狐假虎威造句-紫色郁金香的花语

小学奥数-几何五大模
型(燕尾模型)

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燕尾定理
例题精讲



燕尾定理：


在三角形
ABC
中，
AD
，
BE
，
CF
相交于同一点
O
，

那么，

S
ABO
:S
ACO
BD:DC

A
E
O
B
D
C
F


上 述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为
ABO
和
ACO
的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多
几何题目中都有着广泛的运用，它 的特殊性在于，它可以存在于任何一个三
角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系 的途径.


通过一道例题 证明燕尾定理：


如右图 ，
D
是
BC
上任意一点，请你说明：
S
1
:S4
S
2
:S
3
BD:DC

A
S
2
E
S
3
B
S
1
S
4
D
C
【解析】
三角形
BED
与三角形
CED
同高， 分别以
BD
、
DC
为底，所以有
S
1
:S
4
BD:DC
；


三角形
ABE
与三角形EBD
同高，
S
1
:S
2
ED:EA
；
三角形
ACE
与三角形
CED
同高，
S
4< br>:S
3
ED:EA
，所以
S
1
:S
4S
2
:S
3
；

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综上可得，
S
1
:S
4
S
2
:S3
BD:DC
.


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【例 1】
（2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形
ABC
的面积是
1
，
E
是
AC
的中点，点
D
在
BC
上，且
BD:DC1:2
，
AD
与
BE交于点
F
．则
四边形
DFEC
的面积等于 ．

A
A
A
E
B
D
F
C
B
3
3
E
F
3
12
C
D
E
F
B
C
【解析】
方法一：连接
CF
，

S
△ACF


S
BD1AE

，
△ABF
1
,

DC2S
△CBF
EC
D

根据燕尾定理，
S△ABF
设
S
△BDF
1
份，则
S
△DCF
2
份，
S
△ABF
3
份，
S
△AEF
S
△EFC
3
份，如图所标

所以
S
DCEF

5
S
△ABC

5

1212
方法二：连接
DE
，由题目条件可得到
S
△ABD

1
S
△ABC

1
，

33
BF
S
△ABD
1
1121

，

S
△A DE
S
△ADC
S
△ABC

，所以
FES
△ADE
1
2233
1111111
S
△DEF
 S
△DEB
S
△BEC
S
△ABC
，

22323212
而
S
△CDE

2
1
S
△ABC

1
．所以则四边形
DFE C
的面积等于
5
．

32312

【巩固】如图， 已知
BDDC
，
EC2AE
，三角形
ABC
的面积是< br>30
，求阴影部分
面积.

A
E
FF
AE
F
A
E
B
DCBDCBDC
【解析】
题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比

例的关系，由此我们可以初步判断这道题不应该通过面积公式求面积.
又因为阴影部分是一个 不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，
那么我们需要连一条辅助线，

(法一) 连接
CF
，因为
BDDC
，
EC2AE
，三角形
ABC
的面积是30，

所以
S
△ABE

1< br>S
△ABC
10
，
S
△ABD

1
S
△ABC
15
．

3
根据燕尾定理，
S△ABF
S
△CBF
2
S
AE1BD

，< br>△ABF
1
,

EC2S
△ACF
CD
所以
S
△ABF

1
S
△ABC
7.5
，
S
△BFD
157.57.5
，

4
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所以阴影部分面积是
30107.512.5
．

(法二)连接
DE
，由题目条件可得到
S
△ABE

1S
△ABC
10
，

3
AF
S
△A BE
1
112

，

S
△BDE
S< br>△BEC
S
△ABC
10
，所以
FDS
△BD E
1
223

S
△DEF

1S
△DEA

1

1
S
△ADC

1

1

1
S
△ABC
2.5，

223232
而
S
△CDE
< br>2

1
S
△ABC
10
．所以阴影部分的面积为
12.5
．

32

【巩固】如图，三角形
ABC
的面积是
200cm
2
，
E
在
AC
上< br>，点
D
在
BC
上，且
AE:EC3:5
,
BD:DC2:3
，
AD
与
BE

交于点
F
．则四边形
DFEC
的面积
等于 ．

A
AA
E
F
B
D
C
B
F
D
C
E
E
B
D
F
C
【解析】
连接
CF
，

S
△ACF

BD26

DC39

根 据燕尾定理，
S
△ABF
，
S
△ABF
S
△CBF

AE36

,

EC510
设
S< br>△ABF
6
份，则
S
△ACF
9
份,
S
△BCF
10
份，
S
△EFC
9
S
△CDF
10
3
6
份，所以
S
DCFE
2 3
545
份，

358
4545
200(691 0)(6)8(6)93(cm
2
)

