盘子画-九寨沟游记

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任意四边形、梯形与相似模型
模型四 相似三角形模型


(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型
A
E
A
F
D
D
B
F< br>G
E
C

BG
C


ADAEDEAF
①
；
 
ABACBCAG
②
S
△ADE
：S
△ABC
 AF
2
:AG
2
。

所谓的相似三角形，就是形状相同， 大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样
改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性 质及定理如下：
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；
⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；
⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半。
相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具。
在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形。


如图，已知在平行四边形
ABCD
中，
AB16
，
AD10< br>，
BE4
，那么
FC
的长
【例
1
】
度是多少？
D
C
F
A
BE

【解析】 图中有一个沙漏，也有金字塔，但我们用沙漏就能解决问题，因为
AB
平行于
CD，
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所以
BF:FCBE:CD4:161:4
，所以
FC10
48
．
14

【例 2】 如图，测量小玻璃管口径的量具
ABC
，
AB
的长为
15
厘米，
AC
被分为
60
等份。
如果小玻璃管口
DE
正好对着量具上
20
等份 处(
DE
平行
AB
)，那么小玻璃管口径
DE
是多大？
B
E

【解析】 有一个金字塔模型，所以
DE:ABDC:AC
，
DE:1540:60
，所以
DE10
厘米。


如图，
DE
平行
BC
，若
AD:DB2:3< br>，那么
S
△ADE
:
S
△ECB

____ ____。
【例
3
】
A
D
B
E
A< br>0
D
10
2030
40
C
5060

C
【解析】 根据金字塔模型
S
△ADE
:S
△ABC2
2
:5
2
4:25
，
AD:ABAE:AC DE:BC2:(23)2:5
，
设
S
△ADE

4
份，则
S
△ABC

25
份，
S
△BE C

25

5

3

15
份，所 以
S
△ADE
:S
△ECB
4:15
。


如图，
△ABC
中，
DE
，
FG
，< br>BC
互相平行，
ADDFFB
，
【例
4
】
则
S
△ADE
:
S
四边形DEGF
:
S< br>四边形FGCB

。
A
D
F
B
E
G
C
【解析】 设
S
△ADE

1
份，根据面积比等于相似比的平方，
所以
S
△ADE
:S
△AFG
AD
2
:AF2
1:4
，
S
△ADE
:S
△ABC
AD
2
:AB
2
1:9
，因此
S
△AFG
 4
份，
S
△ABC

9
份，
进而有
S< br>四边形DEGF

3
份，
S
四边形FGCB

5
份，所以
S
△ADE
:
S
四边形DEGF
:< br>S
四边形FGCB

1:3:5



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【巩固】如图，
DE
平行
BC
，且
A D2
，
AB5
，
AE4
，求
AC
的长。
A
D
B
E

【解析】 由金字塔模型得
AD:AB AE:ACDE:BC2:5
，所以
AC42510



【巩固】如图，
△ABC
中，
PQ
，
FG< br>，
MN
，
BC
互相平行，
DE
，
ADDF FMMPPB
，
则
S
△ADE
:
S
四边形D EGF
:
S
四边形FGNM
:
S
四边形MNQP
:
S
四边形PQCB

。
A
D
F
M
E
G
C
N
Q
C
P
B
【解析】 设
S
△ADE
1
份，
S
△ADE
:S
△AFG

AD
2
:AF
2
1:4
， 因此
S
△AFG

4
份，进而有
S
四边形DEGF
3
份，同理有
S
四边形FGNM

5
份，
S
四边形MNQP

7
份，
S
四边形PQCB

9
份．
所以有
S
△ADE
:
S
四边形D EGF
:
S
四边形FGNM
:
S
四边形MNQP
:
S
四边形PQCB

1:3:5:7:9


【总 结】继续拓展，我们得到一个规律：平行线等分线段后，所分出来的图形的面积成等差
数列。


【例 5】
已知
△ABC
中，若
AD:DB2:3< br>，且
S
梯形DBCE
比
S
△ADE
大
8.5 cm
2
，
DE
平行
BC
，
求
S
△ ABC
。
A
D
B
E

