD
:S
△BOD
AE: BE2:1
,设
S
△BEO
1
,则其他图形面积,如图所标,所 以
S
BODC
2S
AEOF
21224
.

【例 3】
ABCD
是边长为
12
厘米的正方形,E
、
F
分别是
AB
、
BC
边的中点,
AF
与
CE
交于
G
,则四边形
AGCD
的面积是_ ________平方厘米．
D
C
D
C
G
F
G< br>F
A
E
B
【解析】 连接
AC
、
GB
,设
S
△AGC


（111）26
1
份,根据燕尾定理得
S
△AGB
1
份,
S
△BGC
1
份,则
S
正方形

A
E
B
份,
S
ADCG
314
份,所以
S
ADCG
12
2
6496(cm
2)


【例 4】 如图,正方形
ABCD
的面积是
1 20
平方厘米,
E
是
AB
的中点,
F
是
B C
的中点,四边形
BGHF
的面积
是_____平方厘米．
A< br>D
A
D
E
G
H
E
G
H

【解析】 连接
BH
,根据沙漏模型得
BG:GD1:2
,设S
△BHC
1
份,根据燕尾定理
S
△CHD
2份,
S
△BHD
2
份,
1277
（122)2 10
份,
S
BFHG

,所以
S
BFHG< br>1201014
(平方厘米). 因此
S
正方形

2366

【例 5】 如图所示,在△ABC
中,
BE:EC3:1
,
D
是
AE
的中点,那么
AF:FC
．
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B
F
C

B
F
C

A
F
A
F
DD
BECBEC
【解析】 连接
CD
．
由于
S
△ABD
:S
△BED
1:1
,
S
△BED
:S
△BCD
3:4
, 所以
S
△ABD
:S
△BCD
3:4
,
根据燕 尾定理,
AF:FCS
△ABD
:S
△BCD
3:4
．

【巩固】在
ABC
中,
BD:DC3:2
,
AE:EC3:1
,求
OB:OE
？

AA
O
B
【解析】 连接
OC
．
E
D
C

O
B
D
E
C

因为
BD:DC3:2< br>,根据燕尾定理,
S
AOB
:S
AOC
BD:BC3 :2
,即
S
AOB

又
AE:EC3:1
,所 以
S
AOC

所以
OB:OES
AOB
:S
AOE
3
S
AOC
；
2
4334
S
AOE
．则
S
AOB
S
AOC
SAOE
2S
AOE
,
3223
2:1
．

【巩固】在
ABC
中,
BD:DC2:1
,
AE:EC1:3
,求
OB:OE
？
A
E
O
C

【解析】 题目求的是边的比值,一般来说可以 通过分别求出每条边的值再作比值,也可以通过三角形的面积比
来做桥梁,但题目没告诉我们边的长度, 所以应该通过面积比而得到边长的比．本题的图形一看就联
想到燕尾定理,但两个燕尾似乎少了一个,因 此应该补全,所以第一步要连接
OC
．
连接
OC
．
B
D
A
E
O
C

因为
BD:DC 2:1
,根据燕尾定理,
S
AOB
:S
AOC
BD :BC2:1
,即
S
AOB
2S
AOC
；
又
AE:EC1:3
,所以
S
AOC
4S
AOE
．则
S
AOB
2S
AOC
24S
AO E
8S
AOE
,
所以
OB:OES
AOB
:S
AOE
8:1
．

【例 6】 （2009年清华附中 入学测试题）如图,四边形
ABCD
是矩形,
E
、
F
分别是
AB
、
BC
上的点,且
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B
D

11
AEAB
,
CFBC
,
AF
与
CE
相交于
G,若矩形
ABCD
的面积为
120
,则
AEG
与CGF
的面积之
34
和为 ．
A
E
G
B
F
D
A
E
H
B
D
A
E
D
G
FC
B
G
FC

【解析】 (法1)如图,过
F
做
CE
的平行线交
AB
于
H< br>,则
EH:HBCF:FB1:3
,
1
所以
AEEB 2EH
,
AG:GFAE:EH2
,即
AG2GF
, 2
12231
所以
S
AEG
S
ABF
S
ABCD
10
．
33942
22311
且< br>EGHFECEC
,故
CGGE
,则
S
CGF< br>1S
AEG
5
．
33422
所以两三角形面积之和为
10515
．
(法2)如上右图,连接
AC
、
BG
．
根据燕尾定理,< br>S
ABG
:S
ACG
BF:CF3:1
,
S
BCG
:S
ACG
BE:AE2:1
,
1
而
S
ABC
S
ABCD
60
,
2
3121
所以
S
ABG

