好吃的家常菜-可爱符号

6-1-7.盈亏问题（三）


教学目标



1. 熟练掌握盈亏问题的本质.
2. 运用盈亏问题的解题方法解决一些生活实际问题．
知识精讲


盈亏问题 的特点是问题中每一同类量都要出现两种不同的情况．分配不足时，称之为“亏”，分配有余称
之为“盈 ”；还有些实际问题，是把一定数量的物品平均分给一定数量的人时，如果每人少分，则物品就有余(也
就是盈)，如果每人多分，则物品就不足(也就是亏)，凡研究这一类算法的应用题叫做“盈亏问题”．
可以得出盈亏问题的基本关系式：
(盈

亏)

两次分得之差

人数或单位数
(盈

盈)

两次分得之差

人数或单位数
(亏

亏)

两次分得之差

人数或单位数
物品数可由其中一种分法和人数求出.也有的问题两次都有余或两次都不足，不管哪种
情况，都是属于按两个数的差求未知数的“盈亏问题”.
注意：1.条件转换； 2.关系互换.

模块一、利用条件关系转换解盈亏问题——转化被分配物质
【例 1】 王老师给小朋友分苹果和桔子，苹果数是桔子数的2倍.桔子每人分3个，多4个；苹果每人分7个，少5个.问有多少个小朋友？多少个苹果和桔子？
【考点】盈亏问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 因为桔子每人分3个多4个，而苹果是桔子的2倍，因此苹果每人分6个就多 8个.又已知苹果每人
分7个少5个，所以应有（8+5）÷（6-5）=13（人）.
苹果个数为13×7-5=86（个）.
桔子数为 13×3+4=43（个）.
答：有13个小朋友，86个苹果和43个桔子.
【答案】
13
个小朋友，苹果
86
个，桔子
43
个

【巩固】 学而思学校买来一批体育用品，羽毛球拍是乒乓球拍的2倍，分给同学们，每组分 乒乓球拍5副，
余乒乓球拍15副，每组分羽毛球拍14副，则差30副，问：学而思学校买来羽毛球拍 、乒乓球拍
各多少副？
【考点】盈亏问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 因为羽毛球拍是乒乓球拍的2倍，如果每次分羽毛球拍5×2=10（副），最后应余下15 ×2=30（副），
因为14-5×2=4（副），分到最后还差30副，所以比每次分10副总共差3 0+30=60（副），所以有小组：
60÷4=15（组），乒乓球拍有：5×15+15=90（副 ），羽毛球拍90×2=180（副）.
【答案】羽毛球拍
180
副，乒乓球拍
90
副

【例 2】 有若干个苹果和若干个梨.如果按每1个苹果配2个梨分堆，那么梨分完时还剩2个苹果； 如果按每
3个苹果配5个梨分堆，那么苹果分完时还剩1个梨.苹果和梨各有多少个?
【考点】盈亏问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 容易看出这是一道盈亏 应用题，但是盈亏总额与两次分配数之差很难找到.原因在于第一种方案是1
个苹果“搭配”2个梨，第 二种方案是3个苹果“搭配”5个梨.如果将这两种方案统一为1个苹果“搭配”
若干个梨，那么问题就 好解决了.将原题条件变为“1个苹果搭配2个梨，缺4个梨；1个苹果搭配53

1

个梨，多1个梨”，此时盈亏总额为
415
(个)梨，两次分配数之差为
25313
(个)梨.所以有苹
果
(41)(253)15(个)，有梨
152426
(个).
【答案】苹果
15
个，梨
26
个

【巩固】 有 若干梨和苹果，如果1个梨和3个苹果分成一堆，则多2个梨，如果2个梨和5个苹果分成一堆，
则少2 个苹果，则梨有 个，苹果有 个。
【考点】盈亏问题 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】学而思杯，3年级，第11题
【解析】 
62



32.5

8
个 梨，

82

318
个苹果
【答案】梨有
8
个，苹果有
18
个

【巩固】 有红球和绿球若干个，如果按每组1个红球2个绿球分组，绿球恰好够用，但剩5个红球；如果按
每组3 个红球5个绿球分组，红球恰好够用，但剩5个绿球，则红球和绿球共有_____________个。
【考点】盈亏问题 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】希望杯，五年级，二试，第14题
【解析】 设红球有a个，绿球有b个。在第一 种分法中，(a-5)÷1=b÷2；在第二种分法中,（b-5）÷5=a÷3。解
得：b=80,a =45.所以红球和绿球共有80+45=125个。
【答案】
125
个