C
【解析】 根据 金字塔模型
AD:ABDE:BC2:(23)2:5
，
S
△ADE
:S
△ABC
2
2
:5
2
4:25
， 设
S
△ADE

4
份，则
S
△ABC
< br>25
份，
S
梯形DBCE
25421
份，
S< br>梯形DBCE
比
S
△ADE
大
17
份，恰好是
8.5cm
2
，所以
S
△ABC
12.5cm
2



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如图：
MN
平行
BC
，
S
△MPN
:S
△BCP
4:9
，
AM4cm
，求
BM
的长度
【例
6
】
A
M
P
B
C
N

【解析】 在沙漏模型中 ，因为
S
△MPN
:S
△BCP
4:9
，所以
M N:BC2:3
，在金字塔模型中有：
AM:ABMN:BC2:3
，因为< br>AM4cm
，
AB4236
cm
，所以
BM6 42cm


【巩固】如图，已知
DE
平行
BC
，
BO:EO3:2
，那么
AD:AB
________。
A
D
B
O
C
E

【解析】 由沙漏模型得
BO:EOBC:DE3:2
，再由金字塔模型得
AD:ABDE:BC2: 3
．

11
【例 7】 如图，
ABC
中，
A EAB
，
ADAC
，
ED
与
BC
平行，
EOD
的面积是1
44
平方厘米。那么
AED
的面积是 平方厘米。
A
E
O
D
B
C
【解析】 因为
AE
11
AB
，
ADAC
，
ED
与
BC
平行，
44
根据相似模型可知
ED:BC1:4
，
EO:OC1:4
，
S
COD

4
S
EOD

4
平方厘米，
则
S
CDE

4
1

5
平方厘米，
15
又因为
S
AED
:
S
CDE
AD
:
DC
1:3，所以
S
AED
5
(平方厘米)．
33


【例 8】 在图中的正方形中，
A
，
B
，
C< br>分别是所在边的中点，
VCDO
的面积是
VABO
面
积的几倍 ？
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C
F
C
B
O
A
D
B
O
A
D

【解析】 连接
BC
，易知
OA
∥
EF
，根据相似三角形性质，可知
OB:ODAE:AD
，且
OA:BEDA :DE1:2
，所以
VCDO
的面积等于
VCBO
的面积；由11
CDO
的面积是
OABEAC
可得
CO3OA
，所以
S
VCDO
S
VCBO
3S
VABO
，即
V
24
VABO
面积的3倍。

【例 9】 如图， 线段
AB
与
BC
垂直，已知
ADEC4
，
BD BE6
，那么图中阴影部分
面积是多少？
E
A
D
A< br>D
O
B
A
D
E
C

B
E
C

O
B

【解析】 解法一：这个图是个对称图形，且各边长度已经给出，不妨连接这个图形的对称轴
看看．
作辅 助线
BO
，则图形关于
BO
对称，有
S
VADO
 S
VCEO
，
S
VDBO
S
VEBO
，且
S
VADO
:S
VDBO
4:62:3
．
设VADO
的面积为2份，则
VDBO
的面积为3份，直角三角形
ABE< br>的面积为8份．
因为
S
VABE

6

1 0

2

30
，而阴影部分的面积为4份，所以阴影部分的面积为< br>308415
．
解法二：连接
DE
、
AC
． 由于
ADEC4
，
BDBE6
，所以
DE
∥
AC
，根
据相似三角形性质，可知
DE:ACBD:BA6:103:5，
E
C
根据梯形蝴蝶定理，
S
VDOE
:S
VDOA
:S
VCOE
:S
VCOA
3
2
:
35

:

35

:5
29:15:15:25
，
所以
S
阴影
:
S
梯形ADEC


15

15

:
9

15

15

25


15:32
，即
S
阴影

15
；
S
32
梯形ADEC
1115
又
S
梯形ADEC
1010 66=32
，所以
S
阴影
S
梯形ADEC
15．
2232

【例 10】
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(
2 008
年第二届两岸四地”华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛)如图，四边形