88

【巩固】如图，已知
BD3DC
，
EC2AE
，
BE
与
CD
相交于点
O
,则
△ABC
被分成
的
4
部分面积各占
△ABC
面积的几分之几？

AA
1
1
E
2
4.5
D
1
C
E
O
9< br>O
2
13.5
B
D
C
B
3
【解析】
连接
CO
,设
S
△AEO
1
份，则其他部分的面 积如图所示，所以
S
△ABC
1291830
份，所以四部分按从 小到大各占
△ABC
面积的
124.5139313.59

,,,
30


【巩固】(
2007
年香港 圣公会数学竞赛)如图所示，在
△ABC
中，
CP
1
CB
，
2
1
CQCA
，
BQ
与
AP
相交于点
X
3
，若
△ABC
的面积为
6
，则
△AB X
的面积
等于 ．

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C
C
Q
X
A
B
A
P
Q
X
B
C
P
Q
4
1
X
A
1
4
P


【解析】
方法一：连接
PQ
．

由于
CP
1
CB
，
CQ
1
CA
，所以
S
V
ABQ

2
S
V
ABC
，
S
V
BPQ

1
S
V
BCQ

1
S
V
ABC
．

23326
B
由蝴蝶定理知，
AX:XPS
V
ABQ
:S
V
BPQ

2
S
V
ABC
:
1
S
V
ABC
4:1
，
36
所以
S
V
ABX
44122
S
V
ABP
S
V
ABC
S
V
ABC
62 .4
．

55255
方法二：连接
CX
设
S
△CPX
1
份，根据燕尾定理标出其他部分面积，

所以
S
△ABX
6(1144)42.4


【巩固】如图，三角形
ABC
的面积是
1
，
BD2DC< br>，
CE2AE
，
AD
与
BE
相交于
点F
，请写出这
4
部分的面积各是多少?

A
E
F
B
D
C
B
6
8
A
1
F
2
4
E
C
D
【解析】
连接
CF
，设S
△AEF
1
份，则其他几部分面积可以有燕尾定理标出如图所
示，所 以
S
△AEF

1
,
S
△ABF

6

2
,
S
△BDF

8
,
S
FDCE

24

2

2121721217


【巩固】如图，
E
在
A C
上，
D
在
BC
上，且
AE:EC2:3
,BD:DC1:2
，
AD
与
BE
交
于点
F< br>．四边形
DFEC
的面积等于
22cm
2
，则三角形
ABC
的面
积 ．


AAA
1.6
E
2
F
2.4
1
2
C
D
E
FB
D
C
B
F
D
E
B
C
【解析 】
连接
CF
,根据燕尾定理，
S
S
△ABF
BD 1
AE2

，
△ABF

,

S
△ACF
DC2
S
△CBF
EC3

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设
S
△BDF
1
份，则
S
△DCF
2
份，
S
△ABF
2
份，
S
△AFC
4
份，
S
△AEF
4
份,
S
△EFC
4
份

所以
S
△ABC
224.4945(cm
2
)


2
1.6

23
3
2.4份,如图所标,所以
S
EFDC
22.44.4
份,
S< br>△ABC
2349
23
【巩固】三角形
ABC
中，
C
是直角，已知
AC2
，
CD2
，
CB3< br>，
AMBM
，那
么三角形
AMN
(阴影部分)的面积为多少 ？

A
M
N
C
【解析】
连接
BN
．

A
M
N
D
B
C
D
B

△ABC
的面积为
3223

根据燕尾定理，
△ACN:△ABNCD:BD2:1
；

同理
△CBN:△CANBM:AM1:1

设
△AMN
面积为1份，则
△MNB
的面积也是1份，所以
△ANB
的面积是
112
份，而
△ACN
的面积就是
224
份，
△C BN
也是4份，这样
△ABC
的面积为
441110
份，所 以
△AMN
的面积为
31010.3
．


【巩固】如图，长方形
ABCD
的面积是
2
平方厘米，
EC2DE
，
F
是
DG
的中
点．阴影部分的面积是多少平方厘米?
A
F
B
G
D
E
C
B
BA
A
3
F
3
G
1
D
D
EF< br>x
2
y
3
x
y
C
E
G

C
【解析】
设
S
△DEF
1
份，则根据燕尾定 理其他面积如图所示
S
阴影

55
S
△BCD
< br>平方厘
1212
米.


【例 2】
如图所示，在 四边形
ABCD
中，
AB3BE
，
AD3AF
，四边形
AEOF
的面积
是
12
，那么平行四边形
BODC
的面积为．

A
F
2
E
B
O
C
D
B
E
1
O
6
A
4
F
8
D
6
C


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【解析】
连接
AO,BD
,根据燕尾定 理
S
△ABO
:S
△BDO
AF:FD1:2
,
S
△AOD
:S
△BOD
AE:BE2:1
,
设S
△BEO
1
,则其他图形面积，如图所标，所以
S
BODC
2S
AEOF
21224
.


