送给老师的一句话-论文答辩稿

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几何之蝴蝶定理
一、 基本知识点
定理1：同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比
等于对应底边之比。

S
1
: S
2
= a : b


定理2：等分点结论( 鸟头定理)

如图，三角形
△
AED的面积占三角形
△
ABC的面积的

313


5420



定理3：任意四边形中的比例关系( 蝴蝶定理)

1） S
1
∶S
2
=S
4
∶S
3
或 S
1
×S
3
= S
2
×S
4



上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积

2）AO∶OC = （S
1
＋S
2
）∶（S
4
＋S
3
）



梯形中的比例关系( 梯形蝴蝶定理)

1）S
1
∶S
3
=a
2
∶b
2



上、下部分的面积比等于上、下边的平方比


2）左、右部分的面积相等


3）S
1
∶S
3
∶S
2
∶S
4
=a
2
∶b
2
∶ab∶ab

4）S的对应份数为（a+b）
2


定理4：相似三角形性质


1

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1）
abch


ABCH

2） S
1
∶S
2
= a
2
∶A
2



定理5：燕尾定理

S
△ABE
∶ S
△AEC
= S
△BGE
∶ S
△GEC
= BE∶EC

S
△BGA
∶ S
△BGC
= S
△AGF
∶ S
△GFC
= AF∶FC

S
△ADC
∶ S
△DCB
= S
△ADG
∶ S
△DGB
= AD∶DB


二、 例题
例1、如图，
ADDB
，
AEEFFC
，已知阴影部分面积为
5
平方厘米，
ABC
的面积是
多少平方厘米？








例2、有一个 三角形
ABC
的面积为1，如图，且
AD
三角形
DEF
的 面积.

A
AEFC
D
B
111
AB
，
BEBC
，
CFCA
，求
234

D

例3、如图，在三角形ABC中，，D为BC的中点，
上的一点，且BE=
BE
F
C
E为AB
三角
1
AB,已知四边形EDCA的面积是35，求
3
形ABC的面积.



2

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例4 如图，ABCD是直角梯形，求阴影部分的面积和。（单位：厘米）

例5、两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形。已知两个三角形的面积（如图所示），求
另两个三角形的面积各是多少？（单位：平方厘米）

例6、如下图，图中BO=2DO，阴 影部分的面积是4平方厘米，求梯形ABCD的面积是多少平
方厘米？

例7、（小数报竞赛活动试题）
如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、B D分成四个部分，△AOB
面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千 米，公园陆地的
面积是6.92平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米？







例8、如图：在梯 形ABCD中，三角形AOD的面积为9平方厘米，三角形BOC的面积为
25平方厘米，求梯形ABC D的面积。

3

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A
9
O
25
B
D
C

例9、（2003北京市第十九届小学生“迎春杯”数学竞赛）
四边形
ABCD的对角线
AC
与
BD
交于点
O
（如图）所示。
如果三角形
ABD
的面积等于三角形
BCD
的面积的
1
， 且
3
AO2
，
DO3
，那么
CO
的长度是< br>DO
的长度的_________倍。
D
A
O
B
C



例10、左下 图所示的ABCD的边BC长10cm，直角三角形BCE的直角边EC长8cm，已知
2
两块 阴影部分的面积和比△EFG的面积大10cm，求CF的长。



< br>例11、长方形ABCD的面积为36平方厘米，E、F、G分别为边AB、BC、CD的中点，H
为AD边上的任一点。求图中阴影部分的面积是多少？








4

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例12、
如图，甲、乙两 图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米，求阴影部
分的面积。





例13、如图，大正方形ABCD的边长为6，依以下条件求三角形BDF的面积。


例14、如下图，已知D是BC的中点，E是CD的中点，F是AC的中点，且
A DG
的面积比
?

EFG
的面积大6平方厘米。
ABC 的面积是多少平方厘米
A
F
G
B
D
E
C

三、 练习题
1、如图，四边形ABCD中，AC和BD相交于O点，三角形ADO的面积= 5，三角形DOC的面积
=4，三角形AOB的面积=15，求三角形BOC的面积是多少？

2、如图所示，BD，CF将长方形ABCD分成4块，△DEF的面积是4 cm，△CED的面积6cm。
问：四边形ABEF的面积是多少平方厘米？

2
2

5

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3、如右图BE=
11< br>BC，CD=AC，那么三角形AED的面积是三角形ABC面积的______.
34
A
D
B
C



E





5、如图所示，已知ABCD是长方形，AE : ED = CF : FD = 1 : 2，三角形DEF的面积是16
平方厘米，求三角形ABE的面积是多少平方厘米？





6、 如右图，
ABCD
是梯形，
ABED
是平行四边形，己知三角面积如下图所示(单位：平方
厘米)，阴影部分的面积是多 少平方厘米。




B
A
8
16
E
2
C
D


7、正方形ABFD的面积为100平方厘米，直角三角形ABC的面积，比直角三角形（CDE
的面积大30平方厘米，求DE的长是多少？


6

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8、 已知
ABC
中，
ABAC12cm
，
ABC
的面积是
AB
,
AC
的距离是
x,y
， 那么
xy
；
cm
2
，
P
是
BC
上任意一点，
P
到

9、如右图所示，已知三角形 ABC面积为1，延长AB至D，使BD=AB；延长BC至E，使CE=2BC；
延长CA至F，使A F=3AC，求三角形DEF的面积。









42

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