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一、等积变换模型
1、等底等高的两个三角形面积相等。
2、两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比。
3、两个三角形底相等，面积比等于它的的高之比。
二、共角定理模型
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等到于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。
三、蝴蝶定理模型
（说明：任意四边形与四边形、长方形、梯形，连接对角线所成四部的比例关系是一样的。）
四、相似三角形模型
相似三角形：是形状相同，但大小不同的三角形叫相似三角形。
相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比。
相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
五、燕尾定理模型

正方形 ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，正方
形BEFG的边 长为4，则△DEK的面积为
由题知DCGP=GCPK，即DC(DC-4)=(4+PK)PK， 令DC=a，PK=c，则a=4+c，则
S△DEK=a^2+16+c*(4-c)2+c^2-a c-a(4+a)2=a^22+c^22-ac-2a+2c+16=(c+4)^22+c^22-
c(c+4)-2(c+4)+2c+16=16。


1、图17是一个正方形地 板砖示意图，在大正方形ABCD中AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2=DD1=D
D 2，中间小正方形 EFGH的面积是16平方厘米，四块蓝色的三角形的面积总和是72平方厘米，
那 么大正方形ABCD的面积是多少平方厘米？

分析与解 连AC和BD 两条大正方形的对角线，它们相交于O，然后将三角形AOB放在D
PC处（如图18和图19）。

已知小正方形EFGH的面积是16平方厘米，所以小正方形EFGH的边长是4厘米。
又知道四个蓝色的三角形的面积总和是72平方厘米，所以两个蓝色三角形的面积是72
÷ 2=36平方厘米，即图19的正方形OCPD中的小正方形的面积是36平方厘米，那么这个正方
形的 边长就是6厘米。由此得出，正方形OCPD的边长是4+6=10厘米，当然正方形OCPD的面
积就 是102，即100平方厘米。而正方形OCPD的面积恰好是正方形ABCD的面积的一半，因此
正方 形ABCD的面积是200平方厘米。
答：正方形ABCD的面积是200平方厘米。

2、图21是一个圆形钟面，圆周被平均分成了12等份。已知圆形的半径是6厘米，那么图
中阴影的面积是多少平方厘米？
分析与解 题中告诉我们：圆周被平均分成了12等份，因此连接OE，

答：阴影的面积是18.84平方厘米。

3、为了美化校园，东升小学用鲜花围成了 两个圆形花坛。小圆形花坛的面积是3.14平
方米，大圆形花坛的半径是小圆形花坛半径的2倍。大圆 形花坛的面积比小圆形花坛的面积
大多少平方米？

分析与解 我们知道圆 的面积与半径的平方成正比。题中告诉我们，大圆的半径是小圆
半径的2倍，那么大圆面积是小圆面积的 22倍。
大圆形花坛的面积比小圆形花坛的面积大
3.14×（22-1）
=3.14×3
=9.42（平方米）
答：大圆形花坛的面积比小圆形花坛的面积大9.42平方米。

3、有两个长方 形，甲长方形的长是98769厘米，宽是98765厘米；乙长方形的长是9876
8厘米，宽是98 766厘米。这两个长方形的面积哪个大？
分析与解 利用长方形面积公式，直接计算出面积的大小，再进行比较，这是可行的，
但是计算太复杂了。
可以利用乘法分配律，将算式变形，再去比较两个长方形的面积大小，这就简便多了。
甲长方形的面积是：
98769×98765
=98768×98765+98765
乙长方形的面积是
98768×98766
=98768×98765+98768
比较98768 ×98765+98765与98768×98765+98768的大小，一眼便能看出：甲长方形的面
积小，乙长方形的面积大。
4、有50个表面涂有红漆的正方体，它们的棱长分别是1厘米、3 厘米、5厘米、7厘米、9
厘米、„„、99厘米，将这些正方体锯成棱长为1厘米的小正方体，得到的 小正方体中，至
少有一个面是红色的小正方体共有多少个？
分析与解 棱长为1厘米涂有 红漆的小正方体，不用锯，就是棱长1厘米的小正方体，它
当然是至少有一个面是红色的小正方体了。
将棱长为3厘米的涂有红漆的小正方体，锯成棱长为1厘米的小正方体，共得到33个，其
中没有涂红漆的共（3-2）3个。
将棱长为5厘米的涂有红漆的小正方体锯成棱长为1厘米的小 正方体，共得53个，其中没
有涂红漆的共（5-2）3个。