【例 3】
ABCD
是边长为
12
厘米的正方形，
E
、
F
分别是
AB
、
BC
边的中点，
AF
与
C E
交于
G
，则四边形
AGCD
的面积是平方厘米．

D
C
D
C
G
F
G
F


【解析】
连接
AC
、
GB
，设
S△AGC
1
份，根据燕尾定理得
S
△AGB
1
份，
S
△BGC
1
份，则
S
正方形
（111） 26
份，
S
ADCG
314
份，所以
S
ADCG
12
2
6496(cm
2
)


【例 4】
如图，正方形
ABCD
的面积是
120
平方厘 米，
E
是
AB
的中点，
F
A
E
B
A
E
B
是
BC
的
中点，四边形
BGHF
的面积是平方厘米．

A
D
A
D
E
G
H< br>E
G
H


【解析】
连接
BH,根据沙漏模型得
BG:GD1:2
,设
S
△BHC
1份，根据燕尾定理
127
（122)210
份，
S
BF HG

，所以
S
△CHD
2
份，
S
△BHD
2
份，因此
S
正方形

236
B
F
CB
F
C
S
BFHG
12010
714
(平方厘米).

6

【例 5】
如图所示， 在
△ABC
中，
BE:EC3:1
，
D
是
AE< br>的中点，那么
AF:FC
．

A
F
A
F
DD
B
【解析】
连接
CD
．

ECBEC

由于
S
△ABD
:S
△BED
1:1
，
S
△BED
: S
△BCD
3:4
，所以
S
△ABD
:S
△BC D
3:4
，

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根据燕尾定理，
AF:FCS
△ABD
:S
△BCD
3:4
．


【巩固】在
ABC
中，
BD:DC3:2
，
AE:EC3:1
，求
OB:OE
？

AA
O
B
【解析】
连接
OC
．

E
D
C
O
E
D
C

B

因为
BD:DC3:2
，根据燕尾定理，
S
AOB
:S
AOC
BD:BC3:2
，即
3
SAOB
S
AOC
；

2
又
AE:EC 3:1
，所以
S
AOC

4
S
AOE
．则
S
AOB

3
S
AOC

3
4
S
AOE
2S
AOE
，

3223
所以
OB:OES
AOB
:S
AOE
2: 1
．


【巩固】在
ABC
中，
BD:DC2:1
，
AE:EC1:3
，求
OB:OE
？

A
E
O
C
B
D
【解析】
题目求的是边的比值，一般来说可以通过分别求出每条边的值再作比

值，也可以通过 三角形的面积比来做桥梁，但题目没告诉我们边的长
度，所以应该通过面积比而得到边长的比．本题的图 形一看就联想到
燕尾定理，但两个燕尾似乎少了一个，因此应该补全，所以第一步要
连接
OC
．

连接
OC
．

A
E
O
C
B
D
因为
BD:DC2:1
，根据燕尾定理，
S
AOB
:S
AOC
BD:BC2:1
，即
SAOB
2S
AOC
；

又
AE:EC1:3< br>，所以
S
AOC
4S
AOE
．则
S
 AOB
2S
AOC
24S
AOE
8S
AOE
，

所以
OB:OES
AOB
:S
AOE< br>8:1
．


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【例 6】
（2009年清华附中入学测试题）如图，四 边形
ABCD
是矩形，
E
、
F
分
别是
AB
、
BC
上的点，且
AE
1
AB
，
CF
1
BC
，
AF
与
CE
相交于
G
， 若矩
34
形
ABCD
的面积为
120
，则
AEG
与
CGF
的面积之和为 ．

A
E
G
B
FC
D
A
E
H
B
D
AE
G
FC
B
G
FC
D

【解析】
(法1)如图，过
F
做
CE
的平行线交
AB
于
H
，则
EH:HBCF:FB1:3
，

所以
AE
1
EB2EH
，
AG:GFAE:EH2
，即
AG2GF
，

2


所以
S< br>AEG

1

2
S
ABF

2

3

1
S
X
ABCD
10
．

33942
且
EG
2
HF
2
< br>3
EC
1
EC
，故
CGGE
，则
SCGF
1
1
S
AEG
5
．

33422
所以两三角形面积之和为
10515
．

(法2)如上右图，连接
AC
、
BG
．

根据燕尾 定理，
S
ABG
:S
ACG
BF:CF3:1
，< br>S
BCG
:S
ACG
BE:AE2:1
，

而
S
ABC

1
S
X
ABCD
60
，

2
所以
S
ABG

则
S
AEG

3
，
S
ABC

16030
，
S
BCG

2
，
S
ABC

1
6020
，

32123213
11
S
ABG
10
，
S
CFG
 S
BCG
5
，

34
所以两个三角形的面积之和为15．

【例 7】
如右图，三 角形
ABC
中，
BD:DC4:9
，
CE:EA4:3
，求
AF:FB
．

A
F
B
O
D
E
C
【解析】
根据 燕尾定理得
S
△AOB
:S
△AOC
BD:CD4:912: 27



S
△AO B
:S
△BOC
AE:CE3:412:16

（都有
△AOB
的面积要统一，所以找最小公倍数）

所以
S
△AOC
:S
△BOC
27:16AF:FB

【点 评】本题关键是把
△AOB
的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我
们用比例解题 中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达
到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！


【巩固】如右图，三角形
ABC
中，
BD:DC3:4
，
AE:CE5:6
，求
AF:FB
.

