中医养生会所-那片星空那片海结局

一、等积变换模型

⑴等底等高的两个三角形面积相等；
五大模型

其它常见的面积相等的情况


⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；
两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。

S
1
S2
如上图
S
1
:S
2
a:b



⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图
S
△
ACD
= S
△
BCD
；
反之，如果
S
△ACD
S
△BCD
，则可知直线
AB
平行于
CD
。
⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；
⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；






二、鸟头定理（共角定理）模型

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图，在
△ABC
中，
D,E
分别是
AB,AC
上的点(如图1)或
D
在
BA
的延长线上，
E
在
AC
上(如
图 2)，则
S
△ABC
:S
△ADE
(ABAC):(ADAE )



1

图1 图2

三、蝴蝶定理模型

任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：

①
S
1
:S
2
S
4
:S3
或者
S
1
S
3
S
2
S
4
②
AO:OC

S
1
S
2
:

S
4
S
3



< br>蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不
规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例
关 系。

梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)

①
S
1
:S
3
a
2
:b
2

②
S< br>1
:S
3
:S
2
:S
4
a
2:b
2
:ab:ab
；
③梯形
S
的对应份数为

ab

。

2




2

四、相似模型

相似三角形性质：
金字塔模型 沙漏模型

①
AD
AB

AE
AC
< br>DE
BC

AF
AG
2

；
②< br>S
△ADE
:S
△ABC
AF:AG
2
。
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它
们都 相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；
⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。

五、燕尾定理模型
S< br>△
ABG
:
S
△
AGC

S
△BGE
:
S
△
EGC

BE
:
EC
S
△
BGA
:
S
△
BGC

S< br>△
AGF
:
S
△
FGC

AF
:< br>FC
S
△
AGC
:
S
△
BCG

S
△
ADG
:
S
△
DGB

AD
:
DB

典型例题精讲

例1



一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积是长方形面积的0.15倍，黄色三角形 的面积是
21平方厘米。问：长方形的面积是__________平方厘米。
例1图




3

例2

如图，三角形田地中有两条小路AE和CF，交叉处为 D，张大伯常走这两条小路，他知道DF＝DC，
且AD＝2DE 。则两块地ACF和CFB的面积比是__________。

例2图




【举一反三】两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示， 三个三角形的面积分别是3，
7，7，则阴影四边形的面积是多少？

举一反三图




【拓展】如图，已知长方形ADEF的面积16，三角形A DB的面积是3，三角形ACF的面积是4，那么三
角形ABC的面积是多少？

拓展图





4

例3

如图，将三角形ABC的A B边延长1倍到D，BC边延长2倍到E，CA边延长3倍到F。如果三角
形ABC的面积等于1，那么 三角形DEF的面积是__________。
例3图


【拓展】如图 ，在△ABC中，延长AB至D，使BD＝AB,延长BC至E，使
CE
若△ABC的面积是 2，则△DEF的面积是多少？
1
2
BC


，F是AC的中点，

拓展图



例4

如图，在△ABC中，已知M、N分别在边AC、BC上，BM与AN相交于 O，若△AOM、△ABO和
△BON的面积分别是3、2、1，则△MNC的面积是________ __。

例4图






5

【秒杀题】四边形 ABCD的对角线AC与BD交于点O（如图所示）。如果三角形ABD的面积等于三角形
BCD的面积 的
1
3
，且AO＝2，DO＝3, 那么CO的长度是DO的长度的__________倍。
秒杀题图







例5



如图，四边形EFGH的面积是66平方米，EA＝AB，CB＝BF，DC＝CG，HD＝DA，求四边形AB CD
的面积。

例5图


例6




如右图长方形ABCD中，EF＝16，F＝9，求AG的长。

例6图








6

【铺垫】图中四边形 ABCD是边长为12cm的正方形，从 G到正方形顶点C、D 连成一个三角形，已知
这个三角形在 AB上截得的 EF长度为4cm，那么三角形GDC的面积是多少？

铺垫图

例7



如图，长方形ABCD中，E为AD中点，AF与BE、 BD分别交于G、H，已知AH＝5cm，HF＝3cm，
求AG
。


例7图

例8



如右图，三角形ABC中，BD∶DC＝4∶9，CE∶EA＝4∶3，求AF∶FB。

例8图
【拓展】如图，三角形ABC的面积是1，BD＝DE＝EC， CF＝FG＝GA，三角形ABC被分成9部分，请
写出这9部分的面积各是多少?

拓展图




7

例9

如右图，△ABC中，G是AC的中点 ，D、E、F是BC边上的四等分点，AD与BG交于M，AF与
BG交于N，已知△ABM的面积比四 边形FCGN的面积大7.2平方厘米，则△ABC的面积是多少平
方厘米？

例9图

例10

如图，在正方形ABCD中，E、F分别在B C与CD上，且CE＝2BE，CF＝2DF，连接BF，DE，
相交于点G，过G作MN，PQ得到两 个正方形MGQA和正方形PCNG，设正方形MGQA的面积
为S
1
，正方形PCN G的面积为S
2
，则S
1
：S
2
＝______。

例10图











8