将棱长为7 厘米的涂有红漆的小正方体锯成棱长为1厘米的小正方体，共得73个，其中没
有涂红漆的共（7-2） 3个。
由以上分析、计算发现，将校长为1厘米、3厘米、5厘米、7厘米的四个正方体锯成棱长
为1厘米的小正方体后，得到至少有一个面为红色的小正方体共有
13+33-（3-2）3+53-（5-2）3+73-（7-2）3
=13+33-13+53-33+73-53
=13+33+53+73-13-33-53=73=343（个）
按照这样的规律可得，将棱 长为1厘米、3厘米、5厘米、7厘米、9厘米、„„、99厘米
这50个正方体锯成棱长为1厘米的小 正方体后，得到至少有一个面为红色的小正方体共有：
13+33+53+73+93+„„+9 73+993-13-33-53-73-93-„„-973=993=970299（个）
答：至少有一个面是红色的小正方体共有970299个。

5、有棱长为 1、2、 3、„„、99、100、101、102厘米的正方体102个，把它们的表面
都涂上红漆，晾干后把 这102个正方体都分别截成1立方厘米的小正方体，在这些小正方体中，
只有2个面有红漆的共有多少 个？
分析与解 根据题意，首先应该想到只有2个面有红漆的小正方体，都在原来大正方体的棱上。原来棱长是1厘米、2厘米的正方体，将它截成1立方厘米的小正方体后，得不到只有2
个面 有红漆的小正方体。棱长是3厘米的正方体，将它截成1立方厘米的小正方体后，大正方
体的每条棱上都 有1个小正方体只有2个面有红漆。每个正方体有12条棱，因此可得到 12个
只有 2个面有红漆的小正方体，即共有（3-2）×12个。
棱长为4厘米的正方体，将它截成1立方厘米的小正方体后，得到只有 2个面有红漆的小
正方体共（4-2）×12个。
依此类推，可得出，将这102个正方 体截成1立方厘米小正方体后，共得到只有2个面有
红漆的小正方体的个数是：
[（3-2）+（4-2）+（5-2）+„„+（102-2）]×12
=[1+2+3+„„+100]×12
=60600
答：只有2个面有红漆的小正方体共有60600个。
6、有一个长方体木块，长125厘米，宽 40厘米，高25厘米。把它锯成若干个体积相等的
小正方体，然后再把这些小正方体拼成一个大正方体 。这个大正体的表面积是多少平方厘
米？

分析与解 一般说来，要求正方 体的表面积，一定要知道正方体的棱长。题中已知长方
体的长、宽、高，同正方体的棱长又没有直接联系 ，这样就给解答带来了困难。我们应该从
整体出发去思考这个问题。
按题意，这个长方体 木块锯成若干个体积相等的小正方体后，又拼成一个大正方体。这
个大正方体的体积和原来长方体的体积 是相等的。已知长方体的长、宽、高，就可以求出长
方体的体积，这就是拼成的大正方体的体积。进而可 以求出正方体的棱长，从而可以求出正
方体的表面积了。
长方体的体积是
125×40×25=125000（立方厘米）
将 125000分解质因数：
125000=2×2×2×5×5×5×5×5×5
=（2×5×5）×（2×5×5）×（2×5×5）
可见大正方体的棱长是
2×5×5=50（厘米）
大正方体的表面积是
50×50×6=15000（平方厘米）
答：这个大正方体的表面积是15000平方厘米。
7、如图8-13，一个正四面体摆在桌面上，正对你的面ABC是红色，底面BCD是白色，右侧面ACD是蓝色，左侧面ABD是黄色。先让四面体绕底面面对你的棱向你翻转，再让它绕
底面 右侧棱翻转，第三次绕底面面对你的棱向你翻转，第四次绕底面左侧的棱翻转，此后依
次重复上述操作过 程。问：按规则完成第一百次操作后，面对你的面是什么颜色?

解答：

盘点小升初平面几何常考五大模型
（一）等积变换模型性质与应用简介
导读：平面几何问题，是历年小升初的必考题目，也在各大杯 赛中占有很大比例，这些
题目都是以等积变形为主导思想，结合五大模型的变化应用交织而成的，这一期 我们讲解了
解一下五大模型第一块——等积变换模型。

等积变换模型例题讲解与课后练习题

（一）例题讲解与分析

【例1】：如右图，在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．若△ADE的面积是1
平方厘米，那么三角形ABC的面积是多少？

【解答】连接BD,
S△
ABD和
S△
AED同高，面积比等于底边比，所以三
角形ABD的面积是4，
S△
ABD和S△
ABC同高面积比等于底边比，三角形ABC的面积是ABD的3倍，
是12.
【总结】要找准那两个三角形的高相同。
【例2】：如图，四边形ABCD中，AC 和BD相交于O点，三角形ADO的
面积=5，三角形DOC的面积=4，三角形AOB的面积=15， 求三角形BOC的面积
是多少？