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A
F
B
O
D
E
C
【解析】
根据 燕尾定理得
S
△AOB
:S
△AOC
BD:CD3:415: 20



S
△AO B
:S
△BOC
AE:CE5:615:18

（都有
△AOB
的面积要统一，所以找最小公倍数）

所以
S
△AOC
:S
△BOC
20:1810:9AF:FB


【巩固】如图，
BD:DC2:3
,
AE:CE5:3
,则
AF:BF


A
E
C
F
B
D
G
【解析】
根据 燕尾定理有
S
△ABG
:S
△ACG
2:310:15
,
S
△ABG
:S
△BCG
5:310:6
,所以S
△ACG
:S
△BCG
15:65:2AF:BF



【巩固】如右图，三角形
ABC
中，
BD:DC2: 3
，
EA:CE5:4
，求
AF:FB
.

A
F
B
O
D
E
C
【解析】
根据 燕尾定理得
S
△AOB
:S
△AOC
BD:CD2:310: 15



S
△AOB
:S
△BOC
AE:CE5:410:8

（都有
△AOB
的面积要统一，所以找最小公倍数）

所以
S
△AOC
:S
△BOC
15:8AF:FB

【点评 】本题关键是把
△AOB
的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我
们用比例解题中 屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达
到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！


【例 8】
(2008年“学而思杯”六年级数学试题)如右图，三角形
ABC
中，
AF:FBBD:DCCE:AE3:2
，且三角形
ABC
的面积是
1
，则三角形
ABE
的面
积为，三角形
A GE
的面积为，三角形
GHI
的面积为．

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A
E
F
H
B
G
I
D
C
A
E
F
H
B
G
I
D
C


【分析】
连接
AH
、
BI
、
CG
．

由于
CE:AE3:2
，所以
AE
2
AC
，故
S< br>ABE

2
S
ABC

2
；

555
根据燕尾定理，
S
ACG
:S
ABG
 CD:BD2:3
，
S
BCG
:S
ABG
CE:E A3:2
，所以

49
S
ACG
:S
ABG
:S
BCG
4:6:9
，则
S
ACG
，
S
BCG

；

1919
那么
S
AGE

2
S
AGC

2

4
5519
同样分析可得
S
ACH

9
，则EG:EHS
ACG
:S
ACH
4:9
，
19
EG:EBS
ACG
:S
ACB
4:19
，所以< br>EG:GH:HB4:5:10
，同样分析可得

8
；

95
AG:GI:ID10:5:4
，

所以
S
BIE

5
S
BAE

5

2

1
，
S
GHI

5
S
BIE
5

1

1
1
．


【巩固】 如右图，三角形
ABC
中，
AF:FBBD:DCCE:AE 3:2
，且三角形
GHI
的面积是
1
，求三角形
ABC< br>的面积．

AA
F
I
B
H
G
DE
F
I
C
B
H
G
D
E
C【解析】
连接，
S
△AGC

6
份


根据燕尾定理，
S
△AGC
:S
△BGC
AF :FB3:26:4
，
S
△ABG
:S
△AGC
BD :DC3:29:6

得
S
△BGC
4
(份)，S
△ABG
9
(份)，则
S
△ABC
19
(份)，因此
S
△AGC
S
△ABC

6
,

19
同理连接、得
S
△ABH
所以
S
△GHI

S
△ABC

S
△ABC

6
,
S
△BIC

6
,

19S
△ABC
19
196661


1919
三角形的面积是1，所以三角形的面积是19

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【巩固】(2 009年第七届“走进美妙的数学花园”初赛六年级)如图，
ABC
中
BD2DA
，
CE2EB
，
AF2FC
，那么
ABC
的 面积是阴影三角形面积
的 倍．

A
D
G
F
H
B
E
I
C
H
I
C
B
E
D
G
F
A
【分析】
如图，连接
AI
．



根据燕尾定理 ，
S
BCI
:S
ACI
BD:AD2:1
，
S
BCI
:S
ABI
CF:AF1:2
，
所以，
S
ACI
:S
BCI
:S
ABI
1:2:4
，

那么，
S
BCI

2
S
ABC

2
S
ABC
．

12 47
同理可知
ACG
和
ABH
的面积也都等于
ABC
面积的
2
，所以阴影三角
7
形的面积等于
ABC
面积的
1
2
3
1
，所以
ABC
的面积是阴 影三角形面
77
积的7倍．


