表情包素材-毕加猪经典语录

第8讲 盈亏问题
盈亏问题又叫盈不足问题，是指把固定数量的物品平均分给固定的 对象，因为两种不同
的分配标准，导致两种不同的分配结果：一种标准分配后有剩余（盈）；另一种标准 分配后
不够分（亏或不足）。此类问题，要求通过两种分配结果的比较，求出物品总数量和固定对
象的个数。
标准的盈亏问题就是两次分配的结果一盈一亏，所以就叫盈亏问题。基本的数量关系是：
（盈+亏）÷两种分配标准的数量之差＝固定对象数量。
广义的盈亏问题一般还包括以下四种情况：
一、两次分配都有余（两盈）；
二、两次分配都不够分（两亏）；
三、一次有余，一次刚好够分（盈适足）；
四、一次分配不够分，一次刚好够分（亏适足）。
解决盈亏问题常用比较的解题策略：
通过两次分配盈亏总额与分配数量的比较，先求出固定对象的个数，再求出分配物品的
总数量。
此类问题基本数量关系有：
①盈适足问题：
盈余部分÷两种分配标准的数量之差＝固定对象数量。
②亏适足问题：
亏欠部分÷两种分配标准的数量之差＝固定对象数量。
③两盈问题：
（盈多－盈少）÷两种分配标准的数量之差＝固定对象数量。
④两亏问题：
（亏多－亏少）÷两种分配标准的数量之差＝固定对象数量。
⑤盈亏问题：
（盈+亏）÷两种分配标准的数量之差＝固定对象数量。
比较常规的盈亏问题，一般可以直接套用上面的数量关系，解决问题。
较复杂的盈亏问题，一 般需要先对题中的条件进行适当的转化，将相关问题先转化成典
型的盈亏问题，再求解。
【例 1】“雏鹰小队”的同学们参加植树活动，如果每人栽5棵树，还剩12棵树；如
果每人栽7棵，就缺4 棵。问这个小队有多少人一共要栽多少棵树

【解析】：可以画出线段图帮助理解题意，如下图：






观察上图，比较每人栽7棵与每人栽5棵的两种情况，雏鹰小队总人数是不变的。
雏鹰小队栽树总棵数多出：12＋4=16（棵）；
而每个人多栽：7－5=2（棵）；
所以小队人数为：（12＋4）÷（7－5）=8（人）。
由小队人数和任意一种栽法，可以求出栽树总棵数：
5×8＋12=52（棵）或7×8－4=52（棵）。
【例2】学生春游，租了几条船让学 生们划，每条船坐3人，则空2人的位置；如果每
条船坐5人，则空出16人的位置，问有学生多少人共 租了多少条船
【解析】：这是两亏问题，每条船坐3人，空2个位置即少2人，每条船坐5人空16< br>个位置少16人，每条船坐5人比每条船坐3人多空出了14个位置，即每条船坐5人比每
条船做 3人，可以多坐14人。
比较两种坐船方案，租船总条数是不变的。
可乘坐总人数相差：16－2=14（人）；
每条船乘坐人数相差：5－3=2（人）；
所以共租船：14÷2=7（条）。
根据船的条数和任意一种租船方案，可以求出学生人数，如：7×3－2=19（人）。
注： 如果解题时，该题需要把题中的一种分配方案进行转化才能化为盈亏问题求解，通
常在求题中的第二个未 知数时，按另一种分配方案求解比较方便。
【例3】：解放军某部调动一批战士分乘一批车辆赶往汛地 抗洪。原计划每辆汽车乘32
人，则多出5人，他们被安排乘坐在其中的某辆车上，行进中由于紧急任务 调走一辆车，这
时只好重新安排每辆车乘35人，这样多出7人，他们被安排在其中的某辆车上，问原来 共
有多少辆车共派出多少名战士
【解析】：在重新安排时，每辆车35人，少了一辆车，多出 7人。如果补上这辆车，
可以坐上这7个人，还可以再坐：35－7=28（人）。所以这个条件可以转 化为：仍然是