,
S
ABC
6030
,
S
BCG

,
S< br>ABC
6020
,
32123213
11
则
S
AEG
S
ABG
10
,
S
 CFG
S
BCG
5
,
34
所以两个三角形的面积之和为15．

【例 7】 如右图,三角形< br>ABC
中,
BD:DC4:9
,
CE:EA4:3
,求< br>AF:FB
．
A
F
B
O
D
E
C

C

【解析】 根据燕尾定理得
S
△AOB
:S
△AOC
BD :CD4:912:27


S< br>△AOB
:S
△BOC
AE:CE3:412:16

（都有
△AOB
的面积要统一,所以找最小公倍数）
所以
S
△AOC
:S
△BOC
27:16AF:FB

【点评】本题 关键是把
△AOB
的面积统一,这种找最小公倍数的方法,在我们用比例解题中屡见不鲜,如果 能
掌握它的转化本质,我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！

【巩固】如 右图,三角形
ABC
中,
BD:DC3:4
,
AE:CE5:6
,求
AF:FB
.
A
F
B
O
D
E
C

【解析】 根 据燕尾定理得
S
△AOB
:S
△AOC
BD:CD3:415 :20


S
△AOB
:S
△BOC
AE:CE5:615:18

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（都有
△AOB
的面积要统一,所以找最小公倍数）
所以
S
△AOC
:S
△BOC
20:1810:9AF:FB


【巩固】如图,
BD:DC2:3
,
AE:CE5:3
,则AF:BF

A
E
C
F
B
D
G
【解析】 根据燕尾定理 有
S
△ABG
:S
△ACG
2:310:15
,
S
△ABG
:S
△BCG
S
△ACG
:S
△BC G
15:65:2AF:BF


5:310:6
,所以

【巩固】如右图,三角形
ABC
中,
BD:DC2:3
,
EA:CE5:4
,求
AF:FB< br>.
A
F
B
O
D
E
C

【解析】 根据燕尾定理得
S
△AOB
:S
△AOC
BD :CD2:310:15


S
△AOB
:S
△BOC
AE:CE5:410:8

（都有
△AOB
的面积要统一,所以找最小公倍数）
所以
S
△AOC
:S
△BOC
15:8AF:FB

【点评】本题关 键是把
△AOB
的面积统一,这种找最小公倍数的方法,在我们用比例解题中屡见不鲜,如果能
掌握它的转化本质,我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！

【例 8】 (2008年“学而思杯”六年级数学试题)如右图,三角形
ABC
中,
AF:FB BD:DCCE:AE3:2
,
且三角形
ABC
的面积是
1,则三角形
ABE
的面积为______,三角形
AGE
的面积为___ _____,三角形
GHI
的面积为______．
A
E
F
H
B
G
I
D
C

A
E
F
H
B
G
I
D
C

【分析】 连接
AH
、
BI
、
CG
．
2 22
AC
,故
S
ABE
S
ABC

；
555
根据燕尾定理,
S
ACG
:S
ABG
CD:BD2:3
,
S
BCG
:S
ABG
CE :EA3:2
,所以
49
S
ACG
:S
ABG:S
BCG
4:6:9
,则
S
ACG

,
S
BCG

；
1919
2248
那么
S
AGE
S
AGC

；
551995
9
同样分析可得
S
ACH

,则
EG:EHS
ACG
:S
ACH
4:9
,
EG:EBS
AC G
:S
ACB
4:19
,所以
19
EG:GH:HB 4:5:10
,同样分析可得
AG:GI:ID10:5:4
,
5521 5511
所以
S
BIE
S
BAE