【巩固】如图在
△ABC< br>中，
DC

EA

FB

1
,求< br>△GHI的面积
的值．

DBECFA2
△ABC的面积
A< br>E
H
F
I
B
G
D
C
B
F< br>I
G
D
C
H
A
E
【解析】
连接, 设
S
△BGC

1份，根据燕尾定理
S
△AGC
: S
△BGC
AF:FB2:1
,
S
△ABG
:S
△AGC
BD:DC2:1
,得
S
△AGC
2
(份 )，
S
2
S
△ABG
4
(份),则
S
△ ABC
7
(份)，因此
△AGC

,同理连接、得
S△ABC
7

S
△ABH
2
S
△BIC
2

,

,

S
△ABC
7S
△ABC
7
所以
S
△GHI
S
△ABC

72221


77
【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相 同的，那么在同样的位置
上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很
多题 目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们
有对称法作辅助线.


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【巩固】如图 在
△ABC
中，
DC

EA

FB
1
,求
△GHI的面积
的值．

DBECFA3
△AB C的面积
A
E
H
F
I
B
G
D
C< br>B
F
I
G
D
C
H
A
E
【解 析】
连接,设
S
△BGC

1份，根据燕尾定理
S
△AGC
:S
△BGC
AF:FB3:1
,
S
△AB G
:S
△AGC
BD:DC3:1
,得
S
△AGC3
(份)，
S
3
S
△ABG
9
(份),则
S
△ABC
13
(份)，因此
△AGC

,同理 连接、得
S
△ABC
13

S
△ABH
S
3
13
,
△BIC

,

S
△ABC< br>S
△ABC
13
所以
S
△GHI

S
△ABC

133334



1313
【巩固】如右图，三角形
ABC
中，
AF:FBBD:DCCE :AE4:3
，且三角形
ABC
的
面积是
74
，求角形< br>GHI

的面积．

AA
F
I
B
H
G
D
E
F
I
C
B
H
G
D
E
C
【解析】
连接，
S
△AGC

12份

根据燕尾定理，S
△AGC
:S
△BGC
AF:FB4:312:9
，< br>
12
,

37

S
△ABG
:S
△AGC
BD:DC4:316:12

得
S
△BG C
9
(份)，
S
△ABG
16
(份)，则
S< br>△ABC
9121637
(份)，因此
S
△AGC
S
△ABC
同理连接、得
S
△ABH
所以
S
△GHI
S
△ABC

S
△ABC

12
S
△BIC
12
,,


37S
△ABC
37
371212121


3737
三角形的面积是
74
,所以三角形的面积是
74
1
2

37
【例 9】
两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示， 三个
三角形的面积 分别是
3
，
7
，
7
，则阴影四边形的面积是多少？

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A
D
3
7
7
A
E
x+3
E
D
7
3
F
7
x
B
3
F
7
7
C
B
C
【解析】
方法一：遇到没有标注字母的图形，我们第一步要做的就是给图形各

点标注字母，方便后面的计算.

再看这道题，出现两个面积相等且共底的三角形．

设三角形为
ABC
，
BE
和
CD
交于
F
，则
BFFE
， 再连结
DE
．

所以三角形
DEF
的面积为3.设三角形< br>ADE
的面积为
x
，

则
x:

3 3

AD:DB

x10

:10
，所以
x15
，四边形的面积为
18
．

方法二：设
S
△ADF
x
，根据燕尾定理
S
△ABF
:S
△B FC
S
△AFE
:S
△EFC
,得到
S
△AEF
x3
，再根据向右下飞的燕子，有
(x37):7x:3
，解得< br>x7.5
四边
形的面积为
7.57.5318

< br>【巩固】右图的大三角形被分成5个小三角形，其中4个的面积已经标在
图中，那么，阴影三角形 的面积是 ．

2
13
4
【解析】
方法一：整个题目读完，我们没有发现任何与边长相关的条件，也没

有任何与高或者 垂直有关系的字眼，由此，我们可以推断，这道题不
能依靠三角形面积公式求解.我们发现右图三角形中 存在一个比例关
系：

2:S
阴影


13
:4
，解得
S
阴影
2
.

:S< br>阴影
4）1:3
，解得
S
阴影
2
.

方法二：回顾下燕尾定理，有
2（

【例 10】
如图，三角形< br>ABC
被分成
6
个三角形，已知其中
4
个三角形的面
积，问三角形
ABC
的面积是多少?

