完整版排列组合问题之捆绑法 插空法和插板法
战狼二-黇鹿
行测答题技巧：排列组合问题之捆绑法，插空法和插板法
“相邻问题”捆绑法，即在解决对于某几个元素要求相邻的问题时， 先将
其“捆绑”后整体考虑，也就是将相邻元素视作“一个”大元素进行排序，然
后再
考虑大元素内部各元素间排列顺序的解题策略。
例1 •若有A、B、C、D
E五个人排队，要求A和B两个人必须站在相邻 位
置，贝U有多少排队方法?
【解析】：题目要求A和B两个人必须排在一起，首先将A和B两个人“捆
绑”，视其为“一个人”，也即对“ A，B”、C D E “四个人”进行排列，有
■<
种排法。又因为捆绑在一起的 A、B两人也要排序，有I种排法。根据分步
乘法原
理，总的排法有I -种
例2.有8本不同的书，其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本。
若
将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起
的排法
共有多少种？
【解析】：把3本数学书“捆绑”在一起看成一本大书，2本外语书也“捆
绑”在一起看成一本大书，与其它 3本书一起看作5个元素，共有丄种排法；
又3
本数学书有丄种排法，2本外语书有雹种排法；根据分步乘法原理共有排 法.<■ 'I
- -- I 种。
【王永恒提示】：运用捆绑法解决排列组合问题时，一定要注意“捆绑”
起来的大元素内部的顺序问题。解题过程是“先捆绑，再排列”。
“不邻问题”插空法，即在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时，先
将其
它元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置，
从而将
问题解决的策略。
例3.若有A、B、C、D E五个人排队，要求
A和B两个人必须不站在一 起，则
有多少排队方法？
【解析】：题目要求A和B两个人必须隔开。首先将C、D E三个人排列,
有「「种排法；若排成D C E，则D C E
“中间”和“两端”共有四个空位 置，也
即是：
〜
D C E ,此时可将 A
B两人插到四个空位 置中的任意两个位置，有 q种插
法。由乘法原理，共有排队方法：
匚二
:-。
例4.在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目相对顺序不变，再
添加
进去3个节目，则所有不同的添加方法共有多少种？
【解析】：直接解答较为麻烦，可根据插空法去解题，故可先用一个节目
去插7个空位（原来的6个节目排好后，中间和两端共有 7个空位），有「种
方
法；再用另一个节目去插 8个空位，有种方法；用最后一个节目去插 9个
空位，
有」：.方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法为 匚-.,=504种。
例4.一条马路上有编号为1、2、……、9的九盏路灯，为了节约用电，
可以把其中的三盏关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，则所有不同的关
灯方
法有多少种？
【解析】：若直接解答须分类讨论，情况较复杂。故可把六盏亮着的灯看
作六
个元素，然后用不亮的三盏灯去插 7个空位，共有'种方法（请您想想为
什么不是
八），因此所有不同的关灯方法有'
