学而思第4讲盈亏问题教师版
为人民服务教学设计-学生论文
第
4
讲盈亏问题
教学目标
本讲主要学习三种类型的盈亏问题：
1.
理解掌握条件转型盈亏问题：
2.
理解掌握关系互换性盈亏问题
;
3.
理解掌握其他类型的盈亏问题，
本节课要求老师首先上学生理解盈亏问题
其本公式的含义， 在通过例
题让学生掌握解答应困问题的其本技巧，培养学
生的思维分析能力。 经典精讲
盈亏问题，故名思意有剩下就叫盈，不够分就
叫亏，不同的方法分配
物品时，经常会产程这种盈亏现象。 盈亏问题的关键
是专注两次分配
时盈亏总量的变化。我们把盈亏问题分为三类： “一盈一
亏”、“两盈” “两亏”。
1.
“盈亏”型 例如：学而思学校四年级基础班的同学分糖果， 如果每人分
4
粒就多
9
粒，如果每人分
5
粒则少
6
粒，问：有多少位同学分多少粒糖果？
【分析】由题目条件知道，
同学的人数与糖果的粒数不变，比较两种 分配方
案，第一种没人分
4
粒就多
9
粒，，第二种每人分
5
粒则少
6
粒，两种不
同方案一多一少差
9+6=15
（粒），相差原理在于两种方案
分配数不同，两
次分配数之差为
15
1 15
（位），糖果的粒数为：
4 15 9 69
（粒）。
2.
“盈盈”型
例如：老猴子给小猴子分桃，每只小猴
10
个桃，就多出
9
个桃，每 只小猴
分
11
个桃则多出
2
个桃，那么一共有多少只小猴子？老猴子 一共有多少个
桃子？
分析：老猴子的第一种方案盈
9
个桃子，第二种方案盈
2
个，所以盈 亏综合
是
9-2=7
（个），两次分配之差是
11-10-1
（个）有盈亏问题公 式得，有小
猴子：
7 1 7
（只），老猴子有
7
10 9 79
（个）桃子。
3.
“亏亏”型 例如：学而思学校新近一批书，将它们分给几位老师，如果每
人发
10
本，还差
9
本，每人发
9
本，还差
9
本，第二次就只差
2
本了呢？
因为两次分配数量不一样，
第一次分配时每人少发一本， 也就是共有
7
1 7
（人）书有
7
10 9 61
（本）。 根据以上具体题目的分析，可以得出盈亏问题
的基本关系式：
（
盈
+
亏
）
两次分得之差
=
人数或单位
数
（盈
-
盈） 两次分得之差
=
人数或单位数
（亏
-
亏） 两次分得之差
=
人数或单位数 条
件转化型的盈亏问题 这种类型的题目不能直接计算，
要将其中的一个条件转
化， 使之成为 普通盈亏问题。
【例
1
】
军队分配宿舍，如果每间住
3
人，则多出
20
人；如果每间 住
6
人，余下
2
人可以每人住一个房间， 现在每间住
10
人， 可以空
出多少个房间？
【分析】每间住
6
人，余下
2
人可以每人各住一个房间，说明多出两
个房
间，同时多出两个人，也就是第二次分配少
6
2 2 10
（人）， 那么两次分配
方案人数相差
20+10=30
（人），即可以空出
10-50
10 5
（间）房间。
【铺垫】学校给一批新入学分配宿舍。如果每个房间住
12
人，则
34
人没有
位置；如果每个房间住
14
人，则空出
4
个房间。求学生宿舍 有多少间，住
宿学生有多少人？
【分析】把“每个房间住
14
人，则空出
4
个房间”转化为“每间住
14
人，
则少
14
4 56
（人）”这样两种方案就可以比较了。 第一种方案多出
34
人，
第二种方案少
56
人，
90
2
45
（间），学生 数为：
12
45 34 574
（人）
［
例
2］
妈妈买来一篮橘子分给全家人，如果其中两人分
4
个，其余人 每人
分
2
个，则多出
4
个；如果其中一人分
6
人，其余人每人分
4
个，则缺少
12
个，妈妈买来橘子多少个？全加共有多少人？ 【分析】由“其中两人分
4
个，其余每人分
2
个，则多出
4
个，”转 化为全家每人都分
2
个，这分
4
个的两人每人都拿出
2
个，共拿出
4
个，结果就多了
4+4=8
个：由“一人
分
6
个，其余每人分
4
个，则缺 少
12
个”转化为全家每人都分
4
个，分
6
个的人拿出
2
个。结果就 少了
12-2=10
个，转变成了盈亏问题的一半类
型
,
则： 全家的人数：
［4
2 2 （12 2）］ （4 2） 18 2 9
（人） 橘子的个数：
2 9 8
26
（个）
铺垫】实验小学的少先队员去植树。 如果每人种
5
棵还有
3
棵每人 种；
如果其中
2
人各种
4
棵。其余的人各种
6
棵，这些树苗正好种完，
问有多
少少先队员参加植树，一共
iozhong
多少课树苗？