A
F
84
O
40
30
35
E
B
D
C
【解析】
设
S
△BOF
x
，由题意知
BD:DC4:3
根据燕 尾定理,得

33
S
△ABO
:S
△ACO
S< br>△BDO
:S
△CDO
4:3
,所以
S
△ACO< br>(84x)63x
，

44
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再根据
S
△ABO
:S
△BCO
S
△AOE:S
△COE
，列方程
(84x):(4030)(63
3x35):35
解得
4
x56

S
△AOE
:35(5684):(4030)
,所以
S
△AOE
70

所以三角形的面积是
844030355670315


【例 11】
三角形的面积为15平方厘米，
D
为中点，
E
为中点，
F
为中点，
求阴影部分的面积．

AA
D
E
D
E
M
N
B
F
C
B
F
C
【解析】
令与的交点为
M
，与的交点为
N
，连接，．

< br>在
△ABC
中，根据燕尾定理，
S
△ABM
:S
△B CM
AE:CE1:1
,
S
△ACM
:S
△BCMAD:BD1:1
,

所以
S
△ABM
S
△ACM
S
△BCN

1
S
△ABC

3
由于
S
△AEM

1
S
△AMC
< br>1
S
△ABM
S
，所以
BM:ME2:1

22
在
△EBC
中，根据燕尾定理，
S
△BEN
:S△CEN
BF:CF1:1S
△CEN
:S
△CBN
ME :MB1:2

设
S
△CEN
1
(份)，则
S
△BEN
1
(份)，
S
△BCN
2
(份)，< br>S
△BCE
4
(份)，

所以
S
△BCN

1
S
△BCE

1
S
△ABC
,
S
△BNE

1
S
△BCE

1
S
△ABC
，因为
BM:ME2:1
为中点,

244 8
所以
S
△BMN

2
S
△BNE
2

1
S
△ABC

1
S
△ABC< br>,
S
△BFN

1
S
△BNC

1

1

1
S
△ABC
,

338 122248
11

55
S
△ABC
153.125
(平方厘米)

所以
S
阴影





S
△ABC

1282424


【例 12】
如右图，
△ABC
中，
G
是
AC< br>的中点，
D
、
E
、
F
是
BC
边上的 四等分
点，
AD
与
BG
交于
M
，
AF与
BG
交于
N
，已知
△ABM
的面积比四边形
FCGN
的面积大
7.2
平方厘米，则
△ABC
的面积是多少平方厘 米？

A
G
M
F
C
B
D
EFC
A
G
N
M
B
D
E
N
【解析 】
连接
CM
、
CN
．


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根据燕尾定理 ，
S
△ABM
:S
△CBM
AG:GC1:1
，
S
△ABM
:S
△ACM
BD:CD1:3
，所以
1
S
△ABM
S
△ABC
；

5
再根据燕 尾定理，
S
△ABN
:S
△CBN
AG:GC1:1
， 所以
S
S
△ABN
:S
△FBN
S
△CBN:S
△FBN
4:3
，所以
AN:NF4:3
，那么
△ANG
S
△AFC
2

51
以
S
FC GN


1SS
△ABC

△AFC
< br>
7

74
5
S
△ABC
．
28
142

2437
，所
根据题意，有
1S
△ABC

5
5
S
△ABC
7.2
，可得
S
△ABC
336
(平方厘米)

28

【巩固】(2007年四中分班考试题)如图，
ABC
中，点
D
是 边
AC
的中点，点
E
、
F
是边
BC
的三等 分点，若
ABC
的面积为1，那么四边形
CDMF
的
面积是．
A
D
N
C
B
E
A
D
NB
E
MM


【解析】
由于点
D
是边
AC
的中点，点
E
、
F
是边
BC的三等分点，如果能求出
BN
、
NM
、
MD
三段的比， 那么所分成的六小块的面积都可以求出来，
其中当然也包括四边形
CDMF
的面积．< br>
连接
CM
、
CN
．

根据燕尾定理，S
ABM
:S
ACM
BF:CF2:1
，而
S
ACM
2S
ADM
，所以
4
S
ABM2S
ACM
4S
ADM
，那么
BM4DM
， 即
BMBD
．

5
FF
C
那么
S
BMF

BM

BF
S
BCD

4

2

1

4
，
S
四边形CD MF

1

BDBC53215
另解：得出
S
A BM

【例 13】
2S
ACM
4S
ADM后，可得
S
ADM
47
．


21530< br>1111
S
ABD

，

55210
则
S
四边形CDMF
S
ACF
S
ADM

1

17
．


31030
如图，三角 形
ABC
的面积是
1
，
BDDEEC
，
CF FGGA
，三角形
ABC
被分成
9
部分，请写出这
9部分的面积各是多少?

