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三角形的五心
三角形的“五心”指的是三角形的外心，内心，重心，垂心和旁心．
一．三角形的外心
定理1：三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心)．
定理2：三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等． 都等于三角形的外接圆半径．
定理3：锐角三角形的外心在三角形内；
B
直角三角形的外心在斜边中点；
钝角三角形的外心在三角形外．
A
O
C
111
BOC,BAOC,CAOB

222
1.如图所示，在锐角
ABC
中，
ADBC
于< br>D
，
DEAC
于
E
，
DFAB
于
F
，
O
为
ABC
的外心.
求证：（1）
AEF
∽
ABC
(2)
AOEF

定理4：
A
A
F
B

2.设
O
为锐角
ABC
的外心，连接
AO,BO,CO
并延长分别交对边于
L,M,N
，则
O
D
E
C

111

的值是_______________.(设
R
为
ABC
外接圆 半径)
ALBMCN





二．三角形的内心
定理1：三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆
圆心)．
定理2：三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径．
定理3：内切圆半径r的计算：
1S
设三角形面积为S，并记p=(a+b+c)，则r=．
2p
1
特别的，在直角三角形中,有 r=(a+b－c)．
2
A
M
I
B
D
H
E
K
C
F

定理4：I为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N，则< br>有AI: IN=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC
定理5：
BIC 90

11
1
A,
CIA90

B
，
AIB90

C
。
22
2
3 .如图所示，⊙
O
1
与⊙
O
2
相交于
A,B
两点，且
O
2
在⊙
O
1
的圆周上，弦
O
2
C
交⊙
O
2
于
D
。
证明：
D< br>是
ABC
的内心.
C
A
D
O
2
B


4.如图，在
ABC
中，点
D
、
E
是
ABC
，ACB
的三等分线的交点，当
A60
时，
求
BDE< br>度数
A



D



E

BC





5.如图，
I
是
ABC
的内心，
AI
的延长线交
ABC< br>的外接圆于
D
，则，
DIDBDC


A



I

B


C


D


O
1

1
(ABAC)
，
O,I
分别为
ABC
的外心，内< br>2
心，
BAC
的外角平分线交⊙
O
于
E
，
AI
的延长线交⊙
O
于
D
，
DE
交
BC
于
H
.
1
求证：（1）
AIBD
;(2)
OIAE

2
6.如图所示，
ABC
的三边满足关系
BC
E
AO
B
H
D



三．三角形的重心
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。（重心原是一个物理
概念，对于等厚度的质量均匀的三角 形薄片，其重心恰为此三角形三
条中线的交点，重心因而得名）
定理1：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1。
定理2：重心和三角形 3个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心
到三条边的距离与三条边的长成反比。
定理3：重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
定理4：在平面直角坐标系中，重心的 坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为
（(X1+X2+X3)3，（Y1+Y2+Y3)3。

7.证明
ABC
的三条中线可以围成一个三角形，并求所围成的三角形与
ABC
的面积之比




8.设
K
是
ABC
内任意一点，
KAB
，
KBC
，< br>KCA
的重心分别为
D,E,F
，求
B
D
G
C
F
I
C

A
E
S
DEF
:s
ABC

9.若
ABC
的重心为
G
，
AG2
，
BG3
，
CG5
，求
ABC的面积.



四．三角形的垂心
三角形的三条高交于一点,这点称为三角形的垂心．
斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中 ，任何三个为顶点的三角形的垂心就是第四个点．所
以把这样的四个点称为一个“垂心组”．
三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
定理1：三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
定理2：三角形外 心O、重心G和垂心H三点共线，且OG∶GH=1∶2。（此直线称为三角
形的欧拉线（Euler line））
定理3：垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
定理4：垂心分每条高线的两部分乘积相等。

10.在
ABC
中，若
AB5,BC6,CA7
，
H
为垂心，求
AH
的长。


11.锐角
ABC
中，已知
H
为垂 心，
AD
为
BC
边上的高，
E
为
BC
中点 ，若
ADBC5
，
试求
HDHE
的长.



12.已知
RtABC
中，
CD
是斜边
AB< br>上的高，
O,O
1
,O
2
分别是
ABC
,
ACD
,
BCD
的
内心。
求证：（1）
O
1
OCO
2
(2)
OCO
1
O
2



13.如图 ，
AB
、
BC
、
CD
分别与圆
O
相切于< br>E
、
F
、
G
，
ABBCCD
，连结AC
与
BD
相交于点
P
，连结
PF

求证：
PFBC

A
D

P


E

G

O


B

C
F

五．三角形的旁心
三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心，叫做三角形的旁
心。
定理1：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁
心。
定理2：每个三角形都有三个旁心。
定理3：旁心到三边的距离相等。



D

B

F


I
a





例题：已知三角形ABC 中，角BAC=120度。I是角ABC和角ACB的平分线BE,CF的交
点，连接AI交BC于D， 证明：角EDF=90度

A
C
E
A
F
B



E
D
C