,< br>S
GHI
S
BIE

．
1
由于
CE:AE3:2
,所以
AE
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【巩固】 如右图,三角形
ABC
中,
AF:FBBD:DCCE:AE3:2
,且三角形
GHI
的面积是
1
,求三角形
ABC
的面积．
AA
F< br>I
B
H
G
D
E
F
I
C
B< br>H
G
D
E
C

【解析】 连接BG,
S
△AGC

6
份
根据燕尾定理,
S
△AGC
:S
△BGC
AF:FB3:26:4
,
S
△ABG
:S
△AGC
BD:DC3:29:6

S
6
得
S
△BGC
4
(份),
S
△ABG
9
(份),则
S
△ABC
19
(份),因此
△ AGC

,
S
△ABC
19
同理连接AI、CH得
所以
S
△ABH
6
S
6

,
△BIC< br>
,
S
△ABC
19S
△ABC
19
S< br>△GHI
196661


S
△ABC
19 19
三角形GHI的面积是1,所以三角形ABC的面积是19

【巩固】(200 9年第七届“走进美妙的数学花园”初赛六年级)如图,
ABC
中
BD2DA,
CE2EB
,
AF2FC
,
那么
ABC
的面积是阴影三角形面积的 倍．
A
D
G
F
H
B
E
I
C

A
D
G
F
H
B
E
I
C

【分析】 如图,连接
AI
．
根据燕尾定理,
S
BCI
:S
ACI
BD:AD2:1
,
S
BCI
:S
ABI
CF:AF1:2
,
所以,
S
ACI
:S
BCI
:S
ABI
1:2:4
,
22
那么,
S
BCI
S
ABC
S
ABC．
1247
同理可知
ACG
和
ABH
的面积 也都等于
ABC
面积的
2
,所以阴影三角形的面积等于
ABC< br>面积
7
21
的
13
,所以
ABC
的 面积是阴影三角形面积的7倍．
77

【巩固】如图在
△ABC
中 ,
A
E
H
F
I
B
G
D
C
B
F
I
G
D
C
H
△GHI的面积
DCEA FB1
的值．

,求
△ABC的面积
DBECFA2
A
E

page 7 of 18

【解析】 连接BG,设
S
△ BGC

1份,根据燕尾定理
S
△AGC
:S
△BGCAF:FB2:1
,
S
△ABG
:S
△AGC
B D:DC2:1
,
S
2
得
S
△AGC
2
(份),
S
△ABG
4
(份),则
S
△ABC
7
(份),因此
△AGC

,同理连接AI、CH得
S
△ ABC
7
S
△ABH
2
S
△BIC
2
< br>,

,
S
△ABC
7S
△ABC
7
所以
S
△GHI
72221


S
△A BC
77
【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的,那么在同样的位置上的图形, 虽然形状千变万化,但面
积是相等的,这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的,即再重复一次解题 思路,因此我们有对称
法作辅助线.

△GHI的面积
DCEAFB1
【巩固】如图在
△ABC
中,的值．

,求
△ABC的面积
DBECFA3
A
E
H
F
I
B
G
D
C
B
F
I
G
D
C
H
A
E

【解析】 连接BG,设
S
△BGC

1份,根据燕尾定理
S
△AGC
:S
△ BGC
AF:FB3:1
,
S
△ABG
:S
△AGC< br>BD:DC3:1
,
S
3
得
S
△AGC
3
(份),
S
△ABG
9
(份),则
S
△AB C
13
(份),因此
△AGC

,同理连接AI、CH得
S
△ABC
13
S
△ABH
S
3
13
,
△BIC

,
S
△ABC
S
△ABC
1 3
所以
S
△GHI
133334


S
△ABC
1313

【巩固】如右图,三角形
ABC中,
AF:FBBD:DCCE:AE4:3
,且三角形
ABC
的 面积是
74
,求角形
GHI

的面积．
AA
F< br>I
B
H
G
D
E
F
I
C
B< br>H
G
D
E
C

【解析】 连接BG,
S
△AGC

12份
根据燕尾定理,
S
△AGC
:S
△BGC
AF:FB4:312:9
,
S△ABG
:S
△AGC
BD:DC4:316:12

S
12
得
S
△BGC
9
(份),
S
△AB G
16
(份),则
S
△ABC
9121637
( 份),因此
△AGC

,
S
△ABC
37
S12
S
△BIC
12
同理连接AI、CH得
△ABH

,,

S
△ABC
37S
△ABC
37
所以
S
△GHI
371212121


S
△ABC
3737
三角形ABC的面积是
74
,所以三角形GHI的面积是
74

1
2

37
page 7 of 18

【例 9】 两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形,如图所示, 三个三角形的面积 分别是
3
,
7
,
7
,则
阴影四边形的面积是多少？
A
D
3
7
7
A
E
x+3
E
D
7
3
F
7
x
B
3
F
7
7
C
B
C