原来的车辆数，每辆车35人，少了28人。
转化条件后，比较两种安排乘坐情况，车辆数是不变的。
乘坐总人数相差：5＋28=33（人）；
每辆车乘坐人数相差：35－32=3（人）；
所以原来车辆数为：33÷3=11（辆）。
再根据原计划乘坐情况，可以求出战士人数为：11×32＋5=357（人）。
【例4】： 少先队员栽植一批树苗，如果每个队员栽6棵，还剩12棵；如果其中9个
小队员每人栽4棵，而其余队 员栽8棵，结果缺2棵。问这批树苗有多少棵参加植树的少先
队员有多少人
【解析】：第二种 方案中有9个小队员每人栽4棵树苗，假定这9个小队员每人也栽8
棵，则需要再添树苗：9×（8－4 ）=36（棵）。
因此题中条件“如果其中9个小队员每人栽4棵，而其余队员栽8棵，结果缺2棵。 ”
可以转化为：如果所有队员每人栽8棵，就缺少树苗：36＋2=38（棵）。
从而把原题转化为盈亏问题求解：
少先队员人数为：（38＋12）÷（8－6）=25（人）；
这批树苗总棵树为：25×6＋12=162（棵）。
【例5】：猴子分桃子，如果有2只猴 子各分5个，其余的各分3个，则还剩余9个桃
子。如果4只猴子各分3个，其余的各分6个，则剩余1 0个桃子。问猴子有多少只桃子有
多少个
【解析】：第一种分配方案中，有2只猴子各分5个 ，假定这2只猴子和其余猴子一样
也是分3个，在剩余的桃子就多出：2×（5－3）=4（个）。 < br>因此题中条件“如果有2只猴子各分5个，其余的各分3个，则还剩余9个桃子。”可
以转化为： 每只小猴分3个，则剩余：9＋4=13（个）。
第二种分配方案中，有4只猴子各分3个，假定这4 只猴子和其余猴子一样也是分6个，
则需要再分掉：4×（6－3）=12（个）。
因此题中 条件“如果4只猴子各分3个，其余的各分6个，则剩余10个桃子。”可以
转化为：每只小猴分6个， 则缺少：12－10=2（个）。
从而把原题转化为盈亏问题求解：
共有猴子：（13＋2）÷（6－3）=5（个）；
共有桃子：2×5＋（5－2）×3＋9=28（个）。

【例6】：陈老师给 小朋友分红花和黄花，黄花的朵数是红花的一半。黄花每人分3朵，
则多4朵；红花每人分7朵，则少5 朵。问有多少个小朋友共有多少朵花
【解析】：因为黄花的朵数是红花的一半，即红花的朵数是黄花的 2倍。因此题中条件
“黄花每人分3朵，则多4朵；”可以转化为：红花每人分6朵，则多8朵。
把题目转化成盈亏问题求解：
小朋友的个数为：（8＋5）÷（7－6）=13（个）；
共有红花：13×7－5=86（朵）；
共有花：86＋86÷2=129（朵）。



习 题 8
1.小朋友分苹果，每人分18个，还多出 2个；每人分20个，就有一位小朋友没分到苹
果，问共有多少个小朋友共有多少个苹果
2. 全班同学分组劳动，每组8人。劳动中觉得每组人数太少，因而重新编组，每组改为
12人，这样减少了 2组，问参加劳动的学生有多少人
3.在一次大扫除中，老师分配若干人擦玻璃。如果其中2人各擦4 块，其余每人擦5块，
则余22块；如果每人擦7块，正好擦完。求擦玻璃的人数和玻璃的块数。 4.有若干个苹果和梨，如果按1个苹果配3个梨分一堆，那么苹果分完时还剩2个梨，
如果按半个 苹果配2个梨分一堆，那么梨分完时还剩半个苹果，那么梨有多少个
5.学而思学校买来一批体育用品 ，羽毛球拍是乒乓球拍的2倍，分给同学们，每组分乒
乓球拍5副，余乒乓球拍15副，每组分羽毛球拍 14副，则差30副，问：学而思学校买来
羽毛球拍、乒乓球拍各多少副
6.用一根长绳测量 井的深度，如果绳子两折时，多5米；如果绳子3折时，差4米.求绳
子长度和井深.

