猎狗的故事-家长会主题

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盈亏问题的理解

解题思路：
1、 通过假设，变成可比的变量；
2、 找出两种不同的分配方式导致的结果差异；
3、 通过将一种情况假设成另外一种情况，发现差异的原因。
4、 利用除法的原理：总差每组的差=组数 的方法求解。

两个容易出错的地方：
1） 盈亏问题中有两个地方需要比较，第一个：结果差异比较。两者之间一定是可比的。
2） 第二个比较 是分配方式的比较。不同的分配方式下，分配的东西不仅仅要有可比性，而
且数量也必须是一样的，只有 这样才能用除法。

例题
1
、学生春游，每船坐
15
人， 有
10
人没船坐；每船坐
20
人，还可以坐
30
人。问多少
个同学，几条船？


解：首先，这道题里，在两种不同的分配方式下，隐含 的条件是：1）人数不变；2）船数不
变。（在数学的学习过程中，要善于发现题目中没有明说，但是隐 含的条件，这往往是解题
的关键）
其次，假设第一种情况下，每条船正好坐了15人，全部坐 满，人不多不少（注意：假
设的时候要不多不少正好），那么就要减少10人； 假设第二种情况下，每 条船正好坐了20
人，全部坐满，人不多不少，那么还需要增加30人。（解释给孩子听，为什么要假设 两种情
况下都坐满呢，不多不少呢？ 因为只有这种，才能变成可比，才可以用除法）
第三， 我们现在就要通过比较，发现两种不同情况下出现的结果差异。现在命令第二种
情况下，每船坐20个人 的，每条船都下来5个人，变成每条船15人。需要下来几个人呢？
30+10=40人。这个怎么理解 呢？可以通过画线段的方式来理解：

10人
30人
第一种情况
A B C


第二种情况
A B C D
（
画图的要点： 线段的单位是人数呢，还是船数好呢？如果结果差异里是人数，那么线
段的单位也要用人数
）。
看上图，我们发现：线段AB表示的第一种情况正好全部都是每船15人，把多余的人
扔掉了。 线段AD表示，每船正好都是20人，把不够的人补齐了。线段AC表示原来的人数。
通过比较之后，我 们发现，每船从20人变成每船15人，减少的总数人就是线段BC+线段
CD=10+30=40人。 这40人是怎么来的，是所有的船，每船减少5人汇总加起来的。两种情
况下，船的数量一样，这样题目 就变得非常简单了。总的差是40，每条船的差是5，那么船
的数量就可以用除法：405=8条船。后 面算人数就很简单了。

这里是一个多了，一个少了，方向相反，结果的差异是盈+亏。如果都是人数都是多了
1 4'.

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呢？想一想怎么画，为什么结果的差异变成了盈-盈。

总结一下：盈亏问题的核心就是通过假设，把第一种情况变成第二种情况，或者相反，
把第二种 情况变成第一种情况，都可以。然后再找出这样变过以后，差是多少。这个差是
个总差，是变的时候，每 一个的差汇总起来的，最后就可以用除法了。

例题
2
、学生春游，每船坐
15
人，有
10
人没船坐；每船坐
20
人，正好多了一条船 。
问多少个同学，几条船？


解：我们发现第一种情况是人多了，第二种情 况是船多了。这样就没法比较了。这个时候，
就需要转化成可以比较的。因为前面都是人数，所以把第二 种情况中的多了一条船，转化成
“还可以再坐20人”。
通过这么一转换，题目就很简单了 ，变成了“
学生春游，每船坐
15
人，有
10
人没船坐；
每 船坐
20
人，还可以坐
20
人。问多少个同学，几条船？”


结论：当发现分配后剩余的东西不可以比较的时候，就要想办法，把它们变成可以直
接比较的。

例题
3、
学生春游，每船坐
15
人，有
10人没船坐；每船坐
20
人，有一条船还可以坐
10
人，
还有一条 船空着。问多少个同学，几条船？


想一下，可不可以用（10+10）5=4条船 的方法来做。答案是不可以的，因为这样比较的话，
两种情况下，船的数量不一样了，就不能用除法了。

例题
4、
学生春游，公园里有大船和小船，如果大船每船坐
15< br>人，小船每船坐
5
人，有
10
人没船坐；如果大船每船坐
20
人，小船每船坐
5
人，还可以坐
20
人。问几条大船？


