排列组合中关于捆绑法、插空法、插隔板法的应用
小学数学思维训练-肥水之战
排列组合中关于捆绑法、插空法、插隔板法的应用
捆绑法：当要求某几个元素必须相邻（挨着）时，先将这几个元素看做一个整体， （比如：原来
3个元
素，整体考虑之后看成
1个元素）然后将这个整体和其它元素进行考虑。这时要注意：一般整体内部各元素 如果在前后顺
插空
法：当要求某几个元素必须不相邻（挨着）时，可先将其它元素排好，然后再将要求不相邻的元素
根
据题目要求插入到已排好的元素的空隙或两端位置。
1的隔板插入
插隔板法：指在解决若干相同元素分组，要求每组至少一个元素时，采用将比分组数目少
到元素中的一
种解题策略。题目特点：“若干相同元素分组”、“ 每组至少一个元素”。
2个新节目，有多
例1 :一张节目表上原有 3个节目，如果保持这
3个节目的相对顺序不变，再添进去
少种安排方法？ A.20 B.12
C.6
D.4
2
X
C
：
=8 种
分两种情况考虑
1、 这两个新节目挨着，那么三个节目有
2、 这两个节目不挨着，那么三个节目有
4个空，又考虑到这两个节目的先后顺序共有
4个空，这就相当于考虑两个数在
4个位置的排列，由
P
4
2
=12种
综上得，共8+12=20种 此题中使用了
捆绑法和插空法。
序上有区别的还需进行一定的顺序考虑。
例2： A、B C D
E五个人排成一排，其中 A、B两人不站一起，共有（
A.120 B.72 C.48 D.24
插空法
：
我们来这样考虑，因 A、B两人不站一起，故可考虑的位置
一共留出4个空，将A B分别放入这4个空的不同的空中，那就是
这样考虑了之后，还有一点就是
）种站法。
C、D E, CD
E三个人站在那有
4个空中取2个空的全排列，即 P
；
=12。
C、D
E三个人也存在一个排列问题，即
P
3
2
=6，综上，共有6*12=72种
）种站法。 例3:
A
B C、D、E五个人排成一排，其中 A、B两人必须站一起，共有（
A.120 B.72 C.48
4
4
D.24
A、B两人既然必须站在一起，那么索性我们就把他
捆绑法：此题和上一题实质是一样的，我们来这样考虑，
们看成一个人，那么我们就要考虑其和 C
D E共4个人的全排列，即
P
=24,又因为A、B两人虽然是站
在一起了，但还要考虑一个谁在前谁在后的问题，这有两种情况，也就是
P
2
2
=2，综上，共有48种。
例4:将8个完全相同的球放到
3个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球，一共有多少种方法？
A. 20 B.21
C.23 D.24
8个球分成
3个组。这时我们考虑的问题就转化成了我们
插隔板法：解决这道题只需将 8个球分成三组，然后依次将每一个组分别放到一个盒子中即可。
3个组可以这样，用 2个隔板插到这8个球中，这样就分成了
在8个球的空隙中放
2个隔板有多少种放法的问题。
放法，即21种.
例5
:有9颗相同的糖，每天至少吃1颗，要4天吃完，有多少种吃法？ A.