A
A
G
G
P
Q
F
B
B
F
N
D
EC
M
DEC


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【解析】
设与交于点
P
，与交于点
Q
，与交于点
M
，与交于点
N
．连接，，，．

5
根据燕尾定理，
S
△ABP
:S
△CBP
AG:GC1:2
，
S△ABP
:S
△ACP
BD:CD1:2
，设
1
S
△ABP
1
(份)，则
S
△ABC
1225(份)，所以
S
△ABP


同理可得，
S
△ ABQ

2
,
S
△ABN

1
,而
S
△ABG

1
，所以
S
△APQ

2

1

72375
121
S
△AQG
 
．

3721
3
，
35
同理，
S
△BPM
S
四边形MNED
311239
，
S
△BDM< br>
,所以
S
四边形
PQMN

3521273 570
1395
,
S
四边形NFCE

1

1

5

1
,
S
四边形GFNQ
1

1

1

5


3357642


【巩固】如图，
ABC的面积为1，点
D
、
E
是
BC
边的三等分点，点
F
、
G
是
AC
边的三等分点，那么四边形
JKIH
的面积是多少？

C
F
G
K
A
I
HB
A
J
D
E
G
K
I
H
BF
C
J
D
E


【解析】
连接
CK
、
CI
、
CJ
．

根据 燕尾定理，
S
ACK
:S
ABK
CD:BD1:2
，
S
ABK
:S
CBK
AG:CG1:2
，

所以
S
ACK
:S
ABK
:S
CBK< br>1:2:4
，那么
S
ACK

1

1< br>，
S
AGK

1
S
ACK

1
．

1247321
类似分析可得
S
AGI

那么，
S
CGKJ

1

4
2
．

15
4
又
S
ABJ
:S
CBJ< br>AF:CF2:1
，
S
ABJ
:S
ACJ
 BD:CD2:1
，可得
S
ACJ

1
．

117

．

2184
84
根据对称性，可知四边 形
CEHJ
的面积也为
17
，那么四边形
JKIH
周围的图形的面积之和为
S
CGKJ
2S
AGI
S
ABE

17
2
84
2161

，所以四 边形
15370
JKIH
的面积为
1
619

．

7070

【例 14】
如右图，面积为
1
的
△ABC
中，
BD:DE:EC1:2:1
，
CF:FG:GA 1:2:1
，
AH:HI:IB1:2:1
，求阴影部分面积．

A
H
G
H
N
M
F
P
E
C
A
G
I
B
DE
F
C
B
I
D

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【解析】
设
IG
交
HF
于
M
，
IG
交HD
于
N
，
DF
交
EI
于
P
．连接
AM
，


IF
．

∵
AI:AB3:4
，
AF:AC3:4< br>，
S
△AIF

9
S
△ABC

16
∵
S
△FIM
:S
△AMF
I H:HA2
，
S
△FIM
:S
△AIM
FG:GA2
，

∴
S
△AIM

1
S
△AIF

9
S
△ABC
∵
AH:AI1:3
∴
S
△AHM

464
3
S
△ABC
，

64
∵
AH:AB1:4

AF:AC3:4
∴
S
△AHF

同理
S
△CFD
S
△BDH

3
S
△ABC
∴
S
△FDH
16
3
S
△ABC
．

16
733
S
△ABC

HM:HF:1:4
，

166416
∵
AI:AB3:4,AF:AC3:4
，

∴
IF∥BC
，

又∵
IF:BC3:4,DE:BC1:2
，

∴
DE:IF2:3,DP:PF2:3
，

同理 < br>HN:ND2:3
，∵
HM:HF1:4
，∴
HN:HD2:5
，

∴
S
△HMN

1
S
△HDF

7
S
△ABC

7
．

10160160
同理
6
个小阴影三角形的面积均为
阴影部分面积


【例 15】
7
．

160
721
6
．

16080
如图，面积为 l的三角形中，
D
、
E
、
F
、
G
、
H
、
I
分别是、、 的
三等分点,求阴影部分面积.

A
D
E
I
H
E
Q
D
P
A
I
M
H
N


【解析】
三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理
吧！

令与 的交点为
M
，与的交点为
N
，与的交点为与的交点为
Q
,连 接、、

⑴求
S
四边形ADMI
：在
△ABC
中， 根据燕尾定理，
S
△ABM
:S
△CBM
AI:CI1:2S< br>△ACM
:S
△CBM
AD:BD1:2

B
F
G
C
B
F
G
C
设
S
△ABM1
(份)，则
S
△CBM
2
(份),
S
△ ACM
1
(份),
S
△ABC
4
(份),
< br>所以
S
△ABM
S
△ACM

1
S
△ABC
，所以
S
△ADM

1
S
△ABM
1
S
△ABC
,
S
△AIM

1< br>S
△ABC
,

所以
S
四边形ADMI
4< br>111
()S
△ABC
S
△ABC
,

12126
31212
同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是
△ABC
面积的
1

6
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：在
△ABC
中，根据燕尾定理
S
△ABN
:S
△ACN
BF:CF1:2S
△ACN
:S△BCN
AD:BD1:2
,