【解答】S△ADO=5,S△DOC= 4根据结论2，△ADO与△DOC同高所以面积
比等于底的比,即AOOC=5:4同理S△AOBS △BOC=AOOC=5:4,因为S△AOB=15
所以S△BOC=12。
【总结】 从这个题目我们可以发现，题目的条件和结论都是三角形的面
积比，我们在解题过程中借助结论2，先把 面积比转化成线段比，再把线段比
用结论2转化成面积比，解决了问题。事实上，这2次转化的过程就相 当于
在条件和结论中搭了一座“桥梁”，请同学们体会
一下。
（二）课后练习题讲解与分析

（二）鸟头定理（共角定理）模型
导语：平面几何问题，是历年小升初的必考题目，也在 各大杯赛中占有
很大比例，这些题目都是以等积变形为主导思想，结合五大模型的变化应用
交织 而成的，第二期我们讲解了解一下五大模型第二块——鸟头定理（共角
定理）模型。

o
（三）蝴蝶定理模型
导读：平面几何问题，是历 年小升初的必考题目，也在各大杯赛
中占有很大比例，这些题目都是以等积变形为主导思想，结合五大模
型的变化应用交织而成的，这一期我们讲解了解一下五大模型第三块
——蝴蝶定理模型。

蝴蝶定理模型练习题

【练习1】：在直角梯形ABCD中，AB=15厘米，AD=12厘米，
阴 影部分的面积为15平方厘米。梯形ABCD的面积是多少平方
厘米？

【解答】：连接AE,根据蝴蝶定理可得S△AEF=S阴=15，
因为S△ABC=15×12÷2=90,所以S△ABF=90－15=75
再次用蝴蝶定理可求S△EFC=15×15÷75=3
所以SABCD=12×15+15+3=198
【练习2】：如图，在一个边长为6的正方形中 ，放入一
个边长为2的正方形，保持与原正方形的边平行，现在分别连
接大正方形的一个顶点与 小正方形的两个顶点，形成了图中的
阴影图形，那么阴影部分的面积为多少？

【解答】：本题中小正方形的位置不确定，所以可以通过
取特殊值的方法来快速求解，也可以采用梯形蝴 蝶定理来解决
一般情况。

解法一：取特殊值，使得两个正方形的中心相重 合，如右
图所示，图中四个空白三角形的高均为1.5，因此空白处的总
面积为6*1.52* 4+2*2=22，阴影部分的面积为6*6-22=14。
解法二：连接两个正方形的对应顶点 ，可以得到四个梯形，
这四个梯形的上底都为2，下底都为6，上底、下底之比为2：
6=1： 3，根据梯形蝴蝶定理，这四个梯形每个梯形中的四个小
三角形的面积之比为，所以每个梯形中的空白三 角形占该梯形
面积的916，阴影部分的面积占该梯形面积的716，所以阴
影部分的总面积是 四个梯形面积之和的716，那么阴影部分
的面积为14。

【例】已知正方形的面积是120平方厘米，B、E为正方
形边上的中点， 求题中阴影部分的面积是多少平方厘米？
【分析】由巩固可知BAEG的面积为整个正方形面积的 五
分之一为：120÷5=24(平方厘米)，由此对于阴影部分的面积
可以有两种求法.
方法一：连接FE由图可知BAF、AEF和EFC的面积相等，
又因为ABC的面积为1 20÷4=30(平方厘米)，所以BAF、AEF
和EFC的面积为：30÷3=10(平方厘米)， 所以阴影部分的面积
为：24-10=14(平方厘米).
方法二：本题用沙漏也可以解 答能看见BAF和CDF是沙漏
(形象演示)AB:CD=BF:FC=1:2所以以BF为底的三角形 ABF占
整个三角形的13,为30×13=10(平方厘米).所以阴影面积
为：24-10 =14(平方厘米).


（五）燕尾定理模型
导语：平面几何问题 ，是历年小升初的必考题目，也在各
大杯赛中占有很大比例，这些题目都是以等积变形为主导思
想，结合五大模型的变化应用交织而成的，最后一期我们讲解
一下五大模型最后一个——燕尾定理模型。


【练习】：已知：如图，D、E分别是△ ABC的边
AB和AC的中点，F是DE的中点。求△DFG的和四边
形AEFG的面积的比是 多少？

【解析】因为F为DEF的中点，所以△CFD=△CEF
△AFE=△AFD
因为E为AC的中点，所以△CEF=△AEF
所以△CFD=△CEF=△AEF
所以△CFA:△CFD=2:1
根据燕尾定理：△AGF:△DGF=△CFA:△CFD=2:1
所以△DFG：AEFG=1：（2+1+2）=1：5