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相遇和追及问题

【学习目标】
1、掌握追及和相遇问题的特点
2、能熟练解决追及和相遇问题
【要点梳理】
要点一、机动车的行驶安全问题：
要点诠释：
1、 反应时间：人从发现情况到采取相应措施经过的时间为反应时间。
2、 反应距离：在反应时间内机动车仍然以原来的速度v匀速行驶的距离。
3、 刹车距离：从刹车开始，到机动车完全停下来，做匀减速运动所通过的距离。
4、 停车距离与安全距 离：反应距离和刹车距离之和为停车距离。停车距离的长短由反应距离和刹车距离
共同决定。安全距离大 于一定情况下的停车距离。
要点二、追及与相遇问题的概述
要点诠释：
1、 追及与相遇问题的成因
当两个物体在同一直线上运动时，由于两物体的运动情况不同，所以两物体之间的距离会不断发生变
化，两物体间距越来越大或越来越小，这时就会涉及追及、相遇或避免碰撞等问题．
2、 追及问题的两类情况
(1)速度小者追速度大者

(2)速度大者追速度小者
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说明:①表中的Δx是开始追及以后,后面物体因速度大而比前面物体多运动的位移；
②x
0
是开始追及以前两物体之间的距离；
③t
2
-t
0
=t
0
-t
1
；
④v
1
是前面物体的速度,v
2
是后面物体的速度.
特点归类：
(1)若后者能追上前者，则追上时，两者处于同一位置，后者的速度一定不小于前者的速度．
(2)若后者追不上前者，则当后者的速度与前者相等时，两者相距最近．
3、 相遇问题的常见情况
(1) 同向运动的两物体的相遇问题,即追及问题.
(2) 相向运动的物体,当各自移动的位移大小之和等于开始时两物体的距离时相遇.
解此类问题首先应注意 先画示意图,标明数值及物理量;然后注意当被追赶的物体做匀减速运动时,
还要注意该物体是否停止运 动了.
要点三、追及、相遇问题的解题思路
要点诠释：
追及､相遇问题最基本的特征相同,都是在运动过程中两物体处在同一位置.
①根据对两物体运动过程的分析,画出物体运动情况的示意草图.
②根据两物体的运动性质, 分别列出两个物体的位移方程,注意要将两个物体运动时间的关系反映在方程
中;
③根据运动草图,结合实际运动情况,找出两个物体的位移关系;
④将以上方程联立为方程组求解,必要时,要对结果进行分析讨论.
要点四、分析追及相遇问题应注意的两个问题
要点诠释：
分析这类问题应注意的两个问题:
(1)一个条件:即两个物体的速度所满足的临界条件,例 如两个物体距离最大或距离最小､后面的物体恰好
追上前面的物体或恰好追不上前面的物体等情况下,速 度所满足的条件.
常见的情形有三种:一是做初速度为零的匀加速直线运动的物体甲,追赶同方向的做 匀速直线运动的物体
乙,这种情况一定能追上,在追上之前,两物体的速度相等(即
v
甲
v
乙
)时,两者之间的距离最大;二是做匀
速直线运动的物体甲,追赶同 方向的做匀加速直线运动的物体乙,这种情况不一定能追上,若能追上,则在
相遇位置满足
v< br>甲
v
乙
;若追不上,则两者之间有个最小距离,当两物体的速度相等时,距离 最小;三是做匀
减速直线运动的物体追赶做匀速直线运动的物体,情况和第二种情况相似.
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(2)两个 关系:即两个运动物体的时间关系和位移关系.其中通过画草图找到两个物体位移之间的数值关系
是解决 问题的突破口.
要点五、追及、相遇问题的处理方法
方法一:临界条件法(物理法):当追 者与被追者到达同一位置,两者速度相同,则恰能追上或恰追不上(也是
二者避免碰撞的临界条件) < br>方法二:判断法(数学方法):若追者甲和被追者乙最初相距d
0
令两者在t时相遇,则 有
x
甲
x
乙
d
0
,得到关
于时间t的 一元二次方程:当
b4ac0
时,两者相撞或相遇两次;当
b4ac 0
时,两者恰好
相遇或相撞;
b4ac0
时,两者不会相撞或相遇.
方法三:图象法.利用速度时间图像可以直观形象的描述两物体的运动情况，通过分析图像，可以较方便 的
解决这类问题。
【典型例题】
类型一、机动车的行驶安全问题
例1、 为了安全，在高速公路上行驶的汽车之间应保持必要的距离。已知某高速公路的最高限速为
v=120k mh。假设前方车辆突然停止运动，后面汽车的司机从眼睛发现这一情况，经过大脑反应，指挥手、
脚操 纵汽车刹车，到汽车真正开始减速，所经历的时间需要0.50s（即反应时间），刹车时汽车所受阻力是
车重的0.40倍，为了避免发生追尾事故，在该高速公路上行驶的汽车之间至少应保留多大的距离？
【思路点拨】理解各个时间段汽车的运动情况是关键。
【答案】156m
【解析】
v120kmh33.3ms