习题8解答
1.小朋 友分苹果，每人分18个，还多出2个；每人分20个，就有一位小朋友没分到苹
果，问共有多少个小朋 友共有多少个苹果
【解析】：转化题中条件“每人分20只，就有一位小朋友没分到苹果”，即每人分 20
个苹果，就少20个苹果。
可以画出与上题相似的线段图帮助理解题意，比较每人分20 个苹果和每人分18个苹果
两种情况，小朋友总人数是不变的。
分掉的苹果总数相差：2＋20=22（个）；
每人多分：20－18=2（个）；
所以共有小朋友：22÷2=11（个）。
由小朋友总人数和任意一种分法，可以求出苹果总数，如：（11—1）×20=200（个）。 2.全班同学分组劳动，每组8人。劳动中觉得每组人数太少，因而重新编组，每组改为
12人，这 样减少了2组，问参加劳动的学生有多少人
【解析】：转化题中条件“每组12人，少2组”，即按原 定组数分组，每组12人，少
了24人。
转化条件后，比较第二次编组与第一次编组情况，编的组数没变。
总人数增加：12×2=24（人）；
每组人数增加：12－8=4（人）；
原定组数为：24÷4=6（人）。
再根据第一次分组情况，可以求出学生人数为：8×6=48（人）。
3.在一次大扫除中 ，老师分配若干人擦玻璃。如果其中2人各擦4块，其余每人擦5块，
则余22块；如果每人擦7块，正 好擦完。求擦玻璃的人数和玻璃的块数。
【解析】：第一种方案中，有2人擦4块玻璃，假定这两人也 擦5块，就可以多擦：2
×（5－4）=2（块）。
因此题中条件“如果其中2人各擦4块， 其余每人擦5块，则余22块；”可以转化为：
如果每人擦5块，则余：22－2=20（块）。
从而把原题转化为盈余问题求解：
擦玻璃人数为：20÷（7－5）=10（人）；
玻璃的块数为：10×7=70（块）。
4.有若干个苹果和梨，如果按1个苹果配3个梨分 一堆，那么苹果分完时还剩2个梨，
如果按半个苹果配2个梨分一堆，那么梨分完时还剩半个苹果，那么 梨有多少个

【解析】：第二分配方案中，半个苹果配2个梨就相当于1个苹果配4个梨 ，还剩下半
个苹果，还需要添2个梨正好配完。
因此题中条件“如果按半个苹果配2个梨分一 堆，那么梨分完时还剩半个苹果，”可以
转化为：如果按1 个苹果配4个梨，就缺2个梨。
从而把原题转化为盈亏问题求解：
共有苹果：（2＋2）÷（4－3）=4（个）；
共有梨：4×3＋2=14（个）。
5.学而思学校买来一批体育用品，羽毛球拍是乒乓球拍 的2倍，分给同学们，每组分乒
乓球拍5副，余乒乓球拍15副，每组分羽毛球拍14副，则差30副， 问：学而思学校买来
羽毛球拍、乒乓球拍各多少副
【解析】：因为羽毛球拍是乒乓球拍的2倍 ，如果每次分羽毛球拍5×2=10（副），最
后应余下15×2=30（副），因为14-5×2=4 （副），分到最后还差30副，所以比每次分10
副总共差30+30=60（副），所以有小组：60 ÷4=15（组），乒乓球拍有：5×15+15=90（副），
羽毛球拍90×2=180（副）.
6.用一根长绳测量井的深度，如果绳子两折时，多5米；如果绳子3折时，差4米.求绳
子长 度和井深.
【解析】：井的深度为：（5×2+4×3）÷（3-2）=22÷1=22（米）. < br>绳子长度为：（22+5）×2=27×2=54（米），或者（22-4）×3=18×3=54（米） .