【分析】这是一道较难的
盈亏问题， 主要难在对第二个已知条件的理 解上：如果其中
2
人各种
4
棵，其余的人各种
6
棵，就恰好种完，这
组条件中包含着两种种树的情况—
—
2
人各种
4
棵，其余的人各种
6
棵。如果我们把他们统一成一种情况，让
每人种六棵，那么，就可以 多种树（
6-4
）
2 4
（棵）。因此，原问题就转
化为：如果每人各种
5
棵树苗，还有
3
棵没人种
;
如果每人种
6
棵数树苗，
还缺
4
棵。问有
多少少先队员，一共种多少树苗？ 人数：
[3+（6-4）
2
]
（6
5） 7
（
人
）
， 棵树：
5 7 3 38
（棵）或
6 7 4 38
（棵）
【小结】盈亏问
题必须是将一定数量的物体平均分给固定对象， 而本
题中两次分橘子均不是
每人分别的橘子数相同。碰到此类似情况时，
不需将其调整成两次都是平均
分，然后解答。
【例
2
】 学校规定上午
8
时到校，小明去上学， 如果每分钟走
60
米， 可
提早
10
分钟到校； 如果每分钟走
50
米，可提早
8
分钟到 校，
求小明几时几分离家刚好
8
时到校？由家到学校的路程 是多少？
【分析】小明每分钟走
60
米，可提早
10
分钟到校， 即到校后还可多 走
60
10
600
米，如果每分钟走
50
米，可提早
8
分钟到校，
即到校后
还可多走
50 8=400
（米），第一种情况比第二种情况 每分钟多走
60-50=10
（米），就可以夺走
600-400=200
（米），
从而可以求出
小明由家道校所需时间。
1
）
10
分钟走多少米？
60 10 600
（米），
2
）
8
分钟走多少米？
50 8 400
（米）
3
）需要时间：（
600-400
）
（60 50） 20
（分钟），所以小明
7
时
40
分离
家刚好
8
时到校。
4
）由家到校的路程：
60 （20 10）
600
（米）或
50 （20 8） 600
（米）
.
铺垫】童童从家到学校，如果每分钟走
50
米，上课就要迟到
3
分 钟；如果
每分钟
60
米，就可以比上课时间提前
2
分钟夺走
60-50=10
（米），
就可以夺走
150+120=270
（米），童童从家到 学校所用时间是：
270
10 27
（分钟），加到学校的距离是：
50
（27 3） 50
30 1500
（米）。
例
4
】（第二届“华杯赛”试题）有一个半同学去划船。他们计算
以下，如
果增加一条船，正好每条船作
6
人；跑如果减少一条
船，正好每条船
坐
6
人。如果减少一条船， 正好每条船坐
9
人。 问：这个班共有多少
学生
分析】先增加一条船，那么正好每条船坐
6
人。然后去掉两条船， 就会余下
6
2 12
（名）同学。改为每条船
9
人，也就是说， 每条船增加
9-6=3
（人），正好可以把余下的
12
名同学全部安
排上去，所以现在还有
12
3 4
（条）船，而全班同学的人数 是
9
4 36
（人）。
【巩固】增加两条船，正好每条船坐
6
人，然后去掉四条船，就会余 下
6 4
24
（人），改为每只船
9
人 ，即每条船增加
9-6=3
（人）， 正好可
以把余下的
24
人全部安排上去，所以现在船数为
24
3 8
（条），这
个班的人数为
9
8 72
（人）。
【小结】这部分的题目不能直接运用公式计算， 首先需要将一定的条
件转
化，使之成为跟第一步分相似的题型，在运用公式计算。
关系互换型的盈亏问题
这种题型中会出现两种物品， 一半两者之间还存在数量关系， 如和差 关
系、倍数关系等，
我们应该先利用数量关系将已知条件转化 为一种
物品的盈亏关系，再根据盈亏问题的 解法计算。
【例
5
】（
2004
“走进美妙的数学花园”数学邀请赛）
幼儿园老师把一袋糖
果分给下朋友。如果分给打扮的小朋友，每人
5
粒就缺
6
粒。如果分给小班
的小朋友，每人
4
粒。已知大班比
小班少
2
个小朋友这袋糖果共有多少粒？
【分析】如果大班增加
2
个小朋友，大、小班人数就相等了， 变为“每 人
5
粒缺
16
粒，每人
4
粒多
4
粒”的盈亏问题。小班有
（16 4） （5
4） 20
（人）。这袋糖果有
4 20 4
84
（粒）。
【拓展】（
2007
年湖北省“创新杯”决赛）
四（
2
）班举行“六一”联欢晚
会，辅导员老师带着一笔钱取买糖果。
如果买芒果
13
千克，还差
4
元
;
如果买奶糖
15
千克，则还剩
2
元。已知每千克芒果比奶糖贵
2
元，那么，，辅导员老师带了 元钱
.