用上面同样的思路做：假设第一种情况全部坐满，正好，多了10人。第二种全部坐满，还< br>少了20人。这个差异怎么来的？是每条大船多坐了5人。大船有：（20+10）5=6条。


解：在比较的时候必须是数量相同的才可以比较。数量相同的概念可以是一个组合的数量相< br>同，也可以个单个品种的数量相同。本题中，显然，单个品种的数量不一样，一个是另外一
个的3 倍。这里有倍数关系，所以，我们完全可以把第一种情况的一个人，跟第二种情况的
三个人进行比较。这 个时候，第一种情况一个人看成一组，第二种情况的的三个人看成一组，
那么组数就相同。这时候我们发 现第一种情况的每组需要5个羽毛球，第二种情况每组需要
6个羽毛球。那么题目就变成了“
每 组
5
个，多
10
个羽毛球；每组
6
个，少
8
个羽毛球
”。
题目就变得非常简单。


2 4'.

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思考的步骤：如果苹果的数量和桔子的数量一样的话，就很容易 解答。这里我们可以把两个
苹果看成一个桔子，或者把桔子的数量翻倍和苹果的数量一样多。哪一个更加 方便呢？第一
种方法，要把两个苹果看成一个桔子，那么苹果的数量就要除以2, 7是单数，没法被2除。
放弃之。

现在我们假设，让桔子的数量翻倍，跟苹果的数 量一样多，这样就具有可比性了。苹果变成
了桔子，题目就变成了“苹果每人6个，多8个；苹果每人7 个，少5个”，这样题目就非
常简单。就可以用（8+5）（7-6）=13（个小朋友）来计算了。苹 果数量=13*7-5=86个。桔
子数量=13*3+4=43个。注意假设以后桔子数量变了，最后 算的时候要变回来。

如果学过小数以后，也可以这样。假设第二种分配方式中，苹果的数量 减半，这样苹果的数
量和梨的数量一样，就具有可比性了。减半以后题目就变成：“
桔子和苹果 数量一样，桔子
每人
3
个，多
4
个；苹果每人
3.5
个，少
2.5
个
”。

例题：王老师给
2
个班 的小朋友分苹果和桔子，
1
班的人数比
2
班的少
1
人。苹果 数是桔子
数的
2
倍，
1
班分到的是桔子，每人分
3
个，多
4
个；
2
班分到的是苹果，每人
7
个，少
5
个。问有多少小朋友？多少个苹果和桔子？


解题：结果的差异不同，分配 时的数量也不同（人数不一样）。那么第一步就是要把人数补
齐，假设两个班人数一样多，给1班增加一 个人。1班每人分3个，变成了多1个。这样题
目就变成了跟上面一样了。注意，两个班人数不同的时候 就不能用除法。

例题：讲解奥数AB卷里最后一道题。


解 ：把乒乓球的数量假设成跟羽毛球的数量一样多。把乒乓球数量翻倍，这样乒乓球就变成
了羽毛球。那么 题目变成了每组分羽毛球10副，余羽毛球30副。


解题：画图。第一步，把不 同分配方式下的数量补齐，假设5分的跟2分的数量一样多，那
么5分的比2分的多40+22*5=1 50分（因为5分的还需要增加22个才能跟2分的数量一样。
一共是110分，原来已经比2分多40 分了，再加上后来增加的，就变成了150分）。1503=50
个（2分的数量）。

3 4'.

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解题：先把两种分配方式中的人数补齐成一样。


解题：把结果差异换算成可比的。


解题：把两种分配方式转换成可比性。



解题：把两种水果的价格假设成一样。


解题：如果学过小数就非常容易解。如果没学过小数，本题忽略。


4 4'.