匀减速过程的加速度大小为
akmgm4ms
。
匀速阶段的位移
s
1
vt
1
16.7m
,
2
减速阶段的位移
s
2
v2a139m
，
2 2
2
2
所以两车至少相距
ss
1
s
2
156m
。
【点评】刹车问题实际上是匀变速直线运动的有关规律在减速情况下的具体应用 ，要解决此类问题，首先
要搞清楚在反应时间里汽车仍然做匀速直线；其次也要清楚汽车做减速运动，加 速度为负值；最后要注意
单位统一。
举一反三
【变式】酒后驾车严重威胁交通安全 ．其主要原因是饮酒会使人的反应时间(从发现情况到实施操作制动
的时间)变长，造成制动距离(从发 现情况到汽车停止的距离)变长，假定汽车以108 kmh的速度匀速行驶，
刹车时汽车的加速度大小为8 ms，正常人的反应时间为0.5 s，饮酒人的反应时间为1.5 s，试问：
(1)驾驶员饮酒后的反制距离比正常时多几米？
(2)饮酒的驾驶员从发现情况到汽车停止需多少时间？
【答案】 (1)30 m (2)5.25 s
【解析】 (1)汽车匀速行驶
v
＝108 kmh＝30 ms
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2

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正常情况下 刹车与饮酒后刹车，从刹车到车停止这段时间的运动是一样的，设饮酒后的刹车距离比正常时
0.5 s、t
2
＝1.5 s
则 多Δ
s
，反应时间分别为
t1
＝
s＝v(t
2
－t
1
)

代入数据得
s＝30 m

(2)饮酒的驾驶员从实施操作制动到汽车停止所用时间
t
3
＝(0－v)a

3.75 s
解得
t
3
＝
所以饮酒的驾驶员从发现情况到汽车停止所需时间
t＝t
2
＋t
3

解得
t＝5.25 s

类型二、追及问题一：速度小者追赶同向速度大者
2
例2、一辆汽车在十字路口等候 绿灯，当绿灯亮时汽车以3ms的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自
行车以6ms的速度匀速驶来， 从后边超过汽车。试求：（1）汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过
多长时间两车相距最远？此时 距离是多少？
【思路点拨】画好汽车和自行车的运动示意图是关键。
【答案】2s 6m
【解析】：
方法一：临界状态法
运动示意图如图：
x
汽

△x

x
自


汽车在追击自行车的过程中，由于汽车的速度小于自行车的速度，汽车与自行车之间的距离越来越大；
当 汽车的速度大于自行车的速度以后，汽车与自行车之间的距离便开始缩小。很显然，当汽车的速度与自
行 车的速度相等时，两车之间的距离最大。设经时间t两车之间的距离最大。则
v
汽
at  v
自


∴
t 
v
自
6
s2s

a3
11
x
m
 x
自
 x
汽
 v
自
t at
2
62m 32
2
m 6m

22
方法二：图象法
在同一个v
-t
图象中画出自行车和汽车的速度-时间图线，如图所示。其中Ⅰ表示自 行车的速度图线，
Ⅱ表示汽车的速度图线，自行车的位移
x
自
等于图线Ⅰ与时 间轴围成的矩形的面积，而汽车的位移
x
汽

则等
于图线Ⅱ与时间轴 围成的三角形的面积。两车之间的距离则等于图中矩形的面积与三角形面积的差，不难
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看出，当
t
=
t
0
时矩形与三角形的面积之差最大。
vms
Ⅱ

6 Ⅰ
0 t
0
ts
此时
v
汽
at
0
 v
自



v
自
6
t
0
s2s

a 3
S
m

11
t
0
v
自
 26m6m

22
方法三：二次函数极值法
设经过时间
t
汽车和自行车之间的距离
x
，则

xx
自
x
汽
v
自
t
1
233
at6tt
2
(t2)
2
6
222
当
t2s
时两车之间的距离有最大值
x
m
， 且
x
m
6m.