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ABCD
和
EFGH
都是平行四边 形，四边形
ABCD
的面积是
16
，
BG:GC3:1
， 则
四边形
EFGH
的面积

________．
A
F
B
G
E
H
C
D

【解析】 因为
FGHE
为平行四边形，所以
ECAG
，所以
AGCE
为平行四边形．
11
BG:GC3:1
，那么
GC: BC1:4
，所以
S
YAGCE
S
YABCD
1 64
．
44
又
AEGC
，所以
AE:BGGC:B G1:3
，根据沙漏模型，
33
FG:AFBG:AE3:1
，所以
S
YFGHE
S
YAGCE
43
．
44

【例 11】 已知三角形
ABC
的面积为
a
，
AF:FC2:1
，
E
是
BD
的中点，且
E F
∥
BC
，
交
CD
于
G
，求阴影部分的面 积．
A
D
E
B
G
F
C

【解析】 已知
AF:FC2:1
，且
EF
∥
BC
，利用相似三角形性质可知
2
EF:BCAF:AC2:3
，所以
EF BC
，且
S
VAEF
:S
VABC
4:9
．
3
1
又因为
E
是
BD
的中点，所以
EG< br>是三角形
DBC
的中位线，那么
EGBC
，
2
12
EG:EF:3:4
，所以
GF:EF1:4
，可得
S
VCFG
:S
VAFE
1:8
，所以
23
a
S
VCFG
:S
VABC
1:18
，那么
S
VCF G

．
18

【例 12】 已知正方形
ABCD
，过
C
的直线分别交
AB
、
AD
的延长线于点
E
、
F
，且
AE10cm
，
AF15cm
，求正 方形
ABCD
的边长．
A
B
E
D
C

【解析】 方法一：本题有两个金字塔模型，根据这两个模型有
BC:AFCE:EF
，
BCDCCECF
DC:AECF:EF
，设正方形的边长为
xcm< br>，所以有
1
，
AFAEEFEF
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F

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xx
1
，解得
x6
，所以正方形的边长为
6cm
．
15 10
x15x
方法二：或根据一个金字塔列方程即

，解得
x6

1015
即

【例 13】 如图，三角形
ABC
是一块锐角三角形余料，边
BC120
毫米，高
AD80
毫
米 ，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在
BC
上，其余两个顶点分别在
AB、
AC
上，这个正方形零件的边长是多少？
A
P
N
B
【解析】 观察图中有金字塔模型
5
个， 用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以有
PNAPPHBPPNPHAPBP
，，设正方形 的边长为
x
毫米，
1
，即
BCABADABBCADA BAB
xx
1
，解得
x48
，即正方形的边长为
48
毫米．
12080

【巩固】如图，在
△ABC
中，有长 方形
DEFG
，
G
、
F
在
BC
上，
D
、
E
分别在
AB
、
AC
上，
AH是
△ABC
边
BC
的高，交
DE
于
M
，
DG:DE1:2
，
BC12
厘米，
AH8
厘米 ，求长方形的长和宽．
A
D
BG
M
E
F

H
D
G
C

H

【解析】 观察图中有金 字塔模型
5
个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以
DEADDGBDDEDG ADBD
，，所以有设
DGx
，则
DE2x
，
 1
，
BCABAHABBCAHABAB
2xx244848
所以有，
2x
，因此长方形的长和宽分别是
厘米
，
1
， 解得
x
128777
24
厘米．
7

【例 14】 图中
ABCD
是边长为
12cm
的正方形，从
G
到 正方形顶点
C
、
D
连成一个三角
形，已知这个三角形在
AB
上截得的
EF
长度为
4cm
，那么三角形
GDC
的 面积是多
少？
C
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G
G
A
EF
B
A
E
N
F
B