20 B.36 C.45
D.56
插隔板法：原理同上，只需用3个隔板放到9颗糖形成的8个空隙中，即可分成4天要吃的。
就有C
；
=56种。
8个球有7个空隙，7个空隙要放2个隔板，就有C
；
种
不邻问题插板法解题要点
“不邻问题”插板法一一先排列，再插空
“不邻问题”插空法，即在解决对于某几个元素要求不相邻问题时，先将其它元素排好，再将指定的不
相邻的元素
插入已排好元素的间隙或两端位置，从而将问题解决的策略。
例1：若有A、B、C D E五个人排队，要求 A和B两个人必须不站在一起，则有多少排队方法
？
【解析】题目要求 A和B两个人必须隔开。首先将 C D
E三个人排列，有种排法
；
若排成DCE则D C、E
“中间”
和“两端”共有四个空位置，也即是D^
C
E^,此时可将
A
B两人插到四个空位置中的
任意两个位置，有种插法。由乘法原
理，共有排队方法：。
例2 :在一张节目单中原有
6个节目，若保持这些节目相对顺序不变，再添加进去 3个节目，则所有不
同的添加方法共有多少种
？
【解析】直接解答较为麻烦，可利用插空法去解题，故可先用一个节目去插
7个空位
（
原来的6个节目
排好后，中间和两端共有
7个空位
）
，有种方法
；
再用另
一个节目去插8个空位，有种方法
；
用最后一个节目
去插9个空位，有种方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法为
相邻的两盏或三盏，则所有不同的关灯方法有多少种
=504种。
例3:
一条马路上有编号为 1、2、……、9的九盏路灯，为了节约用电，可以把其中的三盏关掉，但不
能同时关掉
？
【解析】若直接解答须分类讨论，情况较复杂。故可把六盏亮着的灯看作六个元素，然后用不亮的三盏
灯去插7个
空位，共有种方法
（
请您想想为什么不是
）
，因此所有不
同的关灯方法有种。
【提示】运用插空法解决排列组合问题时，一定要注意插空位置包括先排好元素“中间空位”和“两端
空位”。解
题过程是“先排列，再插空”。
计数之插板法总结：
插板法就是插板法就是在 n个元素间的（n-1 ）个空中插入
若干个（b）个板，可以把n个元素分成（b+1） 组的方
法。应用插板法必须满足三个条件：
（1）这n个元素必须互不相异 （2）所分成的每一组至少分得一个元素
（
3）分成的组别彼此相异
举个很普通的例子来说明：把 10个相同的小球放入
3个不同的箱子，每个箱子至少一个，问有几种情况？
2
问题的题干满足条件（1）（
2）,适用插板法， C=36
下面通过几道题目介绍下插板法的应用
：
a
凑元素插板法 （有些题目满足条件（1）,不满足条件（2），此时可适用此方法）
1
:把10个相同的小球放入 3个不同的箱子，问有几种情况？
2:把10个相同小球放入
3个不同箱子，第一个箱子至少 1个，第二个箱子至少 3个，第三个箱子可以
放空球，有
几种情况？
b添板插板法
3
:把10个相同小球放入3个不同的箱子，问有几种情况?
4:有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，直至不能再写为止，如
257, 1459等
等，这类数共有几个？
5:有一类自然数，从第四个数字开始，每个数字都恰好是它前面三个数字之和，直至不能再写为止，如
2349, 1427
等等，这类数共有几个？
答案：
1、
3个箱子都可能取到空球，条件（2）不满足，此时如果在 3个箱子种各预先放入 1个小球，则问题
就等价于把
13个相同小球放入 3个不同箱子，每个箱子至少一个，有几种情况？ 显然就是c12
2=66
2、 我们可以在第二个箱子先放入
10个小球中的2个，小球剩8个放3个箱子，然后在第三个箱子放入
8个小球之外的1个小球，则问题转化为 把9个相同小球放3不同箱子，每箱至少1个，几种方法？
c8 2=28
3、 -0 - o - o - o - o - o - o - o - o
- o - o 表示 10 个小球，-表示空位, 11
个空位中取2个加入2块板，第一组和第三组可以取到空的情况，第
2组始终不能取空
，
此时 若在 第11
个空位后加入第12块板，设取到该板时，第二组取球为空
，
则每一组都可能取球为空 c12 2=66
4、
因为前2位数字唯一对应了符合要求的一个数，只要求出前 2位有几种情况即可，设前两位为 ab
显然a+b<=9 ,且a不为0 1-1-1-1-1-1-1-1-1 - -
。1代表9个1,-代表10个空位
我们可以在这9个空位中插入2个板，分成3组，第一组取到
a个1，第二组取到b个1,但此时第二
组始终不能取空，若多添加第
10个空时，设取到该板时第二组取空，即 b=0,所以一共有
C
；
0
=45
5、 类似的，某数的前三位为 abc,
a+b+c<=9,a不为0
1 -1- 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 - - -
在9个空位种插如3板，分成4组，第一组取a个1,第二组取b个1,第三组取c个1,由于第二，第
三组都不能取到
空，所以添加 2块板
设取到第10个板时，第二组取空，即
b=0;取到第11个板时，第三组取空，即c=0。所以一共有 Cn=165