［
分析
］
这笔钱买了
13
千克芒果还差
4
元
,
若把
13
千克芒果换成奶糖就 会
多出
13
2 26
元，所以这笔钱买
13
千克奶糖会多出
26-4=22
元。而
这笔钱埋
15
千克奶糖会多出
2
元，所以每千克奶糖的 价 格 为 ：
（
22-2
）
（15 13） 10
（ 元 ）。 辅 导 老 师 共 带 了
10
15 2
152
（元）
【例
6
】（
2004
南京市少年数学智力冬令营）
甲、
乙两人各买了相同数量的信封与相同数量的信封与相同数量 的信封，甲
每封信用
2
张信纸信纸，乙每封信用
3
张信纸，一段
时间后，甲用完了
所有的信封还剩
20
张信封，乙用完所有信纸还 剩下
10
个信封，则他们
每人各买了多少张信纸？
【分析】由题意，如果乙用完所有的信封，那么缺
30
张信纸。这是
盈亏问
题，盈亏总额为（
20+30
）张信纸，两次分配的差为（
3-2
）张 信纸，所有
的信封（
20+30
）
（3
2） 50
（个），有信纸
2 50 20 120
） （张）
【巩固】甲、乙两人的信纸一样多，信封也一样多，甲写一封信用一 张信
纸，乙写一封信用
3
张信纸。结果甲的信封用完时还剩
50
张信
纸，乙的信
纸用完时还剩
50
个信封，原来他们 各自有信封多少个？
信纸多少张？ 【分析】乙要想用完剩余的
50
个信封，还需再多
50 3=150
张信纸， 也就是要用完同样多的信封，甲多
50
张信纸，乙少
150
张信纸。
信封的个数：
（50 3 50） （3 1） 100
（个）
信纸的张数：
100+50=150
（张）
【小结】不同的人，相同的物品，假设都用完同样多的信封，这就是
“盈
亏”的关联点，问题便于解决了。
【例
7
】体育中心将一些乒乓球分给若干人，每人
5
个还多余
10
个 乒乓
球，如果人数增加到
3
倍，那么每人分
2
个乒乓球还缺少
8
个， 问有乒乓
球多少个？
【分析】考虑人数增加
3
倍后，相当于按原人数每人给
2 3
6
（个）， 每人
给
5
个与给
6
个，总数相差
10+8=18
（个），所以原有人数
18
（6 5） 18
（人），乒乓球总数是
5 18 10 100
（个）
【拓展】卧龙自然保护区管理员把一些竹子分给若干只大熊猫， 每只 大熊猫
分
5
个还多余
10
棵竹子，如果大熊猫数增加到
3
倍还少
5
只 大熊猫，那
么每只大熊猫分
2
个还缺
8
棵竹子，问有大熊猫多少只， 竹子多少课？
注意】以上题型中会出现两种物品，
一般两者之间还存在数量关系，
如和差关系、倍数关系等， 我们应该先利用数量关系将已知条件转化
为一种
物品的盈亏关系，再根据普通盈亏问题的解法计算。
【例
8
】幼儿园阿姨拿来水果糖和奶糖分给小朋友，且水果糖的个数 是奶糖
的
2
倍。如果每个小朋友分
2
个奶糖，就多余
4
个奶糖；如果 每个小朋友
分
5
个水果糖，则少
2
个水果糖。阿姨拿来了水果糖和奶 糖个多少个？
【分析】水果糖和奶糖的个数不相等，不能将两者直接比较，如果本
题中水
果糖和奶糖一样多就好了。 所以，我们可以假设水果糖和奶糖
一样多，也就
是假设奶糖是实际数量的
2
倍，那么，分给同样多的小
朋友后，每个小朋友
可以分到
2 2=4
个，而多余的奶糖是
4 2
8
（个）、 分到太奶糖和水果糖相
差
8+2=10
个，原因是每个小朋友多分了
5-4=1