【解析】 根据题中条件，可以直接判断出
EF
与
DC
平行，从而三角形
GEF
与三角形
GDC
相
似，这样，就可以采用相似三角形性质来解决问题． 做
GM
垂直
DC
于
M
，交
AB
于N
．
因为
EF
∥
DC
，所以三角形
GEF< br>与三角形
GDC
相似，且相似比为
EF:DC4:121:3
，
所以
GN:GM1:3
，又因为
MNGMGN12
，所以< br>GM18

cm

，
D
C
D
M
C
1
所以三角形
GDC
的面积为
1218108
cm
2

．
2

【例 15】 如图，将 一个边长为
2
的正方形两边长分别延长
1
和
3
，割出图中的 阴影部分，
求阴影部分的面积是多少？
M
E
B
N
O
F
【解析】 根据相似三角形的对应边成比例有：
则
NF
EM1
NF3
；，

1223
2312

5
5
，
EM
，
9
3
1

9

5

1

S
阴


2



2


2

5

3

30

【例 16】 (2008年101中学考题)图中的大小正方形的边长均为整数(厘米)，它们的面积
之和等 于52平方厘米，则阴影部分的面积是 ．
A
B
C
G
D

【解析】 设大、小正方形的边长分 别为
m
厘米、
n
厘米(
mn
)，则
m
2
n
2
52
，所以
若
m5
，则
m2
n
2
5
2
25052
，不合题意，所以< br>m
只能为6或7．检
m8
．
验可知只有
m6
、< br>n4
满足题意，所以大、小正方形的边长分别为6厘米和4
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H
FE

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厘米．根 据相似三角形性质，
BG:GFAB:FE6:43:2
，而
BGGF6< br>，得
1
BG3.6
(厘米)，所以阴影部分的面积为：
63.6 10.8
(平方厘米)．
2

【例 17】 如图，
O
是矩形一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积为
3
和
4
，
那么阴影部分的一块直角三角形的面积是多少？
D
4
O
E
3AD
4
O
E
3
A
C
F
B
C< br>F
B
【解析】 连接
OB
,面积为
4
的三角形占了矩 形面积的
1
，所以
S
△OEB

4

3< br>
1
,所以
4
525

OE:EA1:3
,所以
CE:CA5:8
,由三角形相似可得阴影部分面积为
8()
2< br>
．
88


【例 18】 已知长方形
ABCD< br>的面积为
70
厘米，
E
是
AD
的中点，
F< br>、
G
是
BC
边上的
三等分点，求阴影
△EHO
的面积是多少厘米？
A
H
B
F
E
O
G
C
B
D
A
H
F
E
O
G
C
D

【解析】 因为
E
是
AD
的中点，
F
、
G
是
BC
边上的三等分点，由此可以说明如果把长方形
的 长分成
6
份的话，那么
EDAD3
份、
BFFGGC2< br>份，大家能在图形中
找到沙漏
△EOD
和
△BOG
：有
ED
所以
OD
相当于把
BD
∶BG=3∶4
，
∶ BO3∶4
，
分成(
34
)
7
份，同理也可以在图中在 次找到沙漏：
△EHD
和
△BHF
也是沙漏，
ED∶BF3∶2< br>，由此可以推出：
HD∶BH3∶2
, 相当于把
BD
分成(
32
)
5
份，
那么我们就可以把
BD
分成
35
份(
5
和
7
的最小公倍数)其中
OD
占
1 5
份，
BH
占
14
35
份，
HO
占
6
份，连接
EB
则可知
△BED
的面积为
704，在
BD
为底的三角
2
356
形中
HO
占6
份，则面积为：
3
(平方厘米).
235

【例 19】
ABCD
是平行四边形，面积为72平方厘米，
E
、
F
分别为
AB
、
BC
的中点，
则图中阴影部分的面 积为 平方厘米．
A
O
E
D
A
O
G
D
E
H
M
C
M
B
F
C
B
F