【巩固】 有若干个苹果和梨，如果按1个苹果配3个梨分一堆，那么苹果分完时，还剩2个梨；如果按 半个
苹果配2个梨分一堆，那么梨分完时，还剩半个苹果.问梨有多少个？
【考点】盈亏问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 1个苹果配3个梨，多2个梨；半个苹果配2个梨，即1 个苹果配4个梨，剩半个苹果，即少2个
梨.苹果有：（2+2）÷（4-3）=4（个），梨有：3× 4+2=14（个）.
【答案】
14
个

【巩固】 四(2)班 在这次的班级评比中，获得了“全优班”的称号．为了奖励同学们，班主任刘老师买了一些铅
笔和橡皮． 刘老师把这些铅笔和橡皮分成一小堆一小堆，以便分给几位优秀学生．如果每堆有1块
橡皮2支铅笔，铅 笔分完时橡皮还剩5块；如果每堆有3块橡皮和5支铅笔，橡皮分完时还剩5支
铅笔．那么，刘老师一共 买了多少块橡皮?多少支铅笔?
【考点】盈亏问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 如果增加10支铅笔，则按1块橡皮、2支铅笔正好分完；而按3块橡皮、5支铅笔分，则剩 下10+5=15(支)
铅笔，但如果按3块橡皮、6支铅笔分，则正好分完，可以分成：15÷(6— 5)=15(堆)，所以，橡皮数
为：15×3=45(块)，铅笔数为：15×6—10=80(支) ．
【答案】橡皮
45
支，铅笔
80
支

【巩固】 小白兔和小灰兔各有若干只．如果5只小白兔和3只小灰兔放到一个笼子中，小白兔还多4只 ，小
灰兔恰好放完；如果7只小白兔和3只小灰兔放到一个笼子中，小白兔恰好放完，小灰兔还多12< br>只．那么小白兔和小灰兔共有多少只？
【考点】盈亏问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 “7只小白兔和3只小灰兔装一个笼子，小白兔恰好装完，小灰兔还多12只 ”说明小白兔少了12÷3×7
＝28（只），这样原来笼子数有：（28＋4）÷（7－5）＝16（ 个），所以小白兔有16×5＋4＝84（只），
小灰兔有16×3＝48（只），合起来有84＋48 ＝132（只）．
【答案】
132
只

【例 3】 幼儿园老师 买了同样多的巧克力、奶糖和水果糖．她发给每个小朋友2块巧克力，7块奶糖和8块
水果糖．发完后清 点一下，水果糖还剩15块，而巧克力恰好是奶糖的3倍．那么共有_____________
个小朋 友．
【考点】盈亏问题 【难度】5星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，中年级组，复试题
【解析】 方法一：画线段图分析，由题意知：

2

从奶糖的7份中取2份，那么剩下的5份就和上面的2小段相等．如图：

那么2小 段和5份都看成10份量，那么总量就相当于19份量，水果糖中原有的8份就是现在的16
份，则剩下 的15块水果糖就占有3份，则1份就是5块，给小朋友们分出去的水果糖数量是：
16580（块），小朋友的人数是：
80810
（人）．
方法二：由上图知，设发完 后奶糖剩下
1
份，则巧克力剩下
3
份，而巧克力与奶糖每人分得相差
5
块，
对应剩下的糖相差
2
份，水果糖与奶糖每人分得相差
1
块，则对应剩下的糖应相差
250.4
份，所
以水果糖最后应剩下
1 0.40.6
份，恰是
15
块，所以1份对应的是
150.625，所以应用盈亏问题
共有
(2515)(87)10
（人）．
【答案】
10
人
模块二、盈亏问题的综合运用
【例 4】 “六 一”儿童节，小明到商店买了一盒花球和一盒白球，两盒内的球的数量相等．花球原价1元钱2
个，白球 原价1元钱3个．因节日商店优惠销售，两种球的售价都是2元钱5个，结果小明少花了
4元钱，那么小 明共买了多少个球？
【考点】盈亏问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 花球原价1元钱2个，白球原价1元钱3个．即花球原价10元钱20个，白球原价10元钱30个．那
么，同样买花球和白球各30个，花球要比白球多花
1025
（元），共需要
30 230325
（元）．现
在两种球的售价都是2元钱5个，花球和白球各买30个需要
(305)2224
（元），说明花球和
白球各买30个能省下
25 241
（元）．现在共省了4元，说明花球和白球各有
304120
（个），
共买了
1202240
（个）．
【答案】
240
个

