jiaru-成人故事

五大模型



一、 等积变换模型

①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；
两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；
AB
S
1
a
S
2
b
CD

如左图
S
1
:S
2
a:b

③夹在一组 平行线之间的等积变形，如右上图
S
△ACD
S
△BCD
； 反之，如果
S
△ACD
S
△BCD
，则可知直线
AB
平行于
CD
．
④正方形的面积等于对角线长度平方的一半；
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

二、 鸟头定理（共角定理）模型

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比
如图在
△A BC
中，
D,E
分别是
AB,AC
上的点如图 ⑴（或
D< br>在
BA
的延长线上，
E
在
AC
上），则
S< br>△ABC
:S
△ADE
(ABAC):(ADAE)

D
A
A
D
E
E
B
C
B
C

图⑴ 图⑵
推理过程连接
BE
，再利用等积变换模型即可
三、 蝴蝶定理模型

任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：

D
A
S
2
B
S
1
O
S
3

①
S
1
:S
2
S
4
:S
3
或者
S
1
S
3
S
2
S
4
②
AO :OC

S
1
S
2

:

S
4
S
3



S
4
C
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面
可以使不规则四 边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面
积对应的对角线的比例关系．

梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：
a
AD
S
1< br>S
2
S
4
O
S
3
B
b
C< br>
①
S
1
:S
3
a
2
:b
2

②
S
1
:S
3
:S
2
:S
4
a
2
:b
2
:ab:ab
；
③梯形
S
的对应份数为

ab

．

四、 相似模型

相似三角形性质：
2
A
D
B
F
G
E
C
（金字塔模型）
E
A
F
D
B
①
G
C
（沙漏模型）
ADAEDEAF
；

ABACBCAG
②
S
△ADE
：S
△ABC
AF
2
:AG
2
． < br>所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样

改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；
⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；

五、 燕尾定理模型

A
S
△
ABG
:
S
△
AGC
< br>S
△
BGE
:
S
△
EGC

BE< br>:
EC；
F
S
△
BGA
:
S
△< br>BGC

S
△
AGF
:
S
△
FGC

AF
:
FC；
G
D
S
△
AG C
:
S
△
BCG

S
△
ADG
:
S
△
DGB

AD
:
DB；

C
BE

【例 1】 （第
3
届华杯赛试题）
一 个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积是长方形面积的
0.15
倍，黄
色三 角形的面积是21平方厘米．问：长方形的面积是 平方厘米．
21平方厘米
黄
红
红
绿







【例 2】 (2007年六年级希望杯二试试题)
如图， 三角形田地中有两条小路
AE
和
CF
，交叉处为
D
，张大伯 常走这两条小路，
他知道
DFDC
,且
AD2DE
．则两块地< br>ACF
和
CFB
的面积比是_________．

C
E
D
F
A
B

【例 3】 （北京市第一届“迎春杯”刊赛）
如图． 将三角形
ABC
的
AB
边延长
1
倍到
D
，
BC
边延长
2
倍到
E
，
CA
边延长
3
倍
到
F
．如果三角形
ABC
的面积等于
1，那么三角形
DEF
的面积是 ．

F
A
B
D
C
E






【例 4】 如图，在
ABC
中，已知
M
、
N
分别在边
AC
、
BC
上，
BM
与
AN
相交于
O
,若
AOM
、
ABO
和
BON
的面积分别是3、2、1，则
MNC
的面积是 ．


A
M


O


N
B






【例 5】 如右图，已知
D
是
BC
中点，
E
是
CD
的 中点，
F
是
AC
的中点，
ABC
由这6部
分组成 ，其中⑵比⑸大6平方厘米，那么
ABC
的面积是多少平方厘米？


A



F
3

1
2
5

6
4

B
DE


C
C

【例 6】 如右图，长方形
ABCD
中 ，
EF16
，
FG9
，求
AG
的长．

D
A
G
F
E
C
B








【例 7】 如图，长方形
ABCD< br>中，
E
为
AD
中点，
AF
与
BE
、
BD
分别交于
G
、
H
，已知
AH5
cm
，
HF3
cm
，求
AG
.

A
G
E
H
D
F
C

B







【例 8】 如右图，三角形ABC 中，BD
:
DC

4
:
9，CE
:
EA< br>
4
:
3，求AF
:
FB.







A
F
B
O
D
E
C

【例 9】 如右图，< br>△ABC
中，
G
是
AC
的中点，
D
、
E
、
F
是
BC
边上的四等分点，
AD
与
已知
△ABM
的面积比四边形
FCGN
的面积大
7.2BG
交于
M
，
AF
与
BG
交于
N
，
平 方厘米，则
△ABC
的面积是多少平方厘米？
A
G
N
M
B






【例10】 如图，在正方形
ABCD
中，
E
、
F
分别在
BC
与
CD
上，且
CE2BE
，
CF2DF
，
连接
BF
，
DE
，相交于点
G< br>，过
G
作
MN
，
PQ
得到两个正方形
MGQ A
和正方形
D
EF
C

PCNG
，设正方形
MGQA
的面积为
S
1
，正方形
PCNG
的面积为
S
2
，则
S
1
:S
2

______．
A
G
Q
D
F
M
B


N
P
C

E