【解析】 方法一：注意引导学生利用三角形的中位线定理以及平行线的相关性质．
设
G
、H
分别为
AD
、
DC
的中点，连接
GH
、EF
、
BD
．
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1
可得
S
VAED
=S
平行四边形ABCD
， < br>4
对角线
BD
被
EF
、
AC
、
GH
平均分成四段，又
OM
∥
EF
，所以
23
DO:E DBD:BD2:3
，
OE:ED

EDOD

: ED

32

:31:3
，
44
1111
所以
S
VAEO
S
平行四边形 ABCD
726
(平方厘米)，
S
VADO

2< br>S
VAEO

12
(平
3434
方厘米)． 同理可得
S
VCFM

6
平方厘米，
S
VCD M

12
平方厘米．
所以
S
VABC
SVAEO
S
VCFM

36

6

6

24
(平方厘米)，
于是，阴影部分的面积为
24121248
(平方厘米)．
方法二： 寻找图中的沙漏，
AE:CDAO:OC1:2
，
FC:ADCM:AM1: 2
，
11
因此
O,M
为
AC
的三等分点，
S
△ODM
S
平行四边形ABCD
7212
(平方厘米)，
66
11
S
△AEO
S
△OCD
122 6
(平方厘米)，同理
S
△FMC

6
(平方厘米)，所以
44
S
阴影
72126648
(平方厘米)．

【例
20
】
如图，三角形
PDM
的面积是8平方厘米， 长方形
ABCD
的长是6厘米，宽是
4厘米，
M
是
BC的中点，则三角形
APD
的面积是 平方厘米．
A
D
A
N
K
D
P
B
M
C
P
BC
M

【解析】 本题在矩形内连接三点构成一个三角形，而且其中一点是 矩形某一条边的中点，一
般需要通过这一点做垂线．
取
AD
的中点
N
，连接
MN
，设
MN
交
PD
于
K
．
则三角形
PDM
被分成两个三角形，而且这两个三角形有公共的底边
M K
，可知三
18
角形
PDM
的面积等于
MKBC8< br>(平方厘米)，所以
MK=
(厘米)，那么
23
84
NK4 
(厘米)．
33
8
因为
NK
是三角形
APD
的中位线，所以
AP2NK
(厘米)，所以三角形
APD
的< br>3
18
面积为
68
(平方厘米)．
23

【例
21
】
如图，长方形
ABCD
中，
E为
AD
的中点，
AF
与
BE
、
BD
分 别交于
G
、
H
，
OE
垂直
AD
于
E
，交
AF
于
O
，已知
AH5cm
，
H F3cm
，求
AG
．
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A
G
E
D
O
H
F
C

【解析】 由于
AB
∥
DF
，利用相似三角形性质可以得到
AB:DFAH:HF5:3
，
又因为
E
为
AD
中点 ，那么有
OE:FD1:2
，
3
所以
AB:OE5:10: 3
，利用相似三角形性质可以得到
2
AG:GOAB:OE10:3
，
111040
而
AOAF

53

4< br>
cm

，所以
AG4

cm
．
221313

1
【例
22
】
右图中正方形的面积为1，
E
、
F
分别为
AB
、
BD
的中点，
GCFC
．求
3
阴影部分的面积．
A
D
B
A
D
E
F
G
E
F
G

【解析】 题中条件给出的都是比例关系，由此可以初步推断 阴影部分的面积要通过比例求
解，而图中出现最多的就是三角形，那么首先想到的就是利用相似三角形的 性质．
阴影部分为三角形，已知底边为正方形边长的一半，只要求出高，便可求出面积． 可
以作
FH
垂直
BC
于
H
，
GI
垂直
BC
于
I
．
根据相似三角形性质，
CI:CHCG:CF1 :3
，又因为
CHHB
，所以
1155
CI:CB1:6
，即
BI:BC

61

:65:6
，所以
S
VBGE

．
22624

【例 23】 梯 形
ABCD
的面积为12，
AB2CD
，
E
为
A C
的中点，
BE
的延长线与
AD
交
于
F
， 四边形
CDFE
的面积是 ．
B
C
B
H
I
C
D
F
E
A
C
G
F
D
C
E
B