【解析】 方法一：遇到没有标注字母的图形,我们第一步要做的就是给图形各点标注字母,方便后面的计算.
再看这道题,出现两个面积相等且共底的三角形．
设三角形为
ABC
,BE
和
CD
交于
F
,则
BFFE
,再连结< br>DE
．
所以三角形
DEF
的面积为3.设三角形
ADE的面积为
x
,
则
x:

33

 AD:DB

x10

:10
,所以
x15
,四边形的面积为
18
．
方法二：设
S
△ADF
x,根据燕尾定理
S
△ABF
:S
△BFC
S
△AFE
:S
△EFC
,得到
S
△AEF
x3
,再根据 向右下飞
的燕子,有
(x37):7x:3
,解得
x7.5
四边形的面积为
7.57.5318


【巩固】右图的大三角形被分 成5个小三角形,其中4个的面积已经标在图中,那么,阴影三角形的面积
是 ．
2
13
4

【解析】 方法一：整个题目读完,我们没有发现任何与 边长相关的条件,也没有任何与高或者垂直有关系的字
眼,由此,我们可以推断,这道题不能依靠三角形 面积公式求解.我们发现右图三角形中存在一个比例
关系：
2:S
阴影
< br>
13

:4
,解得
S
阴影
2
.
:S
阴影
4）1:3
,解得
S
阴影
2< br>. 方法二：回顾下燕尾定理,有
2（

【例 10】 如图,三角形
ABC
被分成
6
个三角形,已知其中
4
个三角形的面积,问三角形< br>ABC
的面积是多
少?
A
F
84
O
40
30
35
E

【解析】 设
S
△BOF
x
,由题意知
BD:DC4: 3
根据燕尾定理,得
33
S
△ABO
:S
△ACO
S
△BDO
:S
△CDO
4:3
,所以
S
△ ACO
(84x)63x
,
44
3
再根据
S< br>△ABO
:S
△BCO
S
△AOE
:S
△COE< br>,列方程
(84x):(4030)(63x35):35
解得
x 56

4
S
△AOE
:35(5684):(4030),所以
S
△AOE
70

所以三角形ABC的面积是
844030355670315


【例 11】 三角形ABC的面积为15平方厘米,D为AB中点,E为AC中点,F为BC中点,求 阴影部分的面
积．
B
D
C
page 7 of 18

AA
D
E
D
E
M
N
B
F
C
B
F
C

【解析】 令BE与CD的交点为M,CD与EF的交点为N,连接AM,BN．
在
△ABC
中,根据燕尾定理,
S
△ABM
:S
△BCM
A E:CE1:1
,
S
△ACM
:S
△BCM
AD:BD 1:1
,
1
所以
S
△ABM
S
△ACMS
△BCN
S
△ABC

3
11
由于S
△AEM
S
△AMC
S
△ABM
S,所以
BM:ME2:1

22
在
△EBC
中,根据燕尾定理,
S
△BEN
:S
△CEN
BF:CF1:1S
△CEN
:S
△CBN
ME:MB1:2

设
S
△CEN1
(份),则
S
△BEN
1
(份),
S
△ BCN
2
(份),
S
△BCE
4
(份),
1 111
所以
S
△BCN
S
△BCE
S
△ABC
,
S
△BNE
S
△BCE
S
△ABC
,因为
BM:ME2:1
,F为BC中点,
2448
22111111< br>所以
S
△BMN
S
△BNE
S
△ABC
S
△ABC
,
S
△BFN
S
△BNC
 S
△ABC
,
338122248
55

