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北宋数学家贾宪
贾宪，北宋人，约于1050年左右完成《黄帝九章算经细草》， 原书佚失，但
其主要内容被杨辉（约13世纪中）著作所抄录，因能传世。杨辉《详解九章算
法 》（1261）载有“开方作法本源”图，注明“贾宪用此术”。这就是著名的“贾
宪三角”，或称“杨 辉三角”。《详解九章算法》同时录有贾宪进行高次幂开方的
“增乘开方法”。
数学成就
贾宪的老师楚衍是北宋前期著名的天文学家和数学家，“于《九章》、《缉古》、
《缀术》 、《海岛》诸算经尤得其妙”。当时人王洙(997---1057)有记载：“世司天算，
楚，为首。 既老昏，有，子贾宪、朱吉著名。宪今为左班殿直，吉隶太史。宪运
算亦妙，有书传于世。”根据记载贾 宪著有《黄帝九章算经细草》九卷、《算法斅
古集》二卷及《释锁》，可惜均已失传。杨辉著《详解九章 算法》（1261年）中
曾引用贾宪的“开方作法本源”图(即指数为正整数的二项式展开系数表，现称
“杨辉三角形”)和“增乘开方法”（求高次幂的正根法）。前者比帕斯卡
（PascalBl aise，1623---1662）三角形早600年，后者比霍纳（WilliamGeogeHorner ，
1786—1837）的方法（1819年）早770年。此外，“立成释锁开方法”的给出，
“勾股生变十三图”的完善，以及“增乘方求廉法”的创立，都表明贾宪对算法
抽象化、程序化、机械 化作出了重要贡献。
数学方法论
虽然有关贾宪的资料保存下来的并不完整，但从杨 辉缉录的细草中，我们仍
然可以发现他的一些独到的数学思想和方法，主要有以下两点。
(一)抽象分析法
在研究《九章》过程中，贾宪使用了抽象分析法，尤其在解决勾股问题是更为突出，他首先提出了“勾股生变十三图”。他说：“勾股弦并而为和，减而为较，
等而为变，为乘 ，为段，自乘为积，为幂。”十三名指勾（a）、股（b）、弦（c）、
勾股较（b-a）、勾弦较（c -a）、股弦较（c-b）、勾股和（a+b）、勾弦和（a+c）、
股弦和（b+c）、弦较和（c+ （b-a））、弦和和（c+（a+b））、弦和较（（a+b）-c）、
弦较教（c-（b-a））。 他完备了勾股弦及其和差的所有关系，说这些关系“有用而
取，无用不取，立图而验之”，说明他已经抛 开《九章》算题本身而对勾股问题
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进行抽象分析了。例如“出南北 门测邑方”问，《九章》的方法是：术曰：以出
北门步数乘西行步数，倍之为实，并出南门步数为从法， 开方除之即邑方。贾宪
的方法是：术曰：余勾乘股，倍之为实并二余勾为从，开方除不。正是掌握了这< br>一方法，才使他能够使用纯数学的方法改写《九章》术文，给后人留下公式化的
解题范例。在方程 术等其他章节的细草中，他也广泛运用了这种方法。
(二)程序化方法
程序化方法 主要是指探究问题的思维程序、过程和步骤。适用于同一理论体
系下，同一类问题的解决。贾宪的“增乘 开方法”和“增乘方求廉法”尤其集中
地体现了这一方法，比如少广章有：“今有积一百八十六万八百六 十七尺，问：
为立方几何？”这是一道对1860867开三次方的问题。贾宪的方法是：草曰：（1）
实上商置第一位得数一百。（2）以上商乘下法置廉一百，乘廉为方一万，除实，
讫。（3）复 以上商一百乘下法入廉共二百，乘廉入方共三万。（4）又乘下法入廉
共三百。（5）其方一、廉二、下 三退定十。（6）再于第一位商数之次，复商第二
位得数二十，以乘下法入廉共三百二十，乘廉入方共三 万六千四百，命上商除实，
讫贾宪
余一十三万二千八百六十七。（7）复以次商二十乘下 法入廉共三百四十，乘
廉入方共四万三千二百尺。（8）又乘下法入廉共三百六十。（9）其方一、廉二 、
下三退，如前。（10）上商第三位得数三尺，乘下法入廉共三百六十三，乘廉入
方共四万四 千二百八十九，命上商三尺除实，适尽，得立方一面之数。
地位及影响
《九章算术 》是十一世纪以前中国最著名的数学著作，在其流传过程中，为
其做草的人很多。而在数学理论上有突出 贡献的主要是三位数学家----刘徽(（论
基础的奠定）、贾宪(理论水平的提高)和杨辉（理论的基 本完善），贾宪起着承前
启后的作用。另一方面，魏晋南北朝兴起的数学研究热潮自唐而中断，贾宪的数
学方法论又激发了宋元的数学研究热潮，他又起到推波助澜的作用。具体表现在
以下两个方面。
（一）数学思想的影响
贾宪对于《九章算术》中提出的问题，抽象分析，揭示数学本 质；借助程序
化，讲解方法的原理；提纲挈领，梳理知识脉络；注重知识系统化，避免产生悖
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论。这些思想方法对宋元数学家有很深的影响。杨辉著《详解九章算法》借鉴了
贾宪的抽象和探索成果，对《九章》各题重新纂类《九章算术》
李冶著《测圆海镜》就继 承并发扬了这些数学方法，建立了一个逻辑严密的
演绎体系。朱世杰著《四元玉鉴》也用到这些思想方法 ，成就了我过古代数学史
上的巅峰之作。秦九韶著《数术大略》即（《数学九章》）作术而不言具体数字 更
是师法贾宪，可见其方法论的生命力。当然，这些数学思想方法也并非贾宪独创，
也是历代数 学著述、研究、积累的结果，而贾宪又将其提炼和传承。
(二)数学成就的影响
首 先，贾宪的“增乘开方法”开创了开高次方的研究课题，后经秦九韶“正
负开方术”加以完善，使高次方 程求正跟的问题得以解决。加之从李冶的天元术
（一元一次或高次方程）到朱世杰的四元术（四元一次或 高次方程组）的建立，
终于在十四世纪初建立起一套完整的方程学理论，使之成为宋元数学届最有成就< br>的课题。其次，贾宪三角的给出，开创了高阶等差级数求和问题的研究方向，朱
世杰从“三角”的 每条斜线上发现了“三角垜”、“撒星形垜”等高阶等差级数求
和公式。第三，“增乘开方法”事实上简 化了筹算程序，并使程序化更加合理，
这对后世筹算、捷算乃至于算具的改进是有启迪意义的。第四，“ 细草”这一著
述形式开创了一种数学研究方法，被后世数学家广为借鉴。乾嘉学派在保存和整
理 数学著作时，就曾对一批算书或注释或细草图说。
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