所以
S
△ADN< br>
1
S
△ABN

1

1
S
△ABC

1
S
△ABC
,同理
S
△BEQ
五边形DNPQE
⑵求
S
33721
1
S
△ ABC

21
在
△ABC
中，根据燕尾定理
S
△A BP
:S
△ACP
BF:CF1:2
,
S
△ABP:S
△CBP
AI:CI1:2

所以
S
△ABP

1
S
△ABC

5
1
所以
S
五边形DNPQE
S
△ABP
S
△ADN
S
△BEP




11
11


S
△ABC
S
△ABC

105

52121

同理另外两个五边形面积是
△ABC
面积的
11

105
所以
S
阴影
1< br>1
3
11
3
13

610570

【例 16】
如图，面积为l的三角形中，
D
、
E
、F
、
G
、
H
、
I
分别是、、 的
三等分点,求中心六边形面积.

A
D
E
I
H< br>E
Q
B
F
G
C
B
M
F
S< br>G
C
D
A
I
P
H
N
R
【解 析】
设深黑色六个三角形的顶点分别为
N
、
R
、
P
、
S
、
M
、
Q
，连接


在< br>△ABC
中根据燕尾定理，
S
△ABR
:S
△ACR
BG:CG.2:1
,

S
△ABR
:S
△CBR
AI:CI1:2

所以
S
△ABR

2
S
△ABC
,同理
S
△ACS

2
S
△ABC
,
S
△CQB< br>
2
S
△ABC

777
所以
S
△ RQS
1
2

2

2

1

7777
同理
S
△MNP

1

7
根据容斥原理，和上题结果
S
六边形

1

1

13

1

777010

【例 17】
（
2009
年数学解题能力大赛六年级初试试题）正六边形
A
1
，
A
2
，
A
3
，
A
4
，
A
5
，
A
6
的面积是
2009
平方厘米，
B
1
，
B
2
，
B
3
，
B
4
，
B
5
，
B
6
分别是
正六边形各边的中点 ；那么图中阴影六边形的面积是 平方厘
米．

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A
1
B
6
A
6
B
5
B
1
A
2
B
2
A
3
B
3
B
6
A
6
B
5
A
1
B
1
D
G
E
A
2
B
2
A
3
B
3
A
5
B
4
A
4
A
5
B
4
A
4
【 解析】
（方法一）因为空白的面积等于
△A
2
A
3
G面积的
6
倍，所以关键求
△A
2
A
3
G
的面积，根据燕尾定理可得
S
△A
2
A
3
G
< br>3
S
△A
1
A
2
A
3

3

1

1
S
正六边形
，但在
△A
1
A
2
A
3
用
7732

燕尾定理时，需 要知道
A
1
D,A
3
D
的长度比，连接
A
1
A
3
,A
6
A
3
,
A
1
G
,过
B
6
作
A
1
A
2
的平行 线，交
A
1
A
3
于
E
，根据沙漏模型得
A
1
DDE
,再根据金字塔模型得
1
份，则
S3
A
1
EA
3
E
,因此
A
1
D:A3
D1:3
,在
△A
1
A
2
A
3< br>中，设
S
△A
1
A
2
G△A
2
A< br>3
G
份,
S
△A
3
A
1
G
3
份，所以
S
△A
2
A
3
G

因此
S
阴影
（1
1
6）S
正六边形
1433111
S
△A
1
A
2
A
3
 S
正六边形
S
正六边形
，

773214
4
20091148
（平方厘米）

7
（方法二）既然给的图形是特殊的正六边形，且阴影也是正六边形我
们可以用下图的割补思路， 把正六边形分割成
14
个大小形状相同的
梯形，其中阴影有
8
个梯形 ，所以阴影面积为
8
20091148
（平方厘
14
米）

A
D
A
1
B
6
B
1
G
A
2
E
D
B
2
A
3
E
G
B
F
C
A
6
B
5
A
5
B
4
A
4
B
3

【例 18】

已知四 边形
ABCD
，
CHFG
为正方形，
S
甲
:S乙
1:8
，
a
与
b
是两个正方
形的边长，求
a:b?

A
a
甲
D
O
C
G< br>D
M
B
A
a
甲
O
B
C
G< br>乙
E
H
b
F
E
NH
乙
b
F


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【解析】
观察图形，感觉阴影部分像蝴蝶定理，但是细细分析发现用蝴蝶定理
无法继 续往下走，注意到题目条件中给出了两个正方形的边长，有边
长就可以利用比例，再发现在连接辅助线后 可以利用燕尾，那么我们
就用燕尾定理来求解

连接、，

根据燕尾 定理：
S
△AOE
:S
△AOF
a:b
，
S△AOF
:S
△EOF
a:b


所以
S
△AOE
:S
△EOF
a
2
:b
2
， 作⊥、⊥，

∵


∴
OM:ONa
2
:b
2

∴
S:S a
3
:b
3
甲
乙
1:8

∴
a:b1:2





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