A
B
【解析】 延长
BF
、
CD
相交于
G
．

11由于
E
为
AC
的中点，根据相似三角形性质，
CGAB2C D
，
GDGCAB
，
22
再根据相似三角形性质，
AF :FDAB:DG2:1
，
GF:GB1:3
，而
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S
ABD
:S
BCD
AB:CD2:1
，
11
所以
S
BCD
S
ABCD
124
，
S
GBC
2S
BCD
8
．
33
S
18
111
1

11

又
GDF< br>
，
S
EBC
S
GBC
，所以
S
CDFE


1

S
GBC
S< br>GBC

．
33
S
GBC
236
2< br>
26


【例 24】 如图，三角形
ABC
的面 积为60平方厘米，
D
、
E
、
F
分别为各边的中点，
那么阴影部分的面积是 平方厘米．
AA
D
E
D
E
M
N
CB
A
F
CB

F

D
E
M
N
CB

【解析】 阴影部分是一个不规则 的四边形，不方便直接求面积，可以将其转化为两个三角形
的面积之差．而从图中来看，既可以转化为< br>BEF
与
EMN
的面积之差，又可以转
化为
BCM与
CFN
的面积之差．
(法1)如图，连接
DE
．
由于
D
、
E
、
F
分别为各边的中点，那么
BDE F
为平行四边形，且面积为三角形
ABC
面积的一半，即30平方厘米；那么
BEF
的面积为平行四边形
BDEF
面积的
一半，为15平方厘米． 根据几何五大模型中的相似模型，由于
DE
为三角形
ABC
的中位线，长 度为
BC
的
1
一半，则
EM:BMDE:BC1:2
， 所以
EMEB
；
3
1
EN:FNDE:FC1:1
，所以
ENEF
．
2
111
那么
EMN
的面积占
BEF
面积的< br>
，所以阴影部分面积为
236

1

15
1

12.5
(平方厘米)．

6

(法2)如图，连接
AM
．
根据燕尾定理 ，
S
ABM
:
S
BCM
AE
:
EC 
1:1
，
S
ACM
:S
BCM
AD:DB 1:1
，
11
所以
S
BCO
S
ABC< br>6020
平方厘米，
33
111
而
S
BD C
S
ABC
6030
平方厘米，所以
S
FCN
S
BDC
7.5
平方厘米，
224
那么阴影部分面积为
207.512.5
(平方厘米)．
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F

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【总结】求三角形的面积，一般有三种方法：
⑴利用面积公式：底

高
2
；
⑵利用整体减去部分；
⑶利用比例和模型．

【例 25】 如图,
ABCD
是直角梯形 ，
AB4,AD5,DE3
，那么梯形
ABCD
的面积是多
少 ?
A
O
B
A
F
B
O
D
E
C
DE
C

【解析】 延长
EO
交
AB
于
F
点，分别计算
△AOD,△AOB,△DOC,△BOC
的面积 ，再求和．

DE∶BFDO∶OB3∶1

∴
S
△AOD
∶S
△AOB

3
∶
1；
S
△DOC
S
△BOC
3∶1

S
△AOD
S
△BOC

1
又∵
S
△ABD
4510

2
3
∴
S
△AOD
S
△ABD
7.5
,
S
△AOB

2.5,
S
△BOC

7.5,
S△DOC

3
S
△BOC

3

7. 5

22.5

4
∴
S
梯形AB CD

7.5

2.5

7.5

22. 5

40


【例 26】 边长为
8
厘米和12
厘米的两个正方形并放在一起，那么图中阴影三角形的面积
是多少平方厘米？
A
M
N
H
E
O
B

【解析】 给图形标注字母，按顺时针方向标注，大正方形为
ABCD
，小正方形为< br>MNDE
，
EB
分别交
AC,AD
于
O,H
两点，
AO∶OCAB∶EC12∶203∶5
，
AH∶BCAO∶OC 3∶5