个，这样就可以求出小朋友
的人数， 然后根据太烫和水果糖的实际分
配情况，分别求出奶糖和水果糖的
个数， 然后根据奶糖和水果糖的实
际分配情况，分别求出奶糖和水果糖的个
数，即：
（4 2 2） （5 2 2） 10
1 10
（个）小朋友的人数
10
2 4
24
（
个
）
奶糖的个数
10
5 2 48
（个）水果糖的个数
【注意】本题的解题关键在于通过假设， 使两种糖的个数变得同样多
在解答
其他类型的盈亏问题 盈亏问题有的题型不想普通的盈亏问题那么标准，
它是
经过普通盈亏 问题的变形和拓展，解答这类问题也要利用其本盈亏问题解答
方法，
根据不同的题型作出相应的应对。
【例
9
】幼儿园老师给小朋友分糖果。若每人分
8
快，还剩
10
快； 若没人
分
9
块，左后一人分不到
9
块，但至少可分到一块。那么糖果
最多有多少
块？
【分析】最后一人分不到
9
块，那么最多可以分到
8
块，即若每人分
9
块，还差
1
块。根据盈亏计算公式， 人数有（
1+10
）（
9-8
）
=11
（人）， 糖果最多有
9
11 1
98
（块）；最后一人分不到
9
块，但至少可分
到
一块，即最少是最后一人差
8
块，根据盈亏计算公式，
人数有（
8+10
）
（9 8） 18
（人），糖果最多有
9
18 8 154
（块）；所以，这批糖果最 多有
154
块。
【拓展】有若干盒卡片，每盒中卡片数一样多。把这些卡片分给一些 小朋
友，如果只分一盒，
每人均至少可得
7
张，但若都分
8
张则缺少
5
张。现
在把所有卡片都分完，每人都分到
60
张，而且还多出
4
张。 问共有小朋友
多少人？
【分析】
60
7
8
⋯
4
，60
8 7
⋯
4
，说明卡片的盒数是
8
盒，“若都分
8
张则还
缺少
5
张”，即如果我们每盒中加
5
张（
8
盒共加
40
张），每 人就可以得
到
8
8 64
（张），现在时机每人得到
60
张，即每人需要 退
4
张，其中要有
4
张式每人
60
张后多下来的， 还有
40
张我们一开
始借来的要还出去，即
要退出
44
张，
44
4
11
（人），说明有
11
人。
【例
10
】妈妈给了红红一些钱去买贺年卡，有甲、乙、丙三种贺年 卡，，
甲种卡每张
1
元，丙种卡片每张
2
元。用完这些钱买甲种卡要 比乙种卡多买
8
张，买乙种卡要比买丙种卡多买
6
张。妈妈给了红红
多少钱？乙种卡每张
多少钱？
【分析】“用这些钱买甲种卡要比买乙种卡多买
8
张，买乙种要比买 丙种卡
多买
6
张”所以盈亏总额是：
1
8 2 6 20
（元），单价相加
2-1=1
（元），
所以工可以买衣种卡
20 1 20
（张），妈妈给红红的钱 数是：
（
20+8
）
1=28
（元），乙种卡每张：
28
20
=1
元
4
角。
【拓展】乐乐有一个储蓄筒，存放的都是硬币，其中
2
分币比
5
分币 多
22
个
;
按钱数算，
5
分币比
2
分币多
4
角；另外，还有
36
个
1
分币。
乐乐共
花了多少钱？
【分析】假设去掉
22
个
2
分币，那么按钱数算，
5
分币比
2
分币多
8
角
4
分，一个
5
分币比一个二分币多
3
分，所以
5
分币有：
84
（
5-2
）
=28
个
2
分币有：
28+22=50
（个）
所以乐乐共存钱：
5
28 2 50
1 36 140 100 36 276
（分）。
巩固精炼
1.
