小学数学中工程问题的公式的应用
初九是什么日子-采红菱
小学数学中工程问题的公式应用
在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项
任务，完成某
项工程等等，都要涉及到工作量、工作效率、工作时间这三个量，它
们之间的基本
数量关系是
工作量=工作效率×时间.
在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做
“工程问题”.
举一个简单例子.
一件工作，甲做10天可完成，乙做15天可完成.问两人合作几
天可以完成？
一件
工作看成1个整体，因此可以把工作量算作1.所谓工作效
率，就是单位时间内完成的工作量，我们用的
时间单位是“天”，甲、
乙的工作效率就分别是110、115，再根据基本数量关系式，得到
所需时间=工作量÷工作效率=1÷[（110）＋(115)]=6（天）•
两人合作需要6天.
这是工程问题中最基本的问题。
为了计算整数化（尽可能用整
数进行计算），还可以把工作量多
设份额.如上题，10与15的最小公倍数是30.设全部工作量为3
0份.
那么甲每天完成3份，乙每天完成2份.两人合作所需天数是：
30÷（3+ 2）=
6（天）
另外，因为“工作量固定，工作效率与时间成反比例”.甲、乙
工作效率的
比是（110）：（115）=15∶10=3∶2.当知道了两者工
作效率之比，从比例角度考虑问题，也就马上明确甲乙所需需时间比
是2：3.
因此，我们在解工程问题时，既可以用 “把工作量设为整体1”
的做法，也可以采用
“整数化”或“从比例角度出发”的做法，从而
使我们的解题思路更灵活一些.
《一》、两个人的问题
标题上说的“两个人”，也可以是两个组、两个队等等的两个集
体.
例1 一件工
作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.现在
甲先做了3天，余下的工作由乙继续完成.乙需要做几
天可以完成全
部工作？
解一，用“把工作量设为整体1”的作法：
{1-[(19)
×3]}÷(16)=4(天)
答：乙需要做4天可完成全部工作.
解二：9与6的最小公倍数是18.设全部工
作量是18份.甲每天
完成2份，乙每天完成3份.乙完成余下工作所需时间是
（18- 2 × 3）÷ 3= 4（天）.
解三：甲与乙的工作效率之比是
（19）：（16）= 6∶ 9= 2∶ 3.
甲做了3天，相当于乙做了2天
.已知乙单独完成全部工作需要
6天。那么，乙完成余下工作所需时间是6-2=4（天）.
例2 ，一件工作，甲、乙两人合作30天可以完成，共同做了6
天后，甲离
开了，由乙继续做了40天才完成.如果这件工作由甲或乙
单独完成各需要多少天？
解：共同做了6天后，
余下的工程，本来应该是甲做 24天，乙做 24天的工作量，
现在，甲做0天，乙做40=（24+16）天.
这说明，乙除了用24天做完了自己本来
能够完成的24天的工
作量，还用16天做完了原来甲24天能够做的工作量。因此甲的工作
效
率与乙的工作效率的比是（124）：（116）=2：3，
因为甲乙工作效率的和是130，所以
甲的工作效率是，（130）÷（2+3）×2=175
乙的工作效率是，（130）÷（2+3）×3=150
如果甲独做，所需时间是，1÷175=75(天)
如果乙独做，所需时间是，1÷150=50（天）
答：甲或乙独做所需时间分别是75天和50天.
例3 ，某工程先由甲独做63天，再由
乙单独做28天即可完成；
如果由甲、乙两人合作，需48天完成.现在甲先单独做42天，然后
再由乙来单独完成，那么乙还需要做多少天？
解一：先对比如下：
独做，甲先独做63天，再由乙独做28天；
合作，甲做48天，乙做48天.
就知道甲少做63-48=15（天），乙要多做48-28=20（天），由
此得出结论，甲的少做的
15天的工作量等于乙多做的的20天的工作
量，就是说在同样工作量的前提
下，甲、乙独做需要的工作天数比是，
15：20=3：4，
现在甲先单独做42天
，比48天少做了48-42=6（天），这样甲
少做的6天的工作量，就要由乙在做完自己48天的工
作量的基础上，
多做相当于甲6天的工作量。在都做相当于甲6天的工作量的时候，
甲所用的6
天和乙所用的天数的比与3：4成正比。就是：
3：4=甲在48天之内少做的天数6：乙在48天之外要多做的天数，
乙在48天之外还要做的天数就是，4×6÷3=8
因此，乙还要做48+8=
56 （天）.
答：乙还需要做 56天.
解二， 先对比如下：
独做，甲先做63天，乙后做28天；
合做，甲做48天，乙做48天.
就知道甲少做63-48=15（天），乙要多做48-28=20（天），由
此得出结论，甲的15天
的工作量等于乙的20天的工作量，
由此得出，甲的工作效率是乙的工作效率的倍数：
（115）÷（120）=43倍，
因为如果由甲、乙两人合作，需48天完成.所以甲、乙工作效率
的和是148，
根据和倍问题的解题法则可求出，
乙的工作效率=（148）÷[(43)+1]=1112
甲的工作效率=（1112）×（43）=184
现在甲先单独做42天，那么甲在42天中的工作量就是：
（184）×42=12
乙要单独完成的工作量就是：1-（12）=12
乙需要做的时间就是：（12）÷（1112）=56（天）
答：乙还需要做 56天.
例4 ，一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完
成.现在两队合作，
其间甲队休息了2天，乙队休息了8天（不存在
两队同一天休息）.问开始到完工共用了多少天时间？
解一：因为已知，“其间甲队休息了2天，乙队休息了8天”，
所以甲队单独做8天，
乙队单独做2天，共完成工作量：
（110）×8+（130）×2=1315
余下的工作量是，
1-（1315）=215
由两队共同合作的需要的天数是，
（215）÷[(110)+(130)]=1
从开始到完工共需要的天数是，
2+8+ 1= 11（天）.
答：从开始到完工共用了11天.
解二：设全部工作量为30份.甲每天完成3份，乙每天完成1
份.在甲队单独做8天
，乙队单独做2天之后，还需两队合作
（30- 3 × 8- 1× 2）÷（3+1）=
1（天）,8+2+1=11
（解法二最简单）