【例 5】 一盒咖啡中有若干袋，一包方糖中有若干块．小唐喝前两盒咖啡时每袋咖啡都放 3块方糖，结果共
用了1包方糖和第2包中的24块；小唐喝后三盒咖啡时每袋咖啡都只放1块方糖，最 后第3包方糖
还剩下36块，那么每盒咖啡有多少袋？
【考点】盈亏问题 【难度】5星 【题型】解答
【解析】 小唐喝前2盒咖啡，每袋放3块糖，相当于喝6盒咖啡每袋放1块糖；
小唐喝后3盒咖啡，每袋放1块糖，所以喝后3盒用掉的方糖总量是前2盒用掉方糖量的一半．
小唐喝前2盒咖啡一共用掉方糖一包又24块，
喝后3盒咖啡用掉方糖一包差12块， 因此一包又24块方糖与两包差24块方糖一样多，一包方糖有
(2424)(21)48
（块）．
于是喝前两盒咖啡用掉方糖
482472
（块），每盒咖啡的 袋数为：
723212
（袋）．
【答案】
12
袋

【例 6】 巧克力每盒
9
块，软糖每盒
11
块，要把这两种糖分发 给一些小朋友，每种糖每人一块，由于又来了
一位小朋友，软糖就要增加一盒，两种糖分发的盒数就一样 多，现在又来了一位小朋友，巧克力还
要增加一盒，则最后共有多少个小朋友？
【考点】盈亏问题 【难度】5星 【题型】解答
【解析】 新来了一位小朋友，就 要增加一盒软糖，说明在此之前，软糖应该是刚好分完几整盒，所以原来的
小朋友人数是
11< br>的倍数．增加了第二位小朋友之后，巧克力糖也要再来一盒了，说明原有的小朋友
分几整盒巧克力 糖之后还剩下一块，也就是说，原有的小朋友人数是9的倍数减
1
．符合这两个条件
的 最小的数是
44
，而且它刚好满足原有的巧克力比软糖多一盒的条件，所以原有
44< br>个小朋友，最后
有
46
个小朋友．
【答案】
46
个小朋友

3

【例 7】 有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人．如果把书全部分给第一组，那么 每人4
本，有剩余；每人5本，书不够．如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书
不够．问第二组有多少人？
【考点】盈亏问题 【难度】5星 【题型】解答
【解析】 如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够．说明第一组人数少于
48412
（人），多于
4859L3
，即9人；如果把书全分给第 二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，
书不够．说明第二组人数少于
48316
（人），多于
48412
（人）；因为已知第二组比第一组多
5人，所以，第一 组只能是10人，第二组15人．
【答案】
15
人

【例 8】 有若干盒卡片分给一些小朋友，如果只分一盒，每人至少可以得到7张；如果每人分8张卡片，则
还缺少 5张．现在把所有卡片都分完，每人分到60张，而且还多出4张．问：共有多少个小朋友？
【考点】盈亏问题 【难度】5星 【题型】解答
【解析】 首先由题意，一盒卡片每人分7张则有剩余，每人分8张则少5张，证明总人数多于5个．
如果一共有 7盒卡片，则所有人每人要想分到
8756
（张）卡片，还缺35张，卡片张数比题中所< br>述要少．
如果一共有9盒卡片，则只要再添上
5945
（张）卡片，就能 使所有人每人分到
8972
（张），
1
人数为
(454)( 7260)45
，不满足总人数多于5个的要求．
12
类似地，当卡片总盒数多于9时，都不满足总人数多于5个的要求．
因此卡片一 共有8盒，添上
5840
（张）卡片，就能使所有人每人分到
8864
（张），所以总人
数为：
(404)(6460)11
（人）．
(二解)
6078L4
，
6087L4
，说明卡片的盒数是8盒，“ 若都分8张则还缺少5张”，即如果
我们在每盒中加5张（8盒共加40张），每人就可以得到
8864
（张），现在实际每人得到60张，
即每人需要退出4张，其中要有4张是每人6 0张后多下来的，还有40张是我们一开始借来的要还
出去，即要退出44张，
44411
（人），说明有11人．
【答案】
11
个小朋友