小明读一本书，如果每天读
6
页，还剩
20
页没有读完，如果每天 读
10
也，书还少
24
页，这本书共有多少页， 小明打算几天读完？
【分析】在两种方法中，数的页数和打算读的天数没有改变，而第一 种读
法，书没读完，还剩
20
页；第二种读法，不仅可将余下的
29
页
读完，如
果书还有
24
页也能恰好读完。两种不同读法总页数相差
20+24=44
页，造
成这个差异的原因就是每天多读天了
10-6=4
页。每 天多读
4
页就要多读
44
页，因此打算毒的天数是
44
4 11
天，即：
20+24
）（
10-6
）
=44 4=11
（天）
6 114 20 86
（页）
2.
阳光小学学生乘汽车到香山春游。如果每车坐
65
人，则有
5
人不 能乘上
车；如果没车多坐
5
人，恰好多于一辆车，问一共有几辆 汽车，有多少
学生
?
［
分析
］
每车多坐
5
人，实际是每车可坐
5+65=70
（人），恰好多余一辆
车，也就是还差一辆汽车的人，即
70
人，因而原因问题转化为：如 果没车
坐
65
人，则多出
5
人无人乘坐；如果每车坐
70
人，还少
70
人，求有多少
人和多少辆车？车数是（
5+5+65
）
5 15
（辆）人数是
65
15 5 980
（人）或
（
5+65
）
（15 1） 980
（人）
3.
王老师由家里到学校，如果骑车每分钟每分钟
500
米，上课就要 迟到
3
分钟；如果骑车每分钟
600
米，就可以比上课时间提前
2
分钟到校。王
老师家到学校的路程是多少米？
【分析】迟到
3
分钟转化成米数：
500 3=1500
（米），提前两分钟到
校转
化成米数：
600
2=1200
（米），（
1500+1200
） （
600-500
）
=27
（分
钟）
500
（27 3） 15000
（米）
4.
王阿姨去买水果。如果买
5
千克橙子，就差
10
元钱；如果买
6
千
克葡
萄，则余
2
元钱。已知每千克橙子比每千克葡萄贵
4
元，每 千克橙子和
每千克葡萄个多少元？
【分析】本题涉及到两种水果，较难入手。但题中告诉我们每千克橙 子比每
千克葡萄贵
4
元，所以可以设法把两种水果转化为一种水果。
因为每千克橙子比每千克葡萄贵
4
元，所以将买
5
千克橙子换成买
5
千克葡
萄，就要少用
4
5=20
（元），于是，“买
5
千克橙子差
10
元钱”
就可以
变成“买
5
千克葡萄余
20-10=10
元”，则题目乘为：王阿姨买 水果，如果
买
5
千克葡萄，就余下
10
元钱；如果买
6
千克葡萄就余
2
元钱，而每千克
橙子比每千克葡萄贵
4
元，求每千克橙子和葡萄各 多少元？解答这个问题就
不难了。
每千克葡萄的价钱：
（5 4 10 2） （6 5） 8 1 8
（元）
每千克橙子的价钱：
8+4=12
（元）
5.
妈妈去超市买洗衣粉，雕牌和碧浪的单价分别为
8
元和
10
元，妈 妈带的
钱买雕牌洗衣粉比买碧浪洗衣粉可多买
3
袋，并且没有剩 余的钱。问：
妈妈带了多少钱？
【分析】（法一）“多买
3
袋，”这三袋洗衣粉多花
8 3
24
（元）又因 为花
的钱总数一样多多，所以在买碧浪洗衣粉的时候要把这些钱补
上，而碧浪比
雕牌每袋贵
2
元，所以要买碧浪洗衣粉袋数
24 2
12
（袋。）这样妈妈带的钱
数是
10
12 120
（元）。
（法
2
）如果买雕牌与碧浪洗衣粉数量一样多，则买雕牌洗衣粉以后 还剩
3
8 24
（元），买碧浪洗衣粉的数量是：
24 （10 8） 24 2
12
（袋） 所以妈妈带
的钱数是
12 10 120
（元）