S
△ADC

9
∶
40

∴
AO∶AC3∶8
，
AH∶AD3∶5
，
S
△AH O
∶
1
∵
S
△ADC
12
2
72< br>
2
99
∴
S
△AHO
S
△ADC
7216.2

4040

【例
27
】
如右图，长方形
ABCD
中，
EF16
，
FG9
，求
AG
的长．
D
C
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D
A
G
F
E
C
B

【解析】 因为
DA
∥
BE
，根据相似三角形性质知
又因为
DF
∥
AB
，
所以
DGAG
，

GBGE
DGFG
，
GBGA
AGFG
，即
AG
2
GEFG259225 15
2
，所以
AG15
．

GEGA

【例 28】 (第
21
届迎春杯试题)如图，已知正方形
ABCD
的边长为
4
，
F
是
BC
边的中点，
E
是< br>DC
边上的点，且
DE:EC1:3
，
AF
与
BE
相交于点
G
，求
S
△ABG

A
B
A
B
G
F
G
F
D
A
E
B
C
D
E
C
M
G
F
D

【解析】 方法一：连接
AE
，延长
AF
，
DC
两条线交于点
M
，构造出两个沙漏，所以有
AB:CMBF:FC1:1
，因此
CM 4
，根据题意有
CE3
，再根据另一个沙漏
4432
有
G B:GEAB:EM4:7
，所以
S
△ABG

．
S
△ABE
(442)
471111
方法二：连接
AE, EF
，分别求
S
△ABF

4

2
2

4
，
S
△AEF
4441232 247
E
C
，根据
S
△ABF
:S
△AEF< br>BG:GE4:7
，所以
S
△ABG

4
S△ABE
47
定理
432
．
(442)
1111
蝴蝶

【例 29】 如图所示，已 知平行四边形
ABCD
的面积是1，
E
、
F
是
AB
、
AD
的中点，
BF
交
EC
于
M
，求
BMG
的面积．
F
D
A
E
B
H
M
G
C

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I
A
F
H
G
D
E
M

B
C
【解析】 解法一：由题意可得，
E
、
F
是< br>AB
、
AD
的中点，得
EFBD
，而
FD:BCF H:HC1:2
，
EB:CDBG:GD1:2
所以
CH:CFGH:EF2:3
，
并得
G
、
H
是
BD
的三等分点，所以
BG GH
，所以
BG:EFBM:MF2:3
，
21111
所 以
BMBF
，
S
BFD
S
ABD
S< br>YABCD

；
52224
1121211
又因为
BGBD
，所以
S
BMG
S
BFD
< br>．
33535430
解法二：延长
CE
交
DA
于
I
，如右图，
可得，
AI:BCAE:EB1:1
，
从而可以确定
M
的点的位置，

BM:MFBC:IF2:3
，
21

BMBF
，
BGBD
(鸟头定理)，
53
212111
可得
S
BMG
S
BDF
S
YABCD


5353430

【例 30】 (清华附中入学试题)正方形
ABCD
的面积是120平方厘米，E
是
AB
的中点，
F
是
BC
的中点，四边形< br>BGHF
的面积是 平方厘米．
A
D
E
GH
F
A
D
BC
E
G
H
F
【解 析】 欲求四边形
BGHF
的面积须求出
EBG
和
CHF
的面积．
BC

M

1
由题意可得到：
EG:GCEB:CD1:2
， 所以可得：
S
EBG
S
BCE

3
将
AB
、
DF
延长交于
M
点，可得：
BM:DCMF:FDBF:FC1:1
，
12
而
EH:H CEM:CD(ABAB):CD3:2
，得
CHCE
，
25< br>1121
而
CFBC
，所以
S
CHF
SBCE
S
BCE

2255
111

S
BCE
ABBC12030

224
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1177

S
四边形BGHF
S
EBC
S
EBC
S
EBC
S
EBC
30 14
．
351515
本题也可以用蝴蝶定理来做，连接
EF
，确定
H
的位置(也就是
FH:HD
)，同样也
能解出 ．