【例 9】 一班和二班的学生一起出去划船，要求一班和二班的学生不能坐同一艘船，但每船都按要求尽量坐
满，如果7人一船，则共需15船；如果要求8人一船，则恰好全部坐满；如果要求10人一船，则
一班 比二班多3船，那么一班和二班分别有_____、______人.
【考点】盈亏问题 【难度】5星 【题型】填空
【关键词】学而思杯，5年级，第13题

【解析】 8人一船，则恰好全部坐满，那么两班人数都是8的倍数；10人一船，则一班比二班多3船 ，说明
一班比二班人多. 7人一船，肯定也是一班船多，多的数目也是3左右. 由于两班船和是15，是奇数，
所以差也应该是奇数. 下面我们按照差分别是1，3，5分别讨论.

发现在船数差3和差5的时候，会出现10人每船时差3的情况，但是第一种一班人数没有8 的倍数，
所以取第二种情况，一班64人，二班32人.
【答案】一班64人，二班32人.

【例 10】 幼儿园有三个班，甲班比乙班多
4
人，乙班比丙班多
4
人，老师给小孩分枣，甲班每个小孩比乙班
每个小孩少分
3
个枣，乙班每 个小孩比丙班每个小孩少分
5
个枣，结果甲班比乙班共多分
3
个枣，乙

4

班比丙班总共多分
5
个枣．问：三个班总共分了多少个枣？
【考点】盈亏问题 【难度】6星 【题型】解答
【解析】 设丙班有
x
个小孩，那么乙班就有个小孩，甲班有个小孩．
（x4）（x8）< br>乙班每个小孩比丙班每个小孩少分
5
个枣，那么
x
个小孩就少分
5x
个枣，而乙班比丙班总共多分
5
个
枣，所以多出来的那
4个小孩分了个枣．
（5x5）
同样的道理，甲班每个小孩比乙班每个 小孩少分
3
个枣，那么个小孩就少分个枣，而
（x4）（3x12）
甲班 比乙班总共多分
3
个枣，所以多出来的那
4
个小孩分了
3x12 33x15
个枣．
甲班每个小孩比乙班每个小孩少分
3
个枣，
4
个小孩就少
3412
个枣，因此我们得到：
5x53x151 2
，解得
x11
．
所以，丙班有
11
个小朋友，乙班有
15
个小朋友，甲班有
19
个小朋友；甲班每人分
12
个枣，乙班每
人分
15
个枣，丙班每人分
20
个枣．— 共分了
121915152011673
（个）枣．
【答案】
673
个

【例 1】 动物园里猩猩比狒狒多，猴子比 猩猩多。一天，饲养员拿了10箱香蕉分给它们。每只猩猩比每只
狒狒多分1根，每只猴子比每只猩猩多 分1根。分完后，只剩下2根香蕉。如果每箱香蕉数量相
同，都是40多个，而且猴子比狒狒多6只，猩 猩16只。那么，动物园里有_______________只猴
子。
A. 18 B. 19 C. 20 D. 17
【考点】盈亏问题 【难度】6星 【题型】选择
【关键词】迎春杯，中年级组，复试，8题
【解析】
B
，由题意知，共吃 了香蕉
400~500
根，且个位数是
8
。设有猴子
n
只， 则有狒狒

n6

只。因为
猩猩的数量介于猴子与狒狒之间，所以
17
≤
n
≤
21
。再设每只猴子吃了
a
根 香蕉，则每只猩猩吃了

a1

根，每只狒狒吃了

a 2

根。共吃香蕉
an

a1

16< br>
a2

n6


an16a16an2n6a12

2an10a2n4

2a

n5

2n4

X
。< br>X
的个位数是8，且
17
≤
n
≤
21
若
n17
，则
X44a38
。
a
的个位只能是< br>4
或
9
，不满足
400X500
；
若
n18
，则
X46a40
。
a
的个位只能是
3
或
8
，不满足
400X500
；
若
n19
，则
X48a42
。
a
的个位只能是
0
或
5
，当
a10
时，
X438
，符合题意；
同理，
n20
或
21
都不符合题意。
所以有猴子
19
只。
【答案】
19



5