高胜美歌曲-山东省义务教育条例

For personal use only in study and research; not for
commercial use


蚅
2.3 孙子定理

肃
一、教学目标：

薀
1.掌握孙子定理

袇
2.掌握孙子定理的证明思想

螆
3.掌握孙子定理的应用
二、教学重点：孙子定理的证明，孙子定理的应用
三、教学难点：孙子定理的证明思想、孙子定理的应用
四、课时安排：2个课时
五、教学手段：采用多媒体演示与讲授相结合的方法，用多媒体边演示边讲解。
六、教学过程：

膂

羀

蚇

薄

蒄

课程导入：
《
孙子算经》、《周髀算经》 与《九章算术》这三部著作是我国古代三
大数学名著。

莈
新课内容： 1. 孙子问题

薅
在公元三世纪前的《孙子算经》中记载着一道世界闻名的“孙子 问题”：“今有
物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？” 这
道题的意思是：有一批物品，不知道有多少件。如果三件三件地数，就会剩下两
件；如果五件五件地数， 就会剩下三件；如果七件七件地数，也会剩下两件。问
这批物品有多少件？

荿

它可表示成解同余式组：x2(mod 3), x3(mod 5), x2(mod 7)

肂
其中x是所求物品数。

膈
我国明朝数学家程大位在其著作《算法统综》（1593年）中用诗歌概括了这个
问题的解法：三人同行 七十稀、五树梅花二一枝、七子团圆正半月，除百零五便
得知。

蚆
它的意 思是：把用3除所得余数乘上70，加上用5除所得余数乘上21，再加
上用7除所得余数乘上15，结 果如果比105多，则减去105的倍数，即得所求
之数。列成算式就是：

螁70

2+21

3+15

2-2

105=23。这种解法，实际上是特殊的一次同余式组的
求解定理。真正从完整的计算程序和理论上 解决这个问题的，是南宋时期的数学
家秦九韶。秦九韶在他的《数书九章》中提出了一个数学方法“大衍 求一术”，系
统地论述了一次同余式组解法的基本原理和一般程序。

薂
1 801年，德国数学家高斯在《算术探究》中明确提出一次同余式组的求解定
理。西方数学著作中将一次 同余式的求解定理称为中国剩余定理。

衿
这个方法的巧妙之处就在70，21，1 5这三个数上。70可被5和7整除，而且
是用3除余1的最小正整数；21可被3和7整除，而且是用 5除余1的最小正
整数；15可被3和5整除，而且是用7除余1的最小正整数。

蒄
2. 孙子定理

蚃
肃

xa
1< br>(modm
1
)


xa
2
(modm< br>2
)
我们把孙子问题进行推广，对于同余式方程组






xa
k
(modm
k
)
(1)


羁
孙子定理（中国剩余定理）：设m
1
, m
2
, , m
k
是正整数，

虿
(m
i
, m
j
) = 1，1  i, j  k，i  j。 (2)

蒅
记

膂
m = m
1
m
2
m
k
，M
i
=
m
，1  i  k，
m
i

莀
则存在整数M
i
（1  i  k），使得

荿
M
i
M
i
  1 (mod m
i
)， (3)

薇
M
i
M
i
  0 (mod m
i
)，1  j  k，i  j， (4)

薄
并且

螀
x
0


a
i
M
i
M
i

(mod m) (5)
i1
k

膀
是同余方程组(1)对模m的唯一解，即若有x使方程组(1)成立，则

莄
x  x
0
(mod m)。 (6)

证明：本节开头所讲的“孙子问题”即属于k=3的情况.程大位的四句诗中所包< br>含的思想，同样也给出了当k为任意正整数时的求解方法。对任一i(1≤i≤k)，找
蚂
一个数，他被m
i
除余1，而被其他的m
j
(j≠i)除尽，由(m
i
,m
j
)=1 (j≠i)知(M
i
,m
i
) =1，
利用辗转相除法可找到整数
M
i

,N
i
使 得
M
i
M
i

+N
i
m
i
=1即
M
i
M
i
  1 (mod m
i
)，
,
M
i
M
i

即 为所要找的数，它被m
i
除余1，而被其他的m
j
(j≠i)除尽。故

艿
即(5)是(1)的解

薆
若y也是(1)的解, 则得:xy(mod m
i
), 1≤i≤k于是, m
i
|(x-y), 1≤i≤k.

蒅
由于m
l
, m
2
, …,m
k
两两互素，故m|(x-y), 即xy(mod m)。因此,x 是(1)的唯
一解。
3.
4.
螁
孙子定理应用

据说汉代大将韩信，每当部队集合，他只要求部下士兵1—3，1—5，1—7
报数后，报告一 下各次的余数，便可知部队出操人数和缺额，这就是民间流
传的“韩信点兵”（亦称“秦王暗点兵”、“ 鬼谷算”、“大衍求一术”）问题
。


莆
这个定理，不仅在古代 数学史上占有重要地位，而且它包含了近代数学中许
蚈

多不同问题所共用的一种 思想方法。在插入理论、代数理论和泛涵分析中都
有广泛的应用。在电子计算机的程序中设计中也是不可 缺少的。

蒇
例1
解同余方程


2
膃
5x  6x  49  0 (mod 60)。 (15)

莂
解 因为60 = 345，所以，同余方程(15)等价于同余方程组
肇
5x
2
 6x  49  0 (mod 3)
芄
5x
2
 6x  49  0 (mod 4)
节
5x
2
 6x  49  0 (mod 5)。
分别解同余方程(16)，(17)，(18)得到解

袇
x
1
(1)
 1，x
2
(1)
 1 (mod 3)，

莅
x
1
(2)
 1，x
2
(2)
 1 (mod 4)，

蚄
x
1
(3)
 1 (mod 5)，
这样，同余方程(15)的解x可由下面的方程组决定：

薈
x  a
1
(mod 3)，x  a
2
(mod 4)，x  a
3
(mod 5)，
其中a
1
= 1或 1，a
2
= 1或 1，a
3
= 1。利用孙子定理，取

螂
m
1
= 3，m
2
= 4，m
3
= 5，m = 60，

蚀
M
1
= 20，M
2
= 15，M
3
= 12，

莈
M
1
 = 2，M
2
 = 1，M
3
 = 3，
则

膅
x  40a
1
 15a
2
 36a
3
(mod 60)。
将a
1
，a
2
，a
3
所有可能的取值代 入上式，得到方程(15)的全部解是

肈
x
1
 401  151  361  1 (mod 60)，

芆
x
2
 40(1)  151  361  19 (mod 60)，

(16)

(17)

(18)




螁

膁

莇

膄

聿

芃
x
3
 401  15(1)  361  31 (mod 60)，
x
4
 40(1)  15(1)  361  11 (mod 60)。

葿

七、课堂小结：本节课讲 解孙子定理，其中包括了孙子问题，孙子定理，同余
式方程组。通过本节的学习使学生能够掌握孙子定理 及其应用。
蝿

x3(mod7)
八、课堂作业：教材P4页，求解同余 式式方程组

要求将其写成
模56的形式。

6x10(mod 8)

仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。
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