11

所以
S
阴影




S
△ABC
S
△ABC
153.125
(平方厘米)
2424

128


【例 12】 如右图,
△ ABC
中,
G
是
AC
的中点,
D
、
E、
F
是
BC
边上的四等分点,
AD
与
BG交于
M
,
AF
与
BG
交于
N
,已知< br>△ABM
的面积比四边形
FCGN
的面积大
7.2
平方厘米, 则
△ABC
的面积是多少
平方厘米？
A
G
M
F< br>C
B
D
E
A
G
N
M
B
D< br>E
N
F
C

【解析】 连接
CM
、
CN
．
1
根据燕尾定理,
S
△ABM
:S
△CBM
AG:GC1:1
,
S
△ABM
:S
△ACM
BD:CD1:3
,所以
S
△ABMS
△ABC
；
5
再根据燕尾定理,
S
△ABN:S
△CBN
AG:GC1:1
,所以
S
△ABN
:S
△FBN
S
△CBN
:S
△FBN
4:3
,所以
AN:NF4:3
,那么
1
根据题意,有
S
△AB C
5
S
△ANG
1
515
42

2


,所以
S
FCGN


1

S
△AFC
S
△ABC
S
△ABC
． 7428
S
△AFC
2437

7

5S
△ABC
7.2
,可得
S
△ABC
336(平方厘米)
28

【巩固】(2007年四中分班考试题)如图,
 ABC
中,点
D
是边
AC
的中点,点
E
、
F
是边
BC
的三等分点,若
ABC
的面积为1,那么四边形
CDMF
的面积是_________．
A
D
N
C
B

A
D
N
B
E
MM
F
E
F
C

page 7 of 18

【解析】 由于点
D
是边AC
的中点,点
E
、
F
是边
BC
的三等分点, 如果能求出
BN
、
NM
、
MD
三段的比,那
么所分 成的六小块的面积都可以求出来,其中当然也包括四边形
CDMF
的面积．
连接
CM
、
CN
．
根据燕尾定理,
S
 ABM
:S
ACM
BF:CF2:1
,而
S
ACM
2S
ADM
,所以
S
ABM
2S
ACM
4S
ADM
,那么
4
BM4DM
,即
BM BD
．
5
BMBF4214147
那么
S
BMF

．
S
BCD

,
S
四边形CDMF
 
BDBC5321521530
1111
另解：得出
S
ABM< br>2S
ACM
4S
ADM
后,可得
S
ADM
S
ABD

,
55210
117
则S
四边形CDMF
S
ACF
S
ADM
< br>．
31030

【例 13】 如图,三角形
ABC
的面积 是
1
,
BDDEEC
,
CFFGGA
,三角形ABC
被分成
9
部分,请写
出这
9
部分的面积各是多少 ?
A
A
G
G
P
Q
F
B
B
F
N
D
EC
M

【解析】 设BG与AD交于点P, BG与AE交于点Q,BF与AD交于点M,BF与AE交于点N．连接
CP,CQ,CM,CN． < br>根据燕尾定理,
S
△ABP
:S
△CBP
AG:GC1: 2
,
S
△ABP
:S
△ACP
BD:CD1:2
,设
S
△ABP
1
(份),则
1
S
△ABC< br>1225
(份),所以
S
△ABP


5< br>211213121
同理可得,
S
△ABQ

,
S< br>△ABN

,而
S
△ABG

,所以
S△APQ

,
S
△AQG

．
72 375353721
31
同理,
S
△BPM
S
△BDM< br>
,所以
3521
1
,
S
四边形MNED
 
,
S
四边形NFCE
S
四边形
PQMN

,
2735726
1115
S
四边形GFNQ


321642

【巩固】如图,
ABC
的面积 为1,点
D
、
E
是
BC
边的三等分点,点
F
、
G
是
AC
边的三等分点,那么四边形
JKIH
的面积是 多少？
DEC
C
F
G
K
A
I
H
B

C
D
E
A
G
K
I
H
B

J
F
J
D
E
【解析】 连接
CK
、
CI
、
CJ
．
根据燕尾定理,
S
ACK
:S
ABK
CD:BD1:2
,
SABK
:S
CBK
AG:CG1:2
,
1111所以
S
ACK
:S
ABK
:S
CBK
 1:2:4
,那么
S
ACK