【点评】(1)在解决追及相遇类问题时，要紧 抓“一图三式”，即：过程示意图，时间关系式、速度关系式
和位移关系式，另外还要注意最后对解的讨 论分析．
(2)分析追及、相遇类问题时，要注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条 件，如“刚
好”、“恰好”、“最多”、“至少”等，往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件．
(3)解题思路和方法

举一反三
【高清课程：相遇和追及问题例2】
【变式1】小轿车在十字路口等绿灯亮后，以1ms的加速度启动，恰在此时，一辆大卡车以7ms的速 度
从旁超过，做同向匀速运动，问（1）小轿车追上大卡车时已通过多少路程？（2）两车间的距离最大 时为
多少？
2

【答案】98m 24.5m
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【变式2】甲、乙两车同时从同一地点出发，向同一方向运动，其中甲以10 ms的速度匀速行驶，乙以2
ms的加速度由静止启动，求：


(1)经多长时间乙车追上甲车？此时甲、乙两车速度有何关系？
(2)追上前经多长时间两者相距最远？此时二者的速度有何关系？
2
【答案】(1)10 s 2倍 (2)5 s 相等
【解析】(1)乙车追上甲 车时，二者位移相同，设甲车位移为
x
1
，乙车位移为
x
2
，则
x
1
＝
x
2
，即
v
1
t1
＝at
1
，
1
2
2
10 s，v
2
＝at
1
＝20 ms
，因此
v
2
＝2v
1
. 解得
t
1< br>＝
(2)设追上前二者之间的距离为
x
，则
Δ
x＝x
1
－x
2
＝v
1
t
2
－

at
2
＝
10
t
2
－t

由 数学知识知：当
t
2
＝
1
2
2
10
s5 s
时，两者相距最远，此时
v
2
＝v
1
.
21
类型三、追及问题二：速度大者减速追赶同向速度小者
例3、火车以速度v
1
匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距S处有另一列火车沿同方向以速度
v< br>2
（对地、
且
v
1
v
2
）做匀速运动，司 机立即以加速度
a
紧急刹车，要使两车不相撞，
a
应满足什么条件？
【思路点拨】理解两车不相撞的临界条件。
(v
2
v
1
)
2
【答案】
a

2s
【解析】方法一：设两车恰好相撞(或不相撞)，所用时间为t，此时两车速度相等 1
v
1
tat
2
v
2
tsv
1
atv
2
2
(v
2
v
1
)
2
解之可得：
a

2s

(v
2
v
1
)
2
即，当
a
时，两车不会相撞。
2s
方法二：要使两车不相撞，其位移关系应为：
1
v
1
tat
2
v
2
ts
2

2
对任一时 间t，不等式都成立的条件为
=（v
2
v
1
）2as0
(v
2
v
1
)
2
由此得
a

2s
【点评】分析解决两物体的追及、相遇类问题，应首先在理解题意的基础上，认清两物体在 位移、速度、
时间等方面的关联，必要时须画出运动关联的示意图。这类问题的特殊之处是常与极值条件 或临界条件相
联系。分析解决这类问题的方法有多种，无论哪一种方法，分析临界条件、解决相关的临界 条件方程或用
数学方法找出相关的临界值，是解决这类问题的关键和突破口。
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举一反三
【高清课程：相遇和追及问题例3】
【变式1】汽车正以10ms的速度在平直公路上前进，突然发现正前方
s
处有一辆 自行车以4ms的速度
2
做同方向的匀速直线运动，汽车立即关闭油门做匀减速运动，加速度大 小为6ms，若汽车恰好不碰上自
行车，则
s
大小为多少？
【答案】3m
【变式2】甲､乙两辆汽车在平直的公路上沿同一方向做直线运动,t=0时刻同时经过公路旁的同一个 路标.
在描述两车运动的v-t图中(如图),直线a､b分别描述了甲､乙两车在0~20 s的运动情况.关于两车之间的
位置关系,下列说法正确的是( )

A.在0~10 s内两车逐渐靠近
B.在10~20 s内两车逐渐远离
C.在5~15 s内两车的位移相等
D.在t=10 s时两车在公路上相遇
【答案】C
【解析】由题图知乙做匀减速运动,初速度v
乙
=10 ms,加速度大小a
乙
=0.5 ms;甲做匀速直线运动,速度
v
甲
=5 ms.当t=10 s时v
甲
=v
乙
,甲､乙两车距离最大,所以0~10 s内两车越来越远,10~15 s内两车距离越
来越小,t=20 s时,两车距离为零,再次相遇.故A､B､D错误.因5~15 s时间内v
甲
=
v
乙
,所以两车位移相等,
故C正确.
类型四、相遇问题
例4、在某市区内，一辆小汽车在公路上以速度
v
A向东行驶，一位观光游客正由南向北从斑马线上横过马
路。汽车司机发现游客途经
D
处时，经过0.7s作出反应紧急刹车，但仍将正步行至
B
处的游客撞伤，该
汽车最 终在
C
处停下，如图所示。为了判断汽车司机是否超速行驶以及游客横穿马路的速度是否过快， 警
2
14.0ms
行驶在同一马路的同一地段，方派一车胎磨损情况与肇事汽车相当的 警车以法定最高速度
v
m
＝
在
肇事汽车的起始制动点
A紧急刹车，经14.0ｍ后停下来。在事故现场测得
AB
＝17.5ｍ，
BC＝14.0ｍ，
BD
＝2.6ｍ．肇事汽车的刹车性能良好，问：
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（1）该肇事汽车的初速度
v
A
是多大?
（2）游客横过马路的速度是多大?