_
「种。
【王永恒提示】：运用插空法解决排列组合问题时，一定要注意插空位置
包
括先排好元素“中间空位”和“两端空位”。解题过程是“先排列，再插空”。
练习：一张节目表上原有3个节目，如果保持这3个节目的相对顺序不变，
再
添加进去2个新节目，有多少种安排方法？（国考 2008-57）
A. 20 B .
12 C . 6 D . 4
插板法是用于解决“相同元素”分组问题，且要求每组均“非空”，即要求
每组至少一个元素；若对于“可空”问题，即每组可以是零个元素，又该如何解
题呢？下面先给各位考生看一道题目：
荀现有山人主全斫匡化謙全制分蛤？个班级■每班至少
1
令謙.门共有多少冲
不同的分法？
『輕析】题目中球的分法共三娄：
第一抵 仃
1
入班毎介取
徐到
2
人球’瓦余」个吸毎班分到
1
代球.花分江邮歡为
第二类：
H
I
九址廿到
3
人議・
1
个班
分到
2
令誅.其余裟个班毎尿廿到
1
莎法种数
其
第三無 有丨个班分到
4
牛球，耳余的白个班每班分到
1
个球•其分
法祎款
G・
所乩
1（］
个球分第
7
个班.每班至少一个球的分法种豔曲 +
+ =S4
:
从上面解贏过程廉看’对这董问题谨疔分类计算，比较畫琐.若是上题中球的数目
幔密处
理起来辂更加困难，園此我怕需要寻求一种箫的摸式解决问题，我怕创设这样一种
盡般關傅境
-------------- 妊枫“
将皿个相同的球排成一
ft
io
个球之阖出现了
9
个空務 现在養丫］用把
io
牛球隔成有
序
刖了份，毎牛班级依欢按班
级序兮分
到然应位蟹前
儿个琢
C
可
14*.
2
个、彳仁
4
个）-卞丈于这
样府盘銀杯拦板”弁电物骷的方法秫之丸插般注』
白上述升桁可扛.分隸的方法实葫上为挡扳的把泄；圍起徃
9
令空桜
2
中捷人右个
”拦矿
G
个拦版可耙球分为
J
绘人瓦方法种監为
时上述问题的分折可看到，这种插板法解决起来非常简单.但同时也提醛各位考生,
这类
间题模型的适用前提相当严榕.必绩同时清足以卜*牛釦牛：
①
師要分的元富
2
碱完全巴汀
1;
②
所要分的元素必须分完，决不允许有剩余
③ 参与分元素的每组至少分到 1
个，决不允许出现分不到元素的组
下面再给各位看一道例题：
例2.有 8个相同的球放到三个不同的盒子里，共有 ( ) 种不同方法 .
A.35
B.28 C.21 D.45
【解析】这道题很多同学错选
C,错误的原因是直接套用上面所讲的“插板
法”，而忽略了“插板法”的适用条件。例 2和例
1的最大区别是：例 1的每组 元
素都要求“非空”,而例 2 则无此要求,即可以出现空盒子。
其实此题还是用“插板法”,只是要做一些小变化,详解如下：
書4
设損把这畠卒球一牛接一人排起耒・即
00000000
.
共形成
9
令空档 〔比时的空档包括中
鹿
7
个空档祁前堆
2
个空栏）,然后用
2
个捞桩把这
8
r
球分成
3
红
先摊第一今拦板.©于叮驭有
空套.疟以脊
9
个空档町以捱；淳扭第二个扳.脊⑷仝空
料可以擢.但宙于两个恢是
利I分
的
f
也
璃是说当两个担极殂邻时.
虽然是两种掘注.但
9^10
宪际上是L种分注人所以共誉■拓种.
«X
Cl）
己知方
K.r-_:-r = 20.
求这个方程时巫髮篡曾前牛監.
（2）
己拓方程“尸一妙求这个方程的乍玄勒蒙僭的个数.
【阿硏】⑴将
2
0
分成
20
个
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孔出来：
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I 1 M I i ] I ] 1 I
在这
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沖金空中抚
入
2
令板子”路如分成
3
部分，每一部井对应r”的伞范・按 顺序持成2*
r=: 7 =
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即是
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蟹数罐•故正整数離的个数为绘•拳法非常简单.
（2）
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2
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从以上例题的分析来看.在利用鼻插枫法■解决这种相同元素排列粗合问题时.一縫要
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3
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杆可空疋祝法忙題氐担为，
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有
种方法（对于“可
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〕…
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空”口题・只雲记住公式胡町.不蜚求李握嬢理）=
练习：有
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钗创九分只步瓷岂
毎步可口迈[级
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級或』裁台炉・有名少冲芒浓亍
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答黨为
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）
夹板定理。10台阶看错10个球，10个球摆成一排，中间共有 9个空格。要8步走完，就
相当于9个空格里放7个板，把10个球分成8分。（每个空格最多一个板，
7个板无论怎
样放，每份都能够保证小于等于 3)
所以就相当于 组合C9,7=36