小学几何之蝴蝶定理.doc
中国的传统节日-环肥燕瘦
几何之蝴蝶定理
一、 基本知识点
定理1：同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比
等于对应底边之比。
S
1
: S
2
= a : b
定理2：等分点结论( 鸟头定理)
如图，三角形
△
AED的面积占三角形
△
ABC的面积的
313
5420
定理3：任意四边形中的比例关系( 蝴蝶定理)
1） S
1
∶S
2
=S
4
∶S
3
或 S
1
×S
3
= S
2
×S
4
上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积
2）AO∶OC =
（S
1
＋S
2
）∶（S
4
＋S
3
）
梯形中的比例关系( 梯形蝴蝶定理)
1）S
1
∶S
3
=a
2
∶b
2
上、下部分的面积比等于上、下边的平方比
2）左、右部分的面积相等
3）S
1
∶S
3
∶S
2
∶S
4
=a
2
∶b
2
∶ab∶ab
4）S的对应份数为（a+b）
2
定理4：相似三角形性质
1）
abch
ABCH
2） S
1
∶S
2
= a
2
∶A
2
定理5：燕尾定理
S
△ABG
∶
S
△AGC
= S
△BGE
∶ S
△GEC
=
BE∶EC
S
△BGA
∶ S
△BGC
= S
△AGF
∶ S
△GFC
= AF∶FC
S
△AGC
∶ S
△BCG
=
S
△ADG
∶ S
△DGB
= AD∶DB
二、 例题分析
例1、如图，
ADDB
，
AEEFFC，已知阴影部分面积为
5
平方厘米，
ABC
的面积是
多少平方厘
米？
例2、
有一个三角形
ABC
的面积为1，如图，且
AD
三角形
DEF的面积.
A
AEFC
D
B
111
AB，
BEBC
，
CFCA
，求
234
D
例3、如图，在三角形ABC中，，D为BC的中点，
上的一点，且BE
=
BE
F
C
E为AB
三角
1
AB,已知四边形ED
CA的面积是35，求
3
形ABC的面积.
例4
、
例1
如图，ABCD是直角梯形，求阴影部分的面积和。（单位：厘米）
例5、两条对角线把梯
形ABCD分割成四个三角形。已知两个三角形的面积（如图所示），求
另两个三角形的面积各是多少？
（单位：平方厘米）
例6、如下图，图中BO=2DO，阴影部分的面积是4平方厘米，求
梯形ABCD的面积是多少平
方厘米？
例7、（小数报竞赛活动试题）
如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，△AOB
面积为1平方千
米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园陆地的
面积是6.92平方千米，
求人工湖的面积是多少平方千米？
例8、如图：在
梯形ABCD中，三角形AOD的面积为9平方厘米，三角形BOC的面积为
25平方厘米，求梯形AB
CD的面积。
A
9
O
25
B
D
C
例9、（2003北京市第十九届小学生“迎春杯”数学竞赛）
四边形
ABCD的对角线
AC
与
BD
交于点
O
（如图）所示。
如果三角形
ABD
的面积等于三角形
BCD
的面积的
1
，
且
3
AO2
，
DO3
，那么
CO
的长度是<
br>DO
的长度的_________倍。
D
A
O
B
C
例10、左下
图所示的ABCD的边BC长10cm，直角三角形BCE的直角边EC长8cm，已知
2
两块
阴影部分的面积和比△EFG的面积大10cm，求CF的长。
<
br>例11、长方形ABCD的面积为36平方厘米，E、F、G分别为边AB、BC、CD的中点，H
为AD边上的任一点。求图中阴影部分的面积是多少？
例12、
如图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分
别是10厘米和12厘米，求阴影部
分的面积。
例13、如图，大正方形ABCD的边长为6，依以下条件求三角形BDF的面积。
例14、（右图是一块长方形耕地，它由四个小长方形拼合而成，其中
三个小长方形的面积分
别为15、18、30公顷，问图中阴影部分的面积是多少？
例15、如下图，已知D是BC的中点，E是C
D的中点，F是AC的中点，且
ADG
的面积比
?
EFG的面积大6平方厘米。
ABC的面积是多少平方厘米
A
F
G
B
D
E
C
三、 练习题
1、如图，四边形ABCD中，A
C和BD相交于O点，三角形ADO的面积=5，三角形DOC的面积
=4，三角形AOB的面积=15
，求三角形BOC的面积是多少？
2、如图所示，BD，CF将长方形ABCD分成4块，△DEF的面积是4 cm
2
，△CED的面积是
6cm
2
。问：四边形ABEF的面积是多少平方厘米？
3、如右图BE=
11BC，CD=AC，那么三角形AED的面积是三角形ABC面积的______.
34
A
D
B
C
E