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排列组合问题之插板法：
插板法是用于解决“相同元素”分组问题，且要求每组均“非空”，即要求每组至少一个元素；若对于
“可空”问题，即每组可以是零个元素，又该如何解题呢？
例1．现有10个完全相同的球全部分给7个班级，每班至少1个球，问共有多少种不同的分法?
【解析】：题目中球的分法共三类：
第一类：有3个班每个班分到2个球，其余4个班每班分 到1个球。其分法种数为C
3
7
=35。
第二类：有1个班分到3个球，1 个班分到2个球，其余5个班每班分到1个球。其分法种数2*C
2
7
=42。 第三类：有1个班分到4个球，其余的6个班每班分到1个球。其分法种数C
1
7
=7。
所以，10个球分给7个班，每班至少一个球的分法种数为84： 。
由上 面解题过程可以明显感到对这类问题进行分类计算，比较繁锁，若是上题中球的数目较多处
理起来将更加 困难，因此我们需要寻求一种新的模式解决问题，我们创设这样一种虚拟的情境——插板。
将 10个相同的球排成一行，10个球之间出现了9个空档，现在我们用“档板”把10个球隔成有
序的7 份，每个班级依次按班级序号分到对应位置的几个球（可能是1个、2个、3个、4个），借助于这
样的 虚拟“档板”分配物品的方法称之为插板法。
由上述分析可知，分球的方法实际上为档板的插 法：即是在9个空档之中插入6个“档板”（6
个档板可把球分为7组），其方法种数为C
3< br>9
=84。
由上述问题的分析解决看到，这种插板法解决起来非常简单，但同时也提 醒各位考友，这类问题模型适
用前提相当严格，必须同时满足以
下3个条件：
①所要分的元素必须完全相同；
②所要分的元素必须分完，决不允许有剩余；
③参与分元素的每组至少分到1个，决不允许出现分不到元素的组。
下面再给各位看一道例题：
例2．有8个相同的球放到三个不同的盒子里，共有（ ）种不同方法.
A．35 B．28 C．21 D．45
【解析】：这道题很多同学错选C，错误的原因是直接套 用上面所讲的“插板法”，而忽略了“插板法”
的适用条件。例2和例1的最大区别是：例1的每组元素 都要求“非空”，而例2则无此要求，即可以出
现空盒子。

其实此题还是用“插板法”，只是要做一些小变化，详解如下：
设想把这8个球一个接一个排起来，即|● |●|●|●|●|●|●|●|，共形成9个空档（此时的空档< br>包括中间7个空档和两端2个空档），然后用2个档板把这8个球分成3组，先插第一个档板，由于可以< br>有空盒，所以有9个空档可以插；再插第二个板，有10个空档可以插，但由于两个板是不可分的（也就是
说当两个档板相邻时，虽然是两种插法，但实际上是一种分法），所以共C

2
10
种。
【提示】：利用“插板法”解决 这种相同元素问题时，一定要注意“空”与“不空”的分析，防止掉
入陷阱。
【总结】： “非空”问题插板法原型为：设有M个相同元素，分成 N组，每组至少一个元素的分组
方法共有CN
(M-1)
；“可空”问题插板法问题原型为：设有M个相同元素，分成 N组，则分组方法共有C
(N-1)
(M+2)
种方法。
练习1．有10级台阶，分8步走完。每步可以迈1级、2级或3级台阶，有多少中走法？（答案为 ）
老子曰：夫物芸芸，各复归其根，归根曰静，静曰复命。在平时的学习中，我们应当学会寻找共性，
寻找根源，从本质上理解归纳各种
问题。





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