遇见你是我的缘-情奴

妙用“插板法”，突破行测瓶颈——排列组合数学题
华图教育集团 唐颖
在公务员考试的行政职业能力测验中，数学运算一直都是提高分数的重中之重。而数学
运算中许多问题都有一定的难度，使一些考生望而却步。下面讨论的排列组合问题就是难点
之一。当然， 万变不离其宗，掌握问题本质，再难的问题都可以迎刃而解。为帮助考生掌握
快速答题技巧，唐颖老师结 合多年辅导经验，向考生们介绍一个非常有效的解决排列组合问
题的方法——插板法。
插板法用于解决“相同”元素的分组问题，且要求每组至少一个元素。
我们先来看下面一道题目：
【例题1】将6个相同的小球分到3个不同的箱子里去，要求每个箱子至少 有1个小球，有
多少种不同分法？
解析：首先，我们想象3个不同的箱子，这些箱子之间存在 2个间隔。那么，我们可以反过
来思考，将这2个间隔看成2个抽象的“隔板”。容易想象：插入2个“ 隔板”，将隔离出3
个区域（相当于箱子）。
然后，我们将6个相同的小球排成一行，如
了5个空隙。
最后，再将2个“隔板”插 到5个空隙中，就把这6个小球隔成了3个不同的区域，相当于
分配到3个不同的箱子。
故总共有
C
5


我们从例题1的分析过程中可以归纳出如下“插板法”核心要素：
【核心问题】将m个相同的 元素，分到不同的n组中，要求每组中至少有一个元素，有多少
种不同分法？
【核心思路】m 个相同的元素有（m-1）个空隙，n组之间相当于有（n-1）个“隔板”，把（n-1）
个“隔板” 插到（m-1）个空隙中，有多少种分配方法，即为所求的分配方法种数。这种借
助抽象的“隔板”来考 虑分配元素的方法被称为“插板法”，它是解决相同物品分配问题的
重要思路。
2
，这6个相同的小球之间出现
54
10
种分法。
2

1

n1
【核心公式】共有
C
m1
种分配方法。

【例题2】将16个相同的彩球放到3个不同的箱子里去，要求每个箱子至少放1个，请问
有多少种不 同的方法？
解析：3个不同的箱子之间有2个“隔板”，16个相同的彩球之间有15个空隙，故分法 共有
2
C
15

1514
105
种。
2

【例题3】将12个奖学金名额分配到6个班级中，要求每个班级至少分到1个名 额，问有
几种分法？
解析：奖学金名额是相同的，班级是不同的。6个不同的班级之间有5个 “隔板”，12个奖
学金名额之间有11个空隙，故分法共有
C
11


【“插板法”的适用范围】
使用插板法来解决相同元素分配到不同组的问题非常 简便，但这类问题适用插板法的前
提相当严格，必须同时满足三个条件，缺一不可：
一、需要分配的元素完全相同；
二、接受元素的组合是不同的，且分配过程中将所有元素都分配完毕，没有剩余；
三、每个组合至少分配1个，不可以有任何一组分不到元素。
由于有了这样的条件限制，对于 很多的问题，不能直接套用插板法解决。但是我们可以
通过条件的转化，使其符合上述三个条件，这样就 可以直接使用插板法解决，大大加快了解
题速度。

【核心题型变式一】
题型阐释：有m个相同的元素，分到n个不同的组合，要求各组中分到的元素至少为确定值
a（a≥1， 且各组a值可以不同），问有多少种不同分法？
解题思路：这种问题要求组中分到的元素不能少于某个确定值a，各组分到的并非至少一个。
对于这样的题，我们就首先将各组都先放入（a-1）个，然后再通过插板法，保证每组中至
少分配1个 ，就满足了各组至少n个的要求。
图解如下：

2
5
1110987
462
种。
5432

要求 至少a
1
至少a
2
至少a
3

先放入 a
1
-1 a
2
-1 a
3
-1
插板法 至少+1 至少+1 至少+1
放完后 ≥a
1
≥a
2
≥a
3

【例题4】10个相同的球放入编号分别为1、2、3的盒子中，盒中的球数不小于编号数，有
多少种 不同分法？
解析：先将每个盒子中放入0、1、2个球，此时还剩7个球待分配，且每个盒子至少放1
个球，转化为核心模型问题，直接套用核心公式，共有
C
6


【核心题型变式二】
题型阐释：将m个相同的元素，分到n个不同的组中，有多少种不同的分法？
解题思路：这种问题允许一些组中分到的元素为0，不满足至少分1个的要求。
对于这样的题 ，我们借鉴变式一的思路，首先将每组都先放进-1个（也就相当于不仅没有
放进组中，反而从每组中借 出1个，n组中就借出了n个），这样需要分配的元素个数就转
化成（m+n）个，每组需要至少放进1 个，可以通过插板法解题。
图解如下：
要求 至少0 至少0 至少0
先放入 -1 -1 -1
插板法 至少+1 至少+1 至少+1
放完后 ≥0 ≥0 ≥0

【例题5】将9个相同的球放到3个不同的盒子里，共有多少种不同的方法？
A.55 B.28 C.81 D.729
解析：这道题很多同学容易 错选B，错误的原因是直接套用“插板法”核心公式，忽略了题
中并没有关键条件：“每个盒子至少放1 个球”。
但是，此题只需要稍作转化，即可套用“插板法”核心思路与公式。
同前面的分析 一样，我们可以先从每个盒子里借出1个球，3个盒子共借出3个球，题目转
化为：将9+3=12个球 放到3个不同的盒子里，每个盒子至少放1个球。

3
2
65
15
种分法。
2

此 时，这题就属于核心模型问题——“m个相同物品分配到n个不同的组合中，每组至少放
1个”，直接套 用核心公式，共有
C
11


【练习】（2010年国考真题）某单 位订阅了30份学习材料发放给3个部门，每个部门至少
发放9份材料。问一共有多少种不同的发放方法 ？（ ）
A.7 B.9 C.10 D.12
（解析：至少放a=9≥1，属于变式一，先放入a-1=8个，三个部门放入24份，还剩 下6份，
分给3个不同的部门，将6份相同的材料分给3个不同的部门，每个部门至少发放1份，套用核心公式，共有
C
5




2
2
1110
55
种分法。
2
54
10
种，答案选C。）
2

4