,
S
AGK< br>S
ACK

．
1247321
page 7 of 18

类似分析可得
S
AGI

2
．
15
1
．
4
又
S
ABJ
:S
CBJ
AF:CF2:1
,
S
ABJ
:S
ACJ
BD:CD2:1
,可得
S
ACJ

那么,
S
CGKJ

1117

．
42184
根据对 称性,可知四边形
CEHJ
的面积也为
S
CGKJ
2S
AGI
S
ABE
17
,那么四边形
JKIH
周围的图 形的面积之和为
84
172161619
2
,所以四边形
JKIH
的面积为
1
．
84153707070

【例 14】 如右图,面积为
1
的
△ABC
中,
BD:D E:EC1:2:1
,
CF:FG:GA1:2:1
,
AH:HI:IB 1:2:1
,
求阴影部分面积．
A
H
G
H
N< br>M
F
P
E
C
A
G
I
B
DE
F
C
B
I
D

【解析】 设
IG
交
HF
于
M
,
IG
交
HD
于
N< br>,
DF
交
EI
于
P
．连接
AM
,

IF
．
9
∵
AI:AB3:4
,
AF:AC3:4
,
S
△AI F
S
△ABC

16
∵
S
△FIM
:S
△AMF
IH:HA2
,
S
△FIM
:S
△AIM
FG:GA2
,
193
∴
S
△AIM
S
△AIF
S
△ABC
∵
AH:AI1:3
∴
S
△AHM
S
△ABC
,
46464
3
∵
AH:AB1:4

AF:AC3:4
∴
S
△AHF
S
△ABC
．
16
3733
同理
S
△CFD
S
△BDH
S
△ABC
∴
S
△FDH
S
△ABC

HM:HF:1:4
,
16166416
∵
AI:AB3:4,AF:AC3:4
,
∴
IF∥BC
,
又∵
IF:BC3:4,DE:BC1:2
,
∴
DE:IF2:3,DP:PF2:3
,
同理
H N:ND2:3
,∵
HM:HF1:4
,∴
HN:HD2:5
,
177
∴
S
△HMN
S
△HDF

．
S
△ABC

10160160
7
同理
6
个小阴影三角形的面积均为．
160
721
阴影部分面积
6
．
16080

【例 15】 如图,面积为l的三角形ABC中,D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA 的三等分点,求阴影
部分面积.
page 7 of 18

A
D
E
I
H
E
Q
B
F
G
C
B
F
G
C
D
P
A
I
M
H
N

【解析】 三角形在开会,那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！
令BI与C D的交点为M,AF与CD的交点为N,BI与AF的交点为P,BI与CE的交点为Q,连接AM、
B N、CP
⑴求
S
四边形ADMI
：在
△ABC
中,根据燕 尾定
理,
S
△ABM
:S
△CBM
AI:CI1:2S
△ACM
:S
△CBM
AD:BD1:2

设
S
△ABM
1
(份),则
S
△CBM
2
(份) ,
S
△ACM
1
(份),
S
△ABC
4
(份),
1111
所以
S
△ABM
S
△ACM
S
△ABC
,所以
S
△ADM
S
△ABM
 S
△ABC
,
S
△AIM
S
△ABC
,
431212
111
所以
S
四边形ADMI
()S
△ ABC
S
△ABC
,
12126
1
同理可得另外两个顶 点的四边形面积也分别是
△ABC
面积的
6
⑵求
S
五边形 DNPQE
：在
△ABC
中,根据燕尾定理
S
△ABN
:S
△ACN
BF:CF1:2S
△ACN
:S
△BCN
 AD:BD1:2
,
11111
所以
S
△ADN
S< br>△ABN
S
△ABC
S
△ABC
,同理
S△BEQ
S
△ABC

3372121
在
△ABC< br>中,根据燕尾定理
S
△ABP
:S
△ACP
BF:CF1 :2
,
S
△ABP
:S
△CBP
AI:CI1:2
1
所以
S
△ABP
S
△ABC

