古代爱情诗词-牡丹画法

盘点小升初平面几何常考五大模型
（一）等积变换模型性质与应用简介
导读：平面几何问题，是历年小升初的必考题目，也在各大杯赛中占有很大比例，这些题目都是以等 积变形为
主导思想，结合五大模型的变化应用交织而成的，这一期我们讲解了解一下五大模型第一块—— 等积变换模型。

等积变换模型例题讲解与课后练习题
（一）例题讲解与分析
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【例1】：如右图，在△ABC中，BE=3AE，CD=2 AD．若△ADE的面积是1平方厘米，那么三角形
ABC的面积是多少

【解答】连接BD,
S△
ABD和
S△
AED同高，面积比等于底边比，所以三角形ABD的面积是4，
S△
ABD和
S△
ABC同高面积比等于底边比，三角形ABC的面积是ABD的3倍，是12.
【总结】要找准那两个三角形的高相同。
【例2】：如图，四边形ABCD中，AC和BD相交于 O点，三角形ADO的面积=5，三角形DOC的面
积=4，三角形AOB的面积=15，求三角形BO C的面积是多少

【解答】S△ADO=5,S△DOC=4根据结 论2，△ADO与△DOC同高所以面积比等于底的比,即AOOC=5:4
同理S△AOBS△BOC =AOOC=5:4,因为S△AOB=15所以S△BOC=12。
【总结】从这个题目我们可 以发现，题目的条件和结论都是三角形的面积比，我们在解题过程中
借助结论2，先把面积比转化成线段 比，再把线段比用结论2转化成面积比，解决了问题。事实上，
这2次转化的过程就相当于在条件和结论 中搭了一座“桥梁”，请同学们体会
一下。
（二）课后练习题讲解与分析


（二）鸟头定理（共角定理）模型

导语：平面几何问题，是历年小 升初的必考题目，也在各大杯赛中占有很大比例，这些题目都是
以等积变形为主导思想，结合五大模型的 变化应用交织而成的，第二期我们讲解了解一下五大模型第
二块——鸟头定理（共角定理）模型。

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（三）蝴蝶定理模型
导读：平面几何 问题，是历年小升初的必考题目，也在各大杯赛中占有很大比例，这些
题目都是以等积变形为主导思想， 结合五大模型的变化应用交织而成的，这一期我们讲解了
解一下五大模型第三块——蝴蝶定理模型。

蝴蝶定理模型练习题
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【练习1】：在直角梯形ABCD中，AB=15厘米，AD=12厘米，阴影部分的 面积为15
平方厘米。梯形ABCD的面积是多少平方厘米

【解答】：连接AE,根据蝴蝶定理可得S△AEF=S阴=15，
因为S△ABC=15×12÷2=90,所以S△ABF=90－15=75
再次用蝴蝶定理可求S△EFC=15×15÷75=3
所以SABCD=12×15+15+3=198
【练习2】：如图，在一个边长为6的正方形中 ，放入一个边长为2的正方形，
保持与原正方形的边平行，现在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形 的两个顶
点，形成了图中的阴影图形，那么阴影部分的面积为多少

【解答】： 本题中小正方形的位置不确定，所以可以通过取特殊值的方法来快速
求解，也可以采用梯形蝴蝶定理来解 决一般情况。
解法一：取特殊值，使得两个正方形的中心相重合，如右图所示，图中四个空白三角形的高均为，因此空白处的总面积为6*2*4+2*2=22，阴影部分的面积为
6*6-2 2=14。
解法二：连接两个正方形的对应顶点，可以得到四个梯形，这四个梯形的上底都
为2，下底都为6，上底、下底之比为2：6=1：3，根据梯形蝴蝶定理，这四个梯形每
个梯形中的 四个小三角形的面积之比为，所以每个梯形中的空白三角形占该梯形面积
的916，阴影部分的面积占该 梯形面积的716，所以阴影部分的总面积是四个梯形
面积之和的716，那么阴影部分的面积为14。

【例】已知正方形的面积是120平方厘米，B、 E为正方形边上的中点，求题中阴
影部分的面积是多少平方厘米
【分析】由巩固可知BA EG的面积为整个正方形面积的五分之一为：120÷5=24(平
方厘米)，由此对于阴影部分的面积 可以有两种求法.
方法一：连接FE由图可知BAF、AEF和EFC的面积相等，又因为ABC 的面积为120
÷4=30(平方厘米)，所以BAF、AEF和EFC的面积为：30÷3=10(平 方厘米)，所以阴
影部分的面积为：24-10=14(平方厘米).
方法二：本题用沙 漏也可以解答能看见BAF和CDF是沙漏(形象演
示)AB:CD=BF:FC=1:2所以以BF为 底的三角形ABF占整个三角形的13,为30×
13=10(平方厘米).所以阴影面积为：24-1 0=14(平方厘米).

（五）燕尾定理模型
导 语：平面几何问题，是历年小升初的必考题目，也在各大杯赛中占有很大比例，
这些题目都是以等积变形 为主导思想，结合五大模型的变化应用交织而成的，最后一
期我们讲解一下五大模型最后一个——燕尾定 理模型。

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【练习】： 已知：如图，D、E分别是△ABC的边AB和AC的中点，F是DE
的中点。求△DFG的和四边形A EFG的面积的比是多少

【解析】因为F为DEF的中点，所以△CFD=△CEF△AFE=△AFD

因为E为AC的中点，所以△CEF=△AEF
所以△CFD=△CEF=△AEF
所以△CFA:△CFD=2:1
根据燕尾定理：△AGF:△DGF=△CFA:△CFD=2:1
所以△DFG：AEFG=1：（2+1+2）=1：5