【思路点拨】判断汽车与游客的各自运动形式，找出它们的联系。
【答案】21ms 1.53 ms
【解析】（1）警车和肇事汽车刹车后均做匀减速运动，其加速度大小
a

mg
m


g
，
与车子的质量无关，可将警车和肇事汽车做匀减速运动的加速度
a
的大小视作相等。
2
2
对警车，有
v
m
2as
；对肇事汽车 ，有
v
A
2as

，则
2
2
v
m
v
m
s14.0
s

2

，即
2

，

v
A
ABBC
17.514.0
v
A
s

故
v
A

17.514.0
v
m
＝21ｍｓ。
14.0
2
（2）对肇事汽车，由
v
0
2ass
得
2
v
A
ABBC17.514.0

2

，

14.0
v
B
BC
故 肇事汽车至出事点
B
的速度为

v
B

14.0
v
A
＝14.0ｍｓ。
17.514.0
肇事汽车从刹车点到出事点的时间

t
1

AB
1
(v
A
v
B)
2
＝1ｓ，
又司机的反应时间
t
0
＝0.7ｓ，故游客横过马路的速度

v


BD2.6
ms≈1.53ｍｓ。

t< br>0
t
1
0.71
【点评】研究物体的运动，首先要分析清楚物体的 运动过程。特别是当物体有多个运动阶段时，必须明确
问题所研究的是运动的哪一个阶段。当问题涉及多 个物体的运动时，应先分别独立研究各个物体的运动，
然后找出它们之间的联系。
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举一反三
【高清课程：相遇和追及问题例7】
【变式1】羚羊从静止开始奔跑，经 过50m的距离能加速到最大速度25ms，并能维持一段较长的时间。
猎豹从静止开始奔跑，经过60 m的距离能加速到最大速度30ms，以后只能维持这速度4.0s。设猎豹距离
羚羊x时开始攻击，羚 羊则在猎豹开始攻击后1.0s才开始奔跑，假定羚羊和猎豹在加速阶段做匀加速运
动，且均沿同一直线 奔跑，求：
（1）猎豹要在从最大速度减速前追到羚羊，x值应在什么范围？
（2）猎豹要在其加速阶段追到羚羊，x值应在什么范围？
【答案】(1） 31.875m≤ x ≤ 55m （2）x ≤ 31.875m
【变式2】一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边以10 ms的速度匀速行驶的货车严重超载时，
2
决定前去追赶，经过5.5 s后警车发动起来，并以2.5 ms的加速度做匀加速运动，但警车的行驶速度必
须控制在90 kmh以内．问：
(1)警车在追赶货车的过程中，两车间的最大距离是多少？
(2)警车发动后要多长时间才能追上货车？
【答案】(1)75 m (2)12 s
【变式3】甲乙两车在一平直道路上同向运动,其v-t图象如图所示,图中△OPQ和△OQT的面积 分别为s
1
和s
2
(s
2
>s
1
).初始 时,甲车在乙车前方s
0
处( )

A.若s
0
=s
1
+s
2
,两车不会相遇
B.若s
0
1
,两车相遇2次
C.若s
0
=s
1
,两车相遇1次
D.若s
0
=s
2
,两车相遇1次
【答案】ABC 【解析】在T时刻,甲､乙两车速度相等,甲车的位移s
2
,乙车的位移s
1+s
2
,当甲车在前方s
0
=s
1
+s
2时,T
时刻乙车在甲车的后方s
2
处,此后乙车速度就比甲车小,不能与甲车相遇 ,A正确;如果s
0
=s
1
,说明T时刻乙
车刚好赶上甲车,但由于 速率将小于甲车,与甲车不会相遇第二次,C正确;如果s
0
1
,说明T 时刻,乙车已经
超过了甲车,但由于速度将小于甲,与甲车会相遇第二次,B正确;如果s
0< br>=s
2
,T时刻乙车在甲的后方s
2
-s
1
处,此后乙车速度就比甲车小,不能与甲车相遇,D不正确.
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