5
1

11

11
S
△ABC
所以
S
五边形DNPQE
S
△ABP
S
△ADN
S
△BEP




S
△ABC

52121105

11
同理另外两个五边形面积是
△ABC面积的
105
11113
所以
S
阴影
13

3
610570

【例 16】 如图,面积为l的三角形ABC中,D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA 的三等分点,求中心
六边形面积.
A
D
E
I
H
E
Q
B
F
G
C
B
M
F
S
G
C
D
A
I
P
H
N
R
【解析】 设深黑色六个三角形的顶点分别为N、R、P、S、M、Q,连接CR
在
△ABC
中 根据燕尾定理,
S
△ABR
:S
△ACR
BG:CG.2:1< br>,
S
△ABR
:S
△CBR
AI:CI1:2


222
所以
S
△ABR
S
△ABC
, 同理
S
△ACS
S
△ABC
,
S
△CQB
S
△ABC

777
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所以
S
△RQS
1 
同理
S
△MNP

2221


7777
1

7
11131


777010
根据容斥原理,和上题结果
S
六边形


【例 17】 （
2009
年数学解题能力大赛六年级初试试题）正六边形
A
1
,
A
2
,
A
3
,
A
4
,
A
5
,
A
6
的面积是
2009
平
方厘米,
B
1
,
B
2
,
B
3< br>,
B
4
,
B
5
,
B
6
分别 是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是 平方
厘米．
A
1
B
6
A
6
B
5
B
1
A
2
B
2
A
3
B
3
B
6
A
6
B
5
A
1
B
1
D
G
E
A
2
B
2
A
3
B
3

【解析】 （方法一）因为空白的面积等于
△A
2
A
3
G
面积的
6
倍,所以关键求
△A
2
A
3
G
的面积,根据燕 尾定理可得
3311
S
△A
2
A
3
G
S
△A
1
A
2
A
3
S
正六边形
,但在
△A
1
A
2
A
3
用燕尾定理时,需要知道
A
1
D,A
3
D
的长度比,连接
7732
A
1
A
3
,A
6
A
3
,
A
1
G
,过
B
6
作
A
1
A
2的平行线,交
A
1
A
3
于
E
,根据沙漏模型得
A
1
DDE
,再根据金字塔模型
得
A
1
EA
3
E
,因此
A
1
D:A
3
D1: 3
,在
△A
1
A
2
A
3
中,设
S
△A
1
A
2
G
1
份,则
S
△A
2
A
3
G
3
份,
S
△A
3A
1
G
3
份,所
A
5
B
4
A
4
A
5
B
4
A
4
33111
以
S
△A
2
A
3
G
S
△A
1A
2
A
3
S
正六边形
S
正六边形,
773214
14
因此
S
阴影
（16）S< br>正六边形
20091148
（平方厘米）
147
（方法二）既 然给的图形是特殊的正六边形,且阴影也是正六边形我们可以用下图的割补思路,把正六
8
边形 分割成
14
个大小形状相同的梯形,其中阴影有
8
个梯形,所以阴影面积为< br>20091148
（平方
14
厘米）
A
D
A< br>1
B
6
B
1
G
A
2
E
D< br>B
2
A
3
E
G
B
F
C
A< br>6
B
5
A
5
B
4
A
4
B< br>3


【例 18】 已知四边形
ABCD
,
CHF G
为正方形,
S
甲
:S
乙
1:8
,
a< br>与
b
是两个正方形的边长,求
a:b?

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A
a
甲
D
O
C
G
D
M
B
A
a
甲
O
B
C
G
乙
E
H
b
F
E
NH
乙
b
F

【解析】 观察图形,感觉阴影部分像蝴蝶定理,但是细细分析发 现用蝴蝶定理无法继续往下走,注意到题目条
件中给出了两个正方形的边长,有边长就可以利用比例,再 发现在连接辅助线后可以利用燕尾,那么
我们就用燕尾定理来求解
连接EO、AF,
根据燕尾定理：
S
△AOE
:S
△AOF
a:b
,S
△AOF
:S
△EOF
a:b

所以
S
△AOE
:S
△EOF
a
2
:b
2
,作OM⊥AE、ON⊥EF,
∵AE

EF
∴
OM:ONa
2
:b
2

∴
S
甲
:S
乙
a
3
:b
3
1:8

∴
a:b1:2





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