【例 31】 如图，已知
S
△ABC
14
,点< br>D,E,F
分别在
AB,BC,CA
上，且
AD2,BD5,AF FC
，
S
四边形DBEF
S
△ABE
则
S△ABE
是多少？
C
C
E
F
E
F
A
D
B
A

【解析】
△ABC
的面积已 知，若知道
△ABE
的面积占
△ABC
的几分之几就可以计算出
△A BE
的面积．连接
CD
．
∵
S
四边形DBEF
S
△ABE

∴
S
△DEF
S
△ADE

∴
AC
与
DE
平行，
∴
S
△ADE
S
△CDE

∴
S
△ABE
S
△CDB

∵
AD2
，
BD5

∴
S
VACD< br>:
S
VCDB

2:5

5S
5
∴
S
△ABB
S
△CDB

△ABC
141 0

77

【例
32
】
如图，长方形
ABCD
中，
E
、
F
分别为
CD
、
AB< br>边上的点，
DEEC
，
FB2AF
，求
PM:MN:NQ
．
A
P
M
N
D
E
Q
C
D
E
F
B
A
P
M
G
N
Q
C
F
B
D
B

【解析】 如图，过
E
作
AD
的平行线交
PQ
于
G
．
由于
E
是
DC
的中点，所以
G
是
PQ的中点．
由于
DEEC
，
FB2AF
，所以
AF :DE2:3
，
BF:CE4:3
．
根据相似性，
PM:MG AM:MEAF:DE2:3
，
GN:NQEN:NBEC:BF3:4
，

2333644
于是
PMPG
，
MNPGGQ PG
，
NQGQPG
，
5573577
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所以
PM:MN:NQ
2364
::7:18:10
．
5357

【例 33】 如下图，
D
、
E
、F
、
G
均为各边的三等分点，线段
EG
和
DF
把三角形
ABC
分成四部分，如果四边形
FOGC
的面积是24平方厘米，求 三角形
ABC
的面积．
A
D
E
O
G
B< br>A
D
E
O
F
C

G
B
F
C
【解析】
【解析】
【解析】 设三角形以
AB
为底的高为
h
，

由于
FG:AB2:3
，所以
ED:FG1:2
；
122
所以三角形
OGF
以
GF
为底的高是
hh
；
339

2
又因为三角形
CFG
以
FG
为底的高是
h
，
3

22
所以三角形
OGF
的面积与三角形
CGF
的面积之比
h:h1:3
，
93






所以三角形
CFG
的面积为
24
3
18
(平方厘米)，
31
224
而三角形
CFG
的面积占三角形
ABC
的

，
339

4
所以三角形
ABC
的面积是
184 0.5
(平方厘米)．
9


【例 34】
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(
2008
年第十二届香港保良局小学数学世界邀请赛(队 际赛))如图，
ABCD
为正

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方形，
AMNBDEFC1cm
且
MN2cm
，请问 四边形
PQRS
的面积为多
少？



D
E
R
S
P
A
MN
B
Q
F
CD
E
R
S
P
F
C
Q
【解析】
【解析】
【解析】
【解析】 (法
1
)由
ABCD
，有


A
MN
B

MQMB
MPPC
，所以
PC2PM
，又，所以

QCEC
MNDC
S
ABR
11111
MQQC MC
，所以
PQMCMCMC
，所以
S
SPQR
占
S
AMCF
的
，
22366




12
所以
S
SPQR
1(112)
(cm
2
)
．
63
1RBER
(法
2
) 如图，连结
AE
，则
S
ABE
448
(
cm
2
)
，而，所以

2ABEF
RBAB2216
，()．而
cm
2
2S
ABR
S
ABE
8
EFEF333
11MNMP
，
S
MBQ
 S
ANS
343
(
cm
2
)，因为

22DCPC


1114
所以
MPMC
，则< br>S
MNP
24
(
cm
2
)，阴影部分面 积等于
3233
1642
S
ANS
S
MBQS
MNP
